引文格式：LIJiayuan,HUQingwu,AIMingyao.ANon-iterativeSpaceResectionMethodBasedonBarycentricCoordinates[J].ActaGeodaeticaetCartographicaSinica,2015,44(9):988-994.(李加元，胡慶武，艾明耀.以重心坐標(biāo)為基準(zhǔn)的空間后方交會非迭代法[J].測繪學(xué)報，2015,44(9)：988-994.)DOI:10.11947/j.AGCS.2015.20140473

以重心坐標(biāo)為基準(zhǔn)的空間后方交會非迭代法

李加元，胡慶武，艾明耀

武漢大學(xué)遙感信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430079

ANon-iterativeSpaceResectionMethodBasedonBarycentricCoordinates

LIJiayuan,HUQingwu,AIMingyao

SchoolofRemoteSensingandInformationEngineering,WuhanUniversity,Wuhan430079,China

Abstract：To resolve the problem that iterative space resection algorithms may have no convergence in oblique photogrammetry，a novel non-iterative method based on barycentric coordinates is proposed. This algorithm firstly describes the object space coordinates of control points as barycentric coordinates，based on its coordinate reference independence，the corresponding image space coordinates can be obtained by using total least square method，then absolute orientation using orthonormal matrices is applied and the result is optimized finally. Experimental results show that this algorithm can be suitable for any image attitude angle，and the accuracy is even better than iterative space resection methods.

Keywords：spaceresection；barycentriccoordinates；totalleastsquare；absoluteorientation；obliquephotogrammetry

Foundationsupport：TheNationalNaturalScienceFoundationofChina(No.41271452)

摘要：為解決基于迭代的空間后方交會算法在傾斜攝影中可能出現(xiàn)的不收斂現(xiàn)象，提出了一種以重心坐標(biāo)為基準(zhǔn)的非迭代解算方法。首先將控制點物方空間坐標(biāo)描述成重心坐標(biāo)，并基于其坐標(biāo)參考無關(guān)性，采用總體最小二乘方法求出對應(yīng)像方空間坐標(biāo)，然后通過正交矩陣方法進行絕對定向并優(yōu)化。試驗結(jié)果表明，該方法幾乎對任意影像姿態(tài)均能正確解算，并且精度達到甚至優(yōu)于基于迭代的空間后方交會方法。

關(guān)鍵詞：空間后方交會；重心坐標(biāo)；總體最小二乘；絕對定向；傾斜攝影

中圖分類號：P231

基金項目：國家自然科學(xué)基金(41271452)

收稿日期：2014-09-09

作者簡介：第一 李加元(1989—)，男，碩士，研究方向為攝影測量、圖像處理與計算機視覺。

1引言

空間后方交會是攝影測量和計算機視覺領(lǐng)域的一個基礎(chǔ)性問題，在影像匹配、空三加密、三維重建等諸多領(lǐng)域發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。它是指通過若干物方控制點及其在影像上對應(yīng)像點坐標(biāo)反算出相機的位置(外方位線元素)與姿態(tài)(外方位角元素)的過程[1]。其傳統(tǒng)解算方法主要有歐拉角法[1-2]、角錐體法[3]和直接線性變換法[4]。其中，歐拉角法需已知外方位元素良好初值，一般適用于豎直攝影；角錐體法較強依賴于外方位線元素初值；直接線性變換法不適合高精度的測量任務(wù)[5]。然而，隨著傾斜影像的普及，傳統(tǒng)方法往往因無良好外方位元素初值而迭代不收斂。

為了有效地解決初值強依賴問題，學(xué)者們提出了許多具有參考價值的解算方法，主要可以分為迭代解法和非迭代解法兩類[6]。迭代解法具有較高的精度和魯棒性，但是計算復(fù)雜度高且對未知數(shù)初值具有一定的依賴性：如文獻[7—8]提出的利用單位四元數(shù)描述相機旋轉(zhuǎn)矩陣進行迭代求解的方法，文獻[9]采用對偶四元數(shù)描述坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)和平移，文獻[10—11]以線性解作為初始值進行高斯-牛頓全局優(yōu)化。與之相反，非迭代解法解算效率高且無須初值，但是精度和魯棒性較低，比較有代表性的有：文獻[12]利用單位四元數(shù)分步求解外方位角元素和線元素的方法，文獻[13]通過4個非共面虛擬點作為控制點解求攝像機的位置和姿態(tài)。這些方法都不同時具備高精度和無須初值這兩個特點，并且均不能保證其對于任意影像姿態(tài)均能正確解算。

