李艷瑋，鄭偉勇

（河南工程學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院，河南 鄭州451191）

0 引 言

進(jìn)化算法的優(yōu)化機(jī)制與多目標(biāo)問(wèn)題的特性之間存在一定的偏差［1，2］，前者主要利用種群中個(gè)體之間的局部梯度信息以及隨機(jī)擾動(dòng)信息，缺乏全局性的導(dǎo)向；后者往往需要在解空間中獲取寬廣分布的優(yōu)化曲面 （線），要求算法具有較強(qiáng)的全局探索能力［3］。分布估計(jì)算法是一種基于統(tǒng)計(jì)分析的新型優(yōu)化算法，利用當(dāng)前種群的取值來(lái)評(píng)估最優(yōu)解集的全局分布特性，進(jìn)而通過(guò)基于統(tǒng)計(jì)模型的采樣過(guò)程產(chǎn)生新的個(gè)體，反過(guò)來(lái)又進(jìn)一步更新采樣模型，最終推動(dòng)算法的迭代演進(jìn)［4］，顯現(xiàn)出了良好的全局尋優(yōu)性能［5］，但卻嚴(yán)重依賴于統(tǒng)計(jì)模型的準(zhǔn)確性，由于種群中個(gè)體數(shù)量以及函數(shù)計(jì)算資源都是有限的，會(huì)使得分布估計(jì)的模型與真實(shí)結(jié)果存在偏差。為此，提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)分布評(píng)估的多目標(biāo)差分進(jìn)化算法 （MDE－ED－ASM），在流形空間中分區(qū)域建立不同的分布估計(jì)模型，采用基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的代理模型來(lái)增加分布估計(jì)的統(tǒng)計(jì)樣本和保持樣本的準(zhǔn)確度。同時(shí)，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)參量來(lái)調(diào)整差分進(jìn)化算法和分布估計(jì)算法的選擇概率，利用高效的差分進(jìn)化算法來(lái)引導(dǎo)種群的分布趨勢(shì)。

1 相關(guān)描述

多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題是在解空間x∈S∈Rn（n為變量x 的維數(shù)）中同時(shí)求取函數(shù)向量F＝ ｛f1，f2，…，fm，m≥2｝的極值 （假設(shè)求取最小值）。由于函數(shù)之間存在相互制約的關(guān)系，因此不存在能同時(shí)達(dá)到各個(gè)函數(shù)極值的單一解，而是最終得到一些由Pareto占優(yōu)概念確定的折中解集，稱為Pareto占優(yōu)解集。對(duì)于該解集中的任意一個(gè)解x＊ （稱為Pareto占優(yōu)解），不存在任何一個(gè)解變量x∈S 使得：fi（x）≤fi（x＊），i＝1，2，…，m，且至少在一個(gè)函數(shù)上滿足fi（x）＜fi（x＊）。而折中解集內(nèi)部的解表現(xiàn)為：若在一部分函數(shù)上取值優(yōu)于其它解，則必然在另一部分函數(shù)上取值差于其它解。

