單維參數(shù)型與非參數(shù)型項(xiàng)目反應(yīng)理論項(xiàng)目參數(shù)的比較研究*

張 軍

(北京語言大學(xué)漢語進(jìn)修學(xué)院，北京100083)

1 問題的提出

單維項(xiàng)目反應(yīng)理論模型分參數(shù)型(Parametric Item Response Theory，PIRT)與非參數(shù)型(Nonparametric Item Response Theory，NIRT)兩種。PIRT 模型適合于等距量表或比率量表水平的測量;而NIRT的測量限于順序量表水平。(Meijer，Sijtsma，＆Smid，1990;Sijtsma ＆ Verweij，1992)前者使用難度、區(qū)分度、猜測度等若干項(xiàng)目參數(shù)刻畫項(xiàng)目特征曲線，描寫項(xiàng)目的測量特性;而后者不要求反應(yīng)數(shù)據(jù)符合某種特定函數(shù)形態(tài)，比前者限制要少，只使用量表適宜性系數(shù)H(scalability coefficients)衡量項(xiàng)目測量被試的適宜性。

關(guān)于PIRT 與NIRT 兩種模型下項(xiàng)目參數(shù)之間的關(guān)系，有的研究者做了有益的分析。Roskam 等(1986)、Jansen(1982)和Mokken 等(1986)認(rèn)為H 系數(shù)是一個(gè)能反映項(xiàng)目綜合性能的統(tǒng)計(jì)量，它與潛在能力的方差、難度的全距(the spread of item difficulties)和區(qū)分度三個(gè)因素有關(guān)，當(dāng)其中兩個(gè)因素保持不變，H系數(shù)就是另一個(gè)因素的遞增函數(shù)，但是一個(gè)特定的H值并不能提供有關(guān)三個(gè)因素的具體信息。

Sijtsma，Emons，Bouwmeester 和Ivan(2008)認(rèn)為Hi 系數(shù)的取值取決于項(xiàng)目區(qū)分度、難度與潛在變量分布的交互作用。他們模擬了分布情況分別為(均值= -2，標(biāo)準(zhǔn)差=1)和(均值=1，標(biāo)準(zhǔn)差=1)兩種能力群體對(duì)5 個(gè)多級(jí)項(xiàng)目的反應(yīng)數(shù)據(jù)，樣本容量都是5000 人，這5 個(gè)項(xiàng)目的三個(gè)等級(jí)的難度各不相同，區(qū)分度都是1.4。經(jīng)計(jì)算，雖然項(xiàng)目的區(qū)分度相同，但Hi 系數(shù)卻因?yàn)槟芰Ψ植寂c難度的不同而大小不同。張軍(2010)使用自動(dòng)選題策略分析試卷維度時(shí)，發(fā)現(xiàn)項(xiàng)目的區(qū)分度對(duì)通過H 系數(shù)進(jìn)行的量表構(gòu)建過程有較大影響。除以上三個(gè)因素以外，是否還存在其他因素與H 系數(shù)有關(guān)，如潛在能力分布的均值、難度分布的均值等，以及潛在能力、難度、區(qū)分度三個(gè)因素如何綜合影響H 系數(shù)，這些問題尚未有研究涉及。

2 PIRT 模型的項(xiàng)目參數(shù)

單維性和局部獨(dú)立性是單維參數(shù)型項(xiàng)目反應(yīng)理論兩大基本假設(shè)，除此以外，PIRT 還要求潛在能力與被試項(xiàng)目反應(yīng)之間的關(guān)系符合某種特定的函數(shù)形態(tài)。根據(jù)函數(shù)的不同，主要有兩種單維PIRT 模型:正態(tài)拱形模型(Lord，1952)和邏輯斯蒂克模型(Birnbaum，1957)。這兩種模型的項(xiàng)目特征曲線的形態(tài)都呈S 型，根據(jù)所含項(xiàng)目參數(shù)的多寡又分為單參數(shù)模型(難度)、雙單數(shù)模型(難度、區(qū)分度)和三參數(shù)模型(難度、區(qū)分度、猜測度)。

若給邏輯斯蒂克模型添加個(gè)調(diào)節(jié)系數(shù)1.7，那么兩種模型差別極小，但邏輯斯蒂克模型計(jì)算起來相對(duì)方便，遂使用更為廣泛。難度參數(shù)與潛在能力參數(shù)在同一量綱中(Hambleton ＆ Swaminathan，1984)，一般處于-3 到3 之間，取值越大，說明項(xiàng)目越不容易答對(duì);區(qū)分度處于0 到2 之間，取值越大，項(xiàng)目特征曲線越陡峭，項(xiàng)目對(duì)被試的區(qū)分能力越強(qiáng);猜測度愈高，被試愈容易通過猜測回答正確。