重心坐標(biāo)是一種參考無關(guān)坐標(biāo)，它只與所選坐標(biāo)四面體相關(guān)，而與坐標(biāo)四面體所在坐標(biāo)系無關(guān)，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于在工程學(xué)和圖形學(xué)領(lǐng)域，如有限元計算[14]、復(fù)雜曲面構(gòu)造[15]、多邊形面片的參數(shù)化等[16-17]。基于此性質(zhì)，本文引入重心坐標(biāo)來描述控制點物方空間坐標(biāo)，采用總體最小二乘[18-20,25]求出其在像空間坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，將后方交會問題轉(zhuǎn)換為坐標(biāo)系絕對定向問題。通過與3種迭代算法的對比，驗證了本文方法具有高精度，高效率，無須初值，適應(yīng)于任意影像姿態(tài)等特點。

2重心坐標(biāo)概念和性質(zhì)

圖1　三維重心坐標(biāo) Fig.1　Barycentric coordinates in 3D Euclidean space

根據(jù)重心坐標(biāo)的定義，點M(XM,YM,ZM)T與坐標(biāo)四面體4個頂點P1、P2、P3、P4的歐氏空間坐標(biāo)(XPi,YPi,ZPi)T(i=1,2,3,4)存在以下關(guān)系[21]

(1)

(λ1,λ2,λ3,λ4)=(XM,YM,ZM,1-XM-YM-ZM)

(2)

從以上定義和性質(zhì)可知，規(guī)范重心坐標(biāo)只與所選坐標(biāo)四面體相關(guān)，而與坐標(biāo)四面體所在參考坐標(biāo)系無關(guān)。因此，在空間后方交會中，控制點在物方空間坐標(biāo)系與像空間坐標(biāo)系中擁有相同的規(guī)范重心坐標(biāo)。

3基于重心坐標(biāo)的空間后方交會

本文方法分為下面3個步驟：坐標(biāo)四面體頂點的像空間坐標(biāo)解算；坐標(biāo)系絕對定向分解外方位元素；外方位元素值優(yōu)化。為了方便表述，物方空間坐標(biāo)和像方空間坐標(biāo)分別用下標(biāo)W和C表示。

3.1　坐標(biāo)四面體頂點像空間坐標(biāo)解算

如圖2所示，傳統(tǒng)空間后方交會將攝影中心S、像點ai及其對應(yīng)控制點Ai統(tǒng)一納入到像空間輔助坐標(biāo)系S-XYZ，利用其與物方空間坐標(biāo)系O-XWYWZW坐標(biāo)軸平行，坐標(biāo)原點不同這一關(guān)系，推導(dǎo)出共線條件方程來求解6個外方位元素，具體推導(dǎo)過程見文獻[1]。與文獻[1]不同，本文將S、ai和Ai三點共線條件應(yīng)用于像空間坐標(biāo)系S-XCYCZC，利用控制點的規(guī)范重心坐標(biāo)，解求坐標(biāo)四面體頂點的像空間坐標(biāo)PCi(XPCi,YPCi,ZPCi)T(i=1,2,3,4)。

(3)

圖2　共線方程 Fig.2　Collinear equation

設(shè)ai的像平面坐標(biāo)為(xCi,yCi)(i=1,2,…,n)，則其像空間坐標(biāo)為(xCi,yCi,-f)，i=1,2,…,n，利用圖2所示像方空間三點共線關(guān)系有

(4)

寫成矩陣形式并顧及式(3)，則有

(5)

式中，wi是尺度因子；f是焦距。為消除尺度因子wi，在式(5)兩邊同時乘以向量(xCi,yCi,-f)的反對稱矩陣Sw

(6)

得到3個線性方程。然而由于矩陣Sw的秩為2(文獻[23])，僅有兩個方程是線性獨立的[24]，故取其前兩個方程構(gòu)成方程組式(7)

(7)