進(jìn)化算法、分布估計(jì)算法和代理模型在求解多目標(biāo)問(wèn)題中的作用如圖1所示。

圖1 相關(guān)概念在求解多目標(biāo)問(wèn)題中的作用

進(jìn)化算法在每一次迭代過(guò)程中，將父代種群Pt＝ ｛xi，i＝1，2，…，p｝通過(guò)選擇操作Θ1、交叉操作Θ2和變異操作Θ3得到子代種群P’t＝ ｛x～i，i＝1，2，…，p｜x～i＝Θ3（Θ2（Θ1（xi）））｝，再依據(jù)Pareto占優(yōu)概念實(shí)現(xiàn)更新操作U，得到新的父代種群Pt＋1＝U （Pt，P’t），經(jīng)過(guò)若干代后，種群中滿足Pareto占優(yōu)概念的個(gè)體即為最優(yōu)解集。而分布估計(jì)算法則認(rèn)為最優(yōu)解集服從某一分布模型M（θ1，θ2，…，θl），并假設(shè)當(dāng)前種群Pt中的部分或全部個(gè)體反映了最優(yōu)解集的分布情況。其通過(guò)統(tǒng)計(jì)評(píng)估操作E 可以得到模型參數(shù)的估計(jì)值，，…，＝E（Pt），再基于這些估計(jì)值進(jìn)行模型采樣操作A，得到服從最優(yōu)解集分布規(guī)律的新個(gè)體＝A（M（，，…，）），再用這些新個(gè)體依據(jù)Pareto占優(yōu)概念更新種群，進(jìn)而提升參數(shù)的估計(jì)值。如此螺旋上升，使得最終參數(shù)估計(jì)值趨近于真實(shí)值，采樣所得解集也趨近于理論最優(yōu)解集。代理模型鑒于當(dāng)前有限的種群數(shù)量會(huì)影響參數(shù)估計(jì)值的精度，而增加個(gè)體數(shù)量會(huì)增多函數(shù)調(diào)用的資源，提出采用當(dāng)前已知的若干最優(yōu)解來(lái)建立變量與目標(biāo)函數(shù)之間的映射關(guān)系F（x）＝Ψ（x），使得代理模型Ψ能夠在一定精度下取代函數(shù)F 的調(diào)用，且計(jì)算速度快于F。代理模型所得解集P＊t與進(jìn)化算法所得種群P’t混合得到更多的評(píng)估樣本，提高了分布估計(jì)的精度。

2 算法設(shè)計(jì)

2.1 分布估計(jì)模型設(shè)計(jì)

依據(jù)Karush－Kuhn－Tucker條件，連續(xù)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解集在解空間中是分段分布在多個(gè)流形上的［6］。因此，為了更好評(píng)估最優(yōu)解集的分布形式，文中提出的算法MDE－ED－ASM 在建立分布估計(jì)模型M 時(shí)，先將待抽取的解集做處理：

（1）將所有個(gè)體在解變量空間下分成c類，其中每次聚類時(shí)c的取值由前一次所構(gòu)建的代理模型數(shù)量確定，每個(gè)代理模型有一個(gè)類中心，解變量的類別歸屬原則為選擇歐式距離最近的類中心；

（2）假設(shè)第k類的個(gè)體數(shù)量為nk，則記nk個(gè)個(gè)體的均值為ak，對(duì)其進(jìn)行主成分分析，即按式 （1）求取其協(xié)方差矩陣Rk，再求取Rk的特征值和特征向量，j＝1，2，…，n，其中特征值滿足λkj≥λk（j＋1），再根據(jù)式 （2）設(shè)定的累積貢獻(xiàn)率η來(lái)確定主元的數(shù)量q。基于上述主成分分析所得參數(shù)，本文算法可得到每個(gè)類對(duì)應(yīng)的觀察窗口Φk和窗口的高斯噪聲σk，而該類所在區(qū)域的最優(yōu)解集即均勻分布在此觀察窗口Φk中。具體而言，將第k類中所有個(gè)體按照式 （3）投影到前q個(gè)主元中，以確定觀察窗口Φk的上界和下界。再考慮到類中個(gè)體未必能完全覆蓋所處的流形區(qū)域，因此將上下界按照式 （4）做進(jìn)一步的擴(kuò)展，即得到最終的Φk。高斯噪聲σk則代表了窗口的觀察誤差，其按照式（5）計(jì)算得到?？梢?jiàn)，Φk和σk即為本文算法在統(tǒng)計(jì)評(píng)估操作E 中所求取的模型參數(shù)θ1，θ2，…，θl

其中，Ck表示第k 類樣本所在的類集合，α表示擴(kuò)展系數(shù)，本文設(shè)定為10%。

在采樣操作階段，首先產(chǎn)生一個(gè)臨時(shí)變量y，該變量的每一維均從觀察窗口Φk對(duì)應(yīng)維數(shù)的上下界之間隨機(jī)生成。然后再生成一個(gè)變量ε，其每一維由均值為0，方差為σk的高斯函數(shù)生成。新生成的個(gè)體即為變量y 和ε的疊加，若在某一維上疊加的結(jié)果超出解空間的邊界，則在解空間所確定的范圍內(nèi)隨機(jī)生成該維的取值。本文設(shè)定對(duì)每個(gè)分布估計(jì)模型采樣相同數(shù)量的樣本，這樣有助于個(gè)體總數(shù)較少的類也產(chǎn)生大量的新個(gè)體，從而加強(qiáng)了空間中稀疏區(qū)域解的密度。