單參數(shù)模型不含區(qū)分度，相當(dāng)于區(qū)分度等于1的雙參數(shù)模型，是雙參數(shù)模型的特殊形態(tài)，其對(duì)數(shù)據(jù)的要求更嚴(yán)格，所以雙參數(shù)或三參數(shù)模型在擬合數(shù)據(jù)上更加靈活。在大樣本數(shù)據(jù)情況下，難度和區(qū)分度兩參數(shù)都能得到良好的估計(jì)，猜測度卻相對(duì)不太穩(wěn)定，因此在實(shí)踐中，雙參數(shù)模型優(yōu)勢最明顯。雙參數(shù)邏輯斯蒂克模型的形式如下:

注:ai為項(xiàng)目i 區(qū)分度;bi為項(xiàng)目i 區(qū)分度

D 為調(diào)節(jié)系數(shù)，取值1.7;θ 為被試潛在能力參數(shù)

3 NIRT 模型的項(xiàng)目參數(shù)

Mokken(1971)提出了NIRT 中的單調(diào)勻質(zhì)模型(The Monotone Homogeneity Model，MHM)和雙單調(diào)模型(The Double Monotonicity Model，DMM)。MHM 模型有三個(gè)基本假設(shè):單維性、局部獨(dú)立性、單調(diào)性。前兩個(gè)假設(shè)與PIRT 相同，但是NIRT 不要求被試潛在能力與項(xiàng)目反應(yīng)之間的關(guān)系符合某種特定函數(shù)形態(tài)，只要求項(xiàng)目反應(yīng)曲線非單調(diào)遞減，即若存在兩個(gè)潛在能力值θa和θb，且θa≤θb，那么P(xj= 1| θ = θa〉)≤P(xj= 1| θ = θb〉。DMM 除以上三個(gè)假設(shè)外，另要求所有項(xiàng)目特征曲線不交叉，即非交叉性，類似于PIRT 中的單參數(shù)模型。從假設(shè)要求來看，NIRT 模型比PIRT 模型更自由，其對(duì)被試潛在能力與項(xiàng)目反應(yīng)之間關(guān)系的理解更寬泛，所以若某數(shù)據(jù)擬合PIRT 模型，那它必然亦擬合NIRT 模型。

為衡量數(shù)據(jù)是否擬合NIRT 模型，Mokken 采用了Loveinger(1947)提出的量表適宜性系數(shù)(scalability coefficients)。系數(shù)分為:項(xiàng)目i 與項(xiàng)目j 間的量表適宜系數(shù)Hij;項(xiàng)目i 與剩余項(xiàng)目全體的量表適宜系數(shù)Hi;全體項(xiàng)目的量表適宜系數(shù)H。計(jì)算公式如下:

注:R(i)指除i 以外其他題的總分。

若數(shù)據(jù)擬合NIRT 模型，那么三種量表適宜性系數(shù)就都處于0 和1 之間。Mokken(1971)認(rèn)為僅當(dāng)H ＞c 時(shí)，那個(gè)量表才有用。c 是低限，可根據(jù)需要設(shè)定，至少為0.3。當(dāng)0.3 ≤H ＜0.4 時(shí)，被認(rèn)為是較弱程度的量表;當(dāng)0.4 ≤H ＜0.5 時(shí)，程度中等;當(dāng)0.5≤H 時(shí)，程度強(qiáng)。換言之，如果H 處于0 到0.3 之間，我們就不能相信項(xiàng)目組有足夠共同的東西能將被試在一有意義的潛在特質(zhì)上排序(張軍，2010)。

4 實(shí)驗(yàn)研究

為研究被試能力、項(xiàng)目難度和區(qū)分度三個(gè)因素與量表適宜性系數(shù)的關(guān)系，設(shè)計(jì)本實(shí)驗(yàn)。

4.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/h3>

實(shí)驗(yàn)希望解決四個(gè)問題:(1)區(qū)分度分布不同，難度分布相同的項(xiàng)目測量能力高低不同的群體時(shí)，項(xiàng)目的Hi 系數(shù)是否不同，即區(qū)分度分布與Hi 系數(shù)的關(guān)系。(2)難度分布不同，區(qū)分度分布相同的項(xiàng)目測量能力高低不同的群體時(shí)，項(xiàng)目的Hi 系數(shù)是否不同，即難度分布與Hi 系數(shù)的關(guān)系。(3)項(xiàng)目區(qū)分度分布、難度分布、被試群體潛在能力分布三個(gè)因素對(duì)試卷H 系數(shù)的綜合影響。

4.2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

由于真實(shí)的測驗(yàn)數(shù)據(jù)難以嚴(yán)格滿足實(shí)驗(yàn)控制要求，實(shí)驗(yàn)使用軟件WinGen3(Han ＆ Hambleton，2007)，采用蒙特卡羅方法模擬若干套擬合雙參數(shù)邏輯斯蒂克模型的數(shù)據(jù)，然后再計(jì)算這些項(xiàng)目的Hi與H 系數(shù)，進(jìn)而比較分析NIRT 與PIRT 兩種模型項(xiàng)目參數(shù)的異同。為保證被試與項(xiàng)目樣本的充分性，模擬的數(shù)據(jù)為10000 個(gè)被試對(duì)100 個(gè)項(xiàng)目的反應(yīng)。