式中，未知數(shù)PCi(XPCi,YPCi,ZPCi)T(i=1,2,3,4)個數(shù)為12，當(dāng)控制點個數(shù)n≥6，可以組成齊次線性方程組AX=0，其中A是系數(shù)矩陣，X是未知數(shù)?？紤]到系數(shù)矩陣可能包含有誤差，采用文獻[25]中所用總體最小二乘(TLS)方法進行求解，目的是從m個線性方程組中求解n個未知數(shù)的總體最小二乘估值(m≥n)，具體計算步驟描述如下。

(1) 將線性方程組寫成AX=b矩陣，其中A為未知數(shù)系數(shù)，X為未知數(shù)，b為常數(shù)項。

(2) 構(gòu)成增廣矩陣[A,b]，進行奇異值分解[A,b]=UΣVT，其中U和V為酉矩陣，Σ為奇異值矩陣。

(3) 由V最后一列求得未知數(shù)的TLS解為

(8)

式中，vi,m+1(i=1，2，…m+1)為V的最后一列。

3.2　坐標(biāo)系絕對定向分解6個外方位元素

求得PCi(i=1,2,3,4)的坐標(biāo)值后，利用式(3)便可計算控制點的像空間坐標(biāo)ACi(i=1,2,…,n)。至此，控制點在像空間坐標(biāo)系和物方空間坐標(biāo)系中的三維坐標(biāo)都已知，空間后方交會問題便轉(zhuǎn)化為攝影測量中的7參數(shù)絕對定向(即兩空間三維坐標(biāo)系的相似變換)問題，因而有

AWi=μRACi+ΔTi=1,2,…,n

(9)

式中，μ是坐標(biāo)系比例尺縮放系數(shù)；R是像空間坐標(biāo)系到物方空間坐標(biāo)系的3階旋轉(zhuǎn)矩陣；ΔT為坐標(biāo)原點的3維平移列向量。目前，絕對定向問題已有許多比較成熟的解法，如文獻[26]采用單位四元數(shù)描述旋轉(zhuǎn)矩陣的線性解法，文獻[27]利用正交矩陣的閉合解求法等，本文選用文獻[27]的正交矩陣方法進行求解。下面簡單描述其基本解算步驟。

步驟1：計算控制點的像空間和物方空間重心化距離dCi和dWi，并求解兩組對應(yīng)距離的比例系數(shù)μ的最小二乘解。利用μ將兩坐標(biāo)系統(tǒng)一到相同尺度，重心化公式為

(10)

式中，Ai表示空間坐標(biāo)；Agi表示重心化后的空間坐標(biāo)。

i=1,2,…,n

(11)

步驟3：對矩陣M進行SVD分解，UΣVT=M，獲得旋轉(zhuǎn)矩陣R和攝站中心S的解為

(12)

3.3　外方位元素值優(yōu)化

為提高算法精度，首先把旋轉(zhuǎn)矩陣R作為已知值，利用文獻[25]的算法求出攝站中心S的總體最小二乘解STLS，再把攝站中心STLS作為已知值，反求出旋轉(zhuǎn)矩陣的總體最小二乘解RTLS，最后比較3組解(R,S)，(R,STLS)，(RTLS,STLS)的像點殘差中誤差[28]，選取中誤差最小的解作為最終解。

4試驗結(jié)果與分析

分別采用模擬和真實數(shù)據(jù)來評價本文算法的精度、穩(wěn)定性以及速度，并與歐拉角LS法、歐拉角TLS解法、單位四元數(shù)法進行對比。

4.1　模擬數(shù)據(jù)試驗

首先采用6張模擬像片數(shù)據(jù)驗證本文算法的正確性和可行性。其次，固定攝站中心坐標(biāo)S，通過隨機函數(shù)產(chǎn)生三維相機姿態(tài)列向量，構(gòu)成旋轉(zhuǎn)矩陣。然后分別對上述兩組控制點由共線條件方程算出其對應(yīng)像點坐標(biāo)，并加入[-0.01mm,0.01mm](大約±2像素)范圍內(nèi)的隨機誤差，再由控制點及其像點坐標(biāo)出發(fā)，分別采用上述方法解算出外方計算值，將計算值與真值進行比較來判斷此次解算正確與否。重復(fù)執(zhí)行上述過程1000次，通過錯誤解算的次數(shù)多少來說明該算法對相機不同姿態(tài)的適用性，同時統(tǒng)計1000次解算的總時間來比較算法的效率，并利用所有正確解算的平均中誤差來評價各個算法的精度。