2.2 代理模型設(shè)計(jì)

采用了多個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型分區(qū)域布置的架構(gòu)。其原因不僅在于最優(yōu)解集是分段分布在不同流形上的，并且從變量x到F 的函數(shù)映射形式也通常較為復(fù)雜，單一的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是無(wú)法準(zhǔn)確約近函數(shù)映射關(guān)系的［7］。設(shè)計(jì)的代理模型具有3個(gè)設(shè)計(jì)特點(diǎn)：①利用主成分分析方法將解變量映射到主元空間中，以減少神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)規(guī)模；②采用基于高斯核的徑向基 （RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)提高代理模型的逼近效果；③在不同的類數(shù)取值下利用聚類算法劃分出不同的區(qū)域，通過(guò)超體積指標(biāo)測(cè)試不同類數(shù)下神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型集的精度，得出最佳的區(qū)域劃分?jǐn)?shù)量。

假設(shè)構(gòu)建c個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，構(gòu)建模型用的解集存入一個(gè)設(shè)定最大容量的訓(xùn)練樣本池，記為T(mén)P，其元素的變量取值和目標(biāo)函數(shù)值都是已知的。解集TP 的來(lái)源為分布估計(jì)算法和差分進(jìn)化算法所產(chǎn)生子代中的Pareto占優(yōu)個(gè)體。本文方法首先用K 均值算法將解集TP 劃分為c 類，c∈［2，cmax］。由于每一類樣本將用于構(gòu)建一個(gè)代理模型，樣本過(guò)少將無(wú)法有效完成模型的訓(xùn)練過(guò)程。因此當(dāng)K 均值聚類結(jié)果中某一類的樣本數(shù)量少于閾值δ時(shí)，則計(jì)算該類樣本與其它各類中心的歐式距離，按照最近原則并入其余類中。再隨機(jī)選取一個(gè)樣本數(shù)量大于2δ的類，選擇其中距離類中心最遠(yuǎn)的樣本s1和距離s1最遠(yuǎn)的樣本s2，將其余樣本按照距離s1和s2的遠(yuǎn)近劃分成兩個(gè)新的類。對(duì)于每一個(gè)類的樣本，采用與分布估計(jì)模型設(shè)計(jì)中類似的步驟進(jìn)行主成分分析，得到相應(yīng)的主元數(shù)量q和特征向量v’kj，j＝1，2，…，n，再將類中樣本依照式 （6）投影到主元空間中，得到維數(shù)為q的投影向量z，再以此作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)

本文具體選擇訓(xùn)練速度快，非線性映射能力強(qiáng)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為具體的代理模型。其輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)、隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù) （即徑向基的個(gè)數(shù)）和輸出節(jié)點(diǎn)數(shù)分別設(shè)置為q、2q和m。其余參數(shù)，包括各個(gè)徑向基的方差、基函數(shù)中心以及隱含層與輸出層之間的權(quán)重，均以最小化輸出誤差的平方和為目標(biāo)函數(shù)，采用最速梯度法進(jìn)行有監(jiān)督學(xué)習(xí)來(lái)確定。

在所提算法中，類數(shù)c是分布估計(jì)模型和代理模型中的重要參數(shù)，其顯著影響了算法關(guān)于最優(yōu)解集所在分段流形空間的建模精度。因此，本文將類c從2 逐漸增加，在每種類數(shù)下進(jìn)行聚類和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，再?gòu)闹羞x取最好訓(xùn)練結(jié)果對(duì)應(yīng)的類數(shù)為最終確定的類數(shù)。又由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型以最小化輸出與真實(shí)函數(shù)值的誤差為目標(biāo)，不能很好顧及最優(yōu)解集要全面均勻逼近最優(yōu)曲面 （線）的準(zhǔn)則，即可能出現(xiàn)曲面上某些小的區(qū)域精度高，其余大而樣本少的區(qū)域精度低。因此，本文采用超體積指標(biāo)作為評(píng)價(jià)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)集的訓(xùn)練結(jié)果好壞的標(biāo)準(zhǔn)。該指標(biāo)通常用于全面評(píng)價(jià)多目標(biāo)優(yōu)化算法所得結(jié)果的質(zhì)量［8，9］，如式 （7）所示

其中，IH （·）稱為超體積測(cè)度，由文獻(xiàn) ［10］所述計(jì)算方法獲得。其取值越小則說(shuō)明解集的質(zhì)量越好。在具體操作中，首先將類數(shù)為c時(shí)每一類的樣本等分為兩份，一份用于完成前述神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練；另一部分作為驗(yàn)證樣本，利用得到的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)函數(shù)值Ψ（x），將Ψ（x）和F（x）代入式 （7）中進(jìn)行計(jì)算，再將所有類的超體積指標(biāo)值求和，求和值最小時(shí)對(duì)應(yīng)的c值即為最佳聚類類數(shù)。

2.3 算法混合機(jī)制的設(shè)計(jì)

代理模型通過(guò)提供大量可靠樣本來(lái)提升分布估計(jì)模型的性能，但客觀上其預(yù)測(cè)值總是會(huì)與實(shí)際函數(shù)值存在差異，而差分進(jìn)化算法則在現(xiàn)有優(yōu)化解集上進(jìn)行高效搜索以提供若干均勻分布且取值準(zhǔn)確的樣本，可加速實(shí)現(xiàn)分布估計(jì)模型的校準(zhǔn)本文選用的差分算子為DE／current－to－rand／1［11］，其具有較好的探索能力，不易導(dǎo)致強(qiáng)收斂到單個(gè)極值，并且變異和交叉操作整合到同一公式中，形式簡(jiǎn)單，如式 （8）所示

式中：β—— ［0，1］之間隨機(jī)選取的參數(shù)，r——比例因子，本文設(shè)定為 ［0.05，，0.95］之間隨機(jī)選取，xi、x1、x2和x3——隨機(jī)選取的4個(gè)不同個(gè)體。

算法MDE－ED－ASM 中每個(gè)子代個(gè)體依概率ps選擇由分布估計(jì)模型生成，或者由差分進(jìn)化算法生成。概率ps在初始時(shí)取為0.5，此后隨著分布估計(jì)模型的更新而根據(jù)式（9）自適應(yīng)的變化

式中：Δ——當(dāng)前各個(gè)流行區(qū)間上分布估計(jì)模型的整體噪聲幅度，取值越大說(shuō)明當(dāng)前模型的分布估計(jì)精度受噪聲的影響越大。而Δ1和Δ2分別表示了前一次的噪聲幅度和當(dāng)前的噪聲幅度，（Δ1－Δ2）的取值大于零則說(shuō)明分布估計(jì)模型的精度提升，更多的個(gè)體可以用分布估計(jì)模型來(lái)生成，以加強(qiáng)全局搜索能力，取值小于零則需要更多調(diào)用差分算子來(lái)糾正算法的優(yōu)化方向。

2.4 算法流程

基于上述模型的闡述，算法MDE－ED－ASM 的運(yùn)行流程可描述為：

步驟1 隨機(jī)生成p 個(gè)個(gè)體，記為父代種群Pt，令代數(shù)t＝0，計(jì)算中每個(gè)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值，并按照Pareto占優(yōu)概念選出Pareto占優(yōu)解集，放入訓(xùn)練池TP中；

步驟2 當(dāng)t＜ta時(shí)，按照差分進(jìn)化算法的流程產(chǎn)生新個(gè)體并更新父代種群，同時(shí)將每代得到的Pareto占優(yōu)解放入訓(xùn)練池TP 中，若TP 中已有的解相對(duì)于新放入解不再Pareto占優(yōu)，則予以剔除，若TP中的解數(shù)量超出最大值，則按照Pareto占優(yōu)和擁擠距離概念［12］予以約簡(jiǎn)；