4.1.1　正確性及精度

試驗數(shù)據(jù)來自文獻[7]，相機內(nèi)方位元素為(x0，y0，f)=(0,0,100mm)， 外方位元素(XS、

YS、ZS、φ、ω、κ)的設(shè)計值及數(shù)據(jù)信息見表1。由于影像數(shù)據(jù)無先驗的位置和姿態(tài)信息，因此歐拉角LS法、歐拉角TLS法和單位四元數(shù)法在解算時所必需的姿態(tài)初始值取像片處于水平時的姿態(tài)，位置初值取0，解算結(jié)果見表2。

表1　外方位元素設(shè)計值

對于該模擬試驗，衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)采用真誤差[28]，即計算值減去設(shè)計值的絕對值。其中，除歐拉角法(包含LS和TLS解法)因有4張像片迭代不收斂只有2組數(shù)據(jù)參與統(tǒng)計外，其他方法均求出6張像片外方位元素的真誤差，并以其平均值作為該算法的最終誤差，具體數(shù)值在表3中給出。

分析表2可以發(fā)現(xiàn)，對于近似豎直攝影(小傾角)影像，4種方法均能正確解算外方位元素，但當(dāng)傾角大于某個值后，在沒有任何先驗信息的情況下，歐拉角法(LS和TLS解法)迭代計算無法收斂，解算失敗，而其他方法則能得到正確結(jié)果。同時，歐拉角法(LS和TLS解法)迭代次數(shù)最多，單位四元數(shù)法相對較少，而本文方法則無須迭代計算。再看表3，歐拉角TLS解法由于考慮了觀測值誤差，因而整體精度最高，而本文方法在精度上也基本達到甚至優(yōu)于其他兩種基于迭代的算法。

4.1.2　適用性和效率

選取文獻[7]中的2組控制點數(shù)據(jù)(每組9個)，對上述3種方法分別進行了1000次試驗。其中，第1組數(shù)據(jù)的攝站點坐標(biāo)設(shè)計值固定為S1(16200,16200,20250)，第2組數(shù)據(jù)的攝站點坐標(biāo)設(shè)計值為S2(1620，1620，2250)，相機姿態(tài)由函數(shù)隨機產(chǎn)生，試驗結(jié)果見表4。

表2　模擬數(shù)據(jù)解算結(jié)果

注：因為本文算法為非迭代解法，故迭代次數(shù)由1來表示。

表3　各算法未知數(shù)真誤差比較

注：ΔXS、ΔYS、ΔZS、Δφ、Δω、Δκ分別表示6個外方位元素的真誤差平均值。

表4　解算結(jié)果比較

注：Terror為1000次試驗中錯誤解算次數(shù)；m0為像點殘差中誤差。

試驗中采用攝站點坐標(biāo)的相對誤差ε來評判某方法該次解算正確與否，ε由式(13)給出

(13)

式中，S為相機攝站中心坐標(biāo)真值；S′表示某方法的攝站中心坐標(biāo)解算值；‖·‖表示二維范數(shù)，即歐氏距離。對于該試驗的兩組數(shù)據(jù)，當(dāng)相對誤差ε≤5×10-5時(對應(yīng)于這兩組數(shù)據(jù)的攝站中心位置絕對誤差分別為1.5289m和0.1606m)，外方位元素解算正確，否則錯誤。此外，試驗中所有算法程序及其運行時間都是在同一臺計算機的MatLab平臺上編寫和統(tǒng)計的，并且認為所有試驗均沒有任何關(guān)于6個外方位元素的先驗信息。分析表4兩組數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，歐拉角法(LS和TLS解法)對影像的姿態(tài)非常敏感，單位四元數(shù)法能夠處理絕大多數(shù)影像姿態(tài)場景，而本文算法則幾乎對任意影像姿態(tài)均能正確解算。同時可以看出，歐拉角(LS和TLS解法)和單位四元數(shù)這些迭代解法的精度很高，但是運行效率較低。而本文算法則兼顧精度與效率，不僅在精度上基本達到基于迭代的解算方法，而且在速度上比基于迭代的方法快接近30倍，這主要得益于本文方法無須迭代的特點，大大減少了計算的時間復(fù)雜度。