步驟3 當(dāng)t≥ta時(shí)，依照概率ps決定每個(gè)子代個(gè)體是由差分算子或分布估計(jì)模型生成，同時(shí)在每代的末尾更新訓(xùn)練池TP；

步驟4 當(dāng)t＝ta時(shí)，利用父代種群構(gòu)建分布估計(jì)模型，此時(shí)的類數(shù)c在 ［2，cmax］之間隨機(jī)選??；

步驟5 當(dāng)t＞ta且t除以ta的余數(shù)為0時(shí)，將訓(xùn)練池中的樣本按照2.2節(jié)所述方法處理，構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型集，并從已有分布估計(jì)模型中采樣生成10p 個(gè)樣本，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)出相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值Ψ（x），然后根據(jù)Ψ（x）選出其中的Pareto占優(yōu)解，將這些解和父代種群Pt一并作為抽取樣本，用于更新分布估計(jì)模型，此外，根據(jù)更新前后的噪聲幅度Δ1和Δ2，對(duì)概率ps進(jìn)行更新；

步驟6 當(dāng)t＝tmax時(shí)，將父代中的Pareto占優(yōu)解集作為最終優(yōu)化結(jié)果輸出。

3 驗(yàn)證與分析

為了驗(yàn)證所提模型的有效性，選擇3 個(gè)二維問(wèn)題及2個(gè)高維多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題作為測(cè)試對(duì)象，并選擇經(jīng)典多目標(biāo)優(yōu)化算法NSGA－II［13］和多目標(biāo)分布估計(jì)算法RM－MEDA［6］作為對(duì)比算法。其中記二維問(wèn)題記為F1、F2和F3，F(xiàn)1為2009年進(jìn)化計(jì)算年會(huì) （CEC2009）［13］上提出的多目標(biāo)測(cè)試用例中的第一個(gè)測(cè)試函數(shù)，F(xiàn)2和F3分別與文獻(xiàn) ［6］中所使用的問(wèn)題標(biāo)號(hào)相對(duì)應(yīng)，而高維優(yōu)化問(wèn)題F4和F5分別對(duì)應(yīng)CEC2009上提出的多目標(biāo)測(cè)試用例中的兩個(gè)5維優(yōu)化問(wèn)題R2＿DTLZ2＿M(jìn)5和R2＿DTLZ3＿M(jìn)5。所提算法的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下所示：設(shè)置種群大小p 為100，訓(xùn)練池TP為500，參數(shù)ta為20，cmax為10，最大函數(shù)調(diào)用次數(shù)為50000次，即最大代數(shù)tmax為500代。所有算法均在達(dá)到最大函數(shù)調(diào)用次數(shù)時(shí)停止，每種算法獨(dú)立運(yùn)行25次，記錄每次所得最優(yōu)解集的逆廣義距離指標(biāo)IGD 和超體積指標(biāo)IH－［14］，統(tǒng)計(jì)這25 次的指標(biāo)均值作為評(píng)價(jià)算法性能的標(biāo)準(zhǔn)，取值越小說(shuō)明算法的優(yōu)化性能越好。3 種算法的測(cè)試結(jié)果見(jiàn)表1。

表1中加粗部分表示對(duì)應(yīng)算法在該函數(shù)上的優(yōu)化結(jié)果最好?？梢园l(fā)現(xiàn)，所提算法MDE－ED－ASM 除了在函數(shù)F3上的超體積指標(biāo)略差于RM－MEDA 以外，其余的測(cè)試結(jié)果均好于其它算法；MDE－ED－ASM 和RM－MEDA 均采用分布估計(jì)的方法加強(qiáng)全局優(yōu)化能力，獲得的測(cè)試結(jié)果也表明算法性能好于無(wú)分布估計(jì)方法的NSGA－II；MDE－EDASM 在高維問(wèn)題F4 和F5 上的測(cè)試結(jié)果明顯好于RMMEDA，也表明所提算法在處理高維問(wèn)題時(shí)未出現(xiàn)明顯的性能衰退。

表1 3種算法的測(cè)試結(jié)果對(duì)比

與RM－MEDA 相比，算法MDE－ED－ASM 利用代理模型和差分進(jìn)化來(lái)加強(qiáng)分布估計(jì)的性能。為了分析這兩種措施的作用，設(shè)計(jì)了兩個(gè)對(duì)比算法，第一種算法去除代理模型，只用差分進(jìn)化和分布估計(jì)得到的子代個(gè)體來(lái)更新分布估計(jì)模型，記為MDE－ED，此時(shí)分布估計(jì)中的類數(shù)隨機(jī)生成；第二種算法將差分進(jìn)化算子替換為式 （10）中的普通算術(shù)交叉算子，記為MGA－ED－ASM

以測(cè)試問(wèn)題F1和F4為研究對(duì)象，算法的對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 代理模型和差分算子的性能分析

可見(jiàn)代理模型顯著提升了所提算法的性能，而差分進(jìn)化算子也使得算法有一定的提升。為了進(jìn)一步說(shuō)明二者的性能，本文記錄了各個(gè)算法優(yōu)化函數(shù)F1時(shí)，在進(jìn)化過(guò)程中第100代到第5000代之間的一些取值變化情況。這些值包括算法在相應(yīng)代數(shù)所得Pareto占優(yōu)解集的IGD 值，代理模型所確定的最佳類數(shù)c，以及反映分布估計(jì)模型精度的噪聲幅度值Δ，分別如圖2～圖4所示。

從圖2結(jié)果顯示MGA－ED－ASM 采用普通的交叉算子后，盡管最終也得到了較好的IGD 指標(biāo)，但其相比于MDE－ED－ASM，花費(fèi)了更多的函數(shù)調(diào)用次數(shù)才得到同等量級(jí)的優(yōu)化結(jié)果，而MDE－ED的效果則更差，甚至無(wú)法得到較高量級(jí)的指標(biāo)。

圖2 代理模型和差分算子對(duì)IGD 值的影響

圖3 代理模型和差分算子對(duì)類數(shù)c值的影響

圖4 代理模型和差分算子對(duì)概率ps 值的影響

從圖3結(jié)果顯示MGA－ED－ASM 能夠更好的估計(jì)出一個(gè)穩(wěn)定的最佳類數(shù)c，該值在F1函數(shù)中為7，而該函數(shù)最優(yōu)解集在解空間中的流形分布可以看作是7段一維流形構(gòu)成的?？梢?jiàn)MGA－ED－ASM 估計(jì)出的類數(shù)較為準(zhǔn)確地反映了流形的真實(shí)結(jié)構(gòu)。

從圖4結(jié)果顯示MGA－ED 的選擇概率整體向上爬升，但進(jìn)化中出現(xiàn)較大的抖動(dòng)。這是由于去除代理模型后，分布估計(jì)模型缺少足夠的樣本，影響了評(píng)估精度，需要更多借助差分算子來(lái)改善性能。

4 結(jié)束語(yǔ)

設(shè)計(jì)的基于分布估計(jì)和差分進(jìn)化的多目標(biāo)優(yōu)化算法提出了基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的代理模型，有效建立了分布估計(jì)模型、代理模型與Pareto最優(yōu)解集所處流形之間的映射關(guān)系。通過(guò)多組優(yōu)化問(wèn)題的測(cè)試和分析驗(yàn)證了所提算法的性能。其整體性能好于同樣適用分布估計(jì)模型的算法RMMEDA。此外，實(shí)驗(yàn)分析也表明差分算子和代理模型能夠加快算法的優(yōu)化速度，使其在同樣函數(shù)調(diào)用次數(shù)下得到更好的優(yōu)化結(jié)果。而代理模型中采用超體積指標(biāo)自適應(yīng)確定最佳類數(shù)c的方法，既避免了參數(shù)設(shè)置的問(wèn)題，又較為準(zhǔn)確評(píng)估出了流形的分段數(shù)量，提升了分布估計(jì)模型和代理模型的性能。

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