4.2　真實數(shù)據(jù)試驗

為了驗證本文算法對真實數(shù)據(jù)的處理能力，采用3張影像進行試驗。第1張影像是采用CanonEOS450D數(shù)碼相機對三維室內(nèi)精準(zhǔn)控制場進行攝影獲得，焦距f=23.64mm，攝影比例尺為1∶200，控制點個數(shù)為10。后兩組數(shù)據(jù)選用SWDC數(shù)字航空攝影儀在平頂山市拍攝的航空影像，該相機由5個子相機組成，一個中心相機和4個傾斜相機。其中，第2張影像是由中心相機拍攝所得，焦距f=82.215mm，像元大小0.0068mm，攝影比例尺為1∶8000，相對航高700m，12個控制點。第3張影像是由傾斜相機拍攝，焦距f=99.86mm，像元大小0.0068mm，攝影比例尺為1∶8000，相對航高700m，15個控制點。在平差計算過程中，認為沒有任何關(guān)于影像外方位元素的先驗信息，解算結(jié)果見表5。

分析表5可得，當(dāng)影像的3個姿態(tài)角都為小角時(如影像1)，3種方法均能正確解算，本文方法與歐拉角(LS和TLS解法)及單位四元數(shù)法結(jié)果一致，精度基本相同；當(dāng)影像姿態(tài)角較大時(如影像2)，在沒有任何先驗信息的情況下，歐拉角法(LS和TLS解法)出現(xiàn)錯誤收斂，解算失敗，而本文方法與單位四元數(shù)法的解算結(jié)果則與商業(yè)軟件PATB的區(qū)域網(wǎng)平差結(jié)果基本一致，且像點殘差中誤差均在1個像素以內(nèi)；當(dāng)影像姿態(tài)角非常大時(如影像3)，以PATB結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)，只有本文算法能夠正確解算，像點殘差中誤差為0.889像素，小于1個像素。

可見，本文算法具有很好的實用性，為無人機影像、傾斜相機影像等數(shù)據(jù)提供了一種可靠穩(wěn)定的幾何定位處理技術(shù)。

表5　實際數(shù)據(jù)解算結(jié)果

注：PATB表示商業(yè)軟件PATB的區(qū)域網(wǎng)平差結(jié)果。

5結(jié)論

本文提出了一種以重心坐標(biāo)為基準(zhǔn)的非迭代空間后方交會方法。該方法借助規(guī)范重心坐標(biāo)的坐標(biāo)系參考無關(guān)性，將空間后方交會問題轉(zhuǎn)換為絕對定向問題。并對算法的正確性、解算效率、解算精度、適用性進行驗證，得到以下幾點結(jié)論：

與歐拉角(LS和TLS解法)和單位四元數(shù)等迭代解法相比，本文算法無須外方位元素初始值以及迭代求解，故具有較高的解算效率，并且避免了迭代過程中法方程病態(tài)的情形。同時，本文算法顧及了系數(shù)矩陣誤差，采用總體最小二乘求解，并對結(jié)果進行了有效優(yōu)化，取得了與迭代解法相當(dāng)?shù)木取４送?，本文算法幾乎對任意影像姿態(tài)均能正確解算，擁有很好的實用性。

隨著傾斜攝影測量的快速發(fā)展，獲取的影像姿態(tài)變化范圍不斷擴大，此時，傳統(tǒng)方法將不再適用，而本文算法可為此提供一種穩(wěn)定可靠的處理技術(shù)。需要指出的是，本文算法的抗粗差能力較弱，粗差的自動剔除將是下一步的研究重點。

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(責(zé)任編輯：叢樹平)

修回日期： 2015-01-06

First author： LI Jiayuan(1989—), male，master, majors in photogrammetry，image processing and computer

vision.

E-mail： 397744657@qq.com

通信作者： 胡慶武

Corresponding author： HUQingwu

E-mail： huqw@whu.edu.cn