潛在能力一般服從正態(tài)分布，實(shí)驗(yàn)?zāi)M了三個(gè)能力高低不同的被試群體:低能力分布Θ1(均值= -2，標(biāo)準(zhǔn)差= 1)、中等能力分布Θ2(均值= 0，標(biāo)準(zhǔn)差= 1)與高能力分布Θ3(均值= 2，標(biāo)準(zhǔn)差=1)。在項(xiàng)目反應(yīng)理論中，難度參數(shù)與能力參數(shù)處于同一量綱中，所以實(shí)驗(yàn)?zāi)M了三個(gè)與不同能力分布相對(duì)應(yīng)的難度參數(shù)分布，分別為:Β1(- 2，1)、Β2(0，1)、Β3(2，1)。區(qū)分度處于0 到2 之間，服從均勻分布。按取值大小，分四種類型:低區(qū)分度分布A1(0.1，0.5)、較低區(qū)分度分布A2(0.6，1.0)、較高區(qū)分度分布A3(1.1，1.5)和高區(qū)分度分布A4(1.6，2.0)。

被試能力分布、項(xiàng)目難度分布、項(xiàng)目區(qū)分度分布為三個(gè)自變量，量表適宜性系數(shù)為因變量。被試能力與項(xiàng)目難度分布分別有3 個(gè)水平，區(qū)分度分布有4個(gè)水平，實(shí)驗(yàn)為3 ×3 ×4 交叉設(shè)計(jì)，共36 套模擬數(shù)據(jù)，具體見表1。

表1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)表

4.3 分析與結(jié)果

實(shí)驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)軟件R 中2.7.5 版本的mokken軟件包(Van der Ark，2010)計(jì)算36 套模擬數(shù)據(jù)中100 個(gè)項(xiàng)目的Hi 系數(shù)與每套試卷的H 系數(shù)，使用SPSS13.0 計(jì)算每套試卷中所有項(xiàng)目區(qū)分度與Hi 系數(shù)、難度與Hi 系數(shù)之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)。

4.3.1 區(qū)分度分布與項(xiàng)目Hi 系數(shù)的關(guān)系

相關(guān)系數(shù)的高低代表了兩列變量的共變性，正相關(guān)表示其存在一致性變化，反之，負(fù)相關(guān)表示其存在相反的變化趨勢。表2a、b、c 列出當(dāng)難度分別固定為B1(- 2，1)、B2(0，1)、B3(2，1)，不同區(qū)分度分布的項(xiàng)目測量不同能力分布的被試群體時(shí)，項(xiàng)目區(qū)分度與Hi 系數(shù)之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)。如表2a 中第一行的0.971、0.965 和0.944 分別表示當(dāng)難度分布為B1(-2，1)，區(qū)分度分布為A1(0.1，0.5)的100 個(gè)項(xiàng)目在用于測量三個(gè)不同能力分布時(shí)，項(xiàng)目區(qū)分度與Hi 系數(shù)的相關(guān)系數(shù)。同樣，表中每列表示不同區(qū)分度分布的項(xiàng)目用于測量同一能力分布被試時(shí)，項(xiàng)目區(qū)分度與Hi 系數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)。＊＊表示在0.01 水平上顯著，*表示在0.05 水平上顯著。

表2a 難度固定為B1(-2，1)

表2b 難度固定為B2(0，1)

表2c 難度固定為B3(2，1)

表2 里36 個(gè)相關(guān)系數(shù)中有29 個(gè)在0.01 或0.05水平上顯著，這說明無論被試能力是什么分布，當(dāng)難度固定時(shí)，區(qū)分度與Hi 系數(shù)存在正相關(guān)，但區(qū)分度越大，它與Hi 系數(shù)相關(guān)的程度愈趨于弱化。如表2a第一列，從上到下，隨著項(xiàng)目區(qū)分度的增加，相關(guān)系數(shù)從0.971 降到0.307。只有當(dāng)B2(0，1)和Θ1(-2，1)時(shí)，A3(1.1，1.5)與A4(1.6，2.0)兩個(gè)分布的區(qū)分度與Hi 系數(shù)呈相反情況。當(dāng)B1(-2，1)和Θ3(2，1)時(shí)，A3(1.1，1.5)和A3(1.1，1.5)兩個(gè)分布的區(qū)分度與Hi 系數(shù)也呈相反情況，但由于在統(tǒng)計(jì)上都不顯著，所以不予考慮。因此，換言之，Hi 系數(shù)與項(xiàng)目區(qū)分度有一定相關(guān)性，但項(xiàng)目Hi 系數(shù)的計(jì)算能防止區(qū)分度大的項(xiàng)目對(duì)其取值造成過度影響。

另外，測驗(yàn)用于測量與難度分布相匹配的能力分布群體時(shí)，其區(qū)分度與Hi 系數(shù)的相關(guān)總是高于難度分布于能力分布不匹配時(shí)的相關(guān)。如表2a 的每行中，總是第一列的相關(guān)最高;表2b 的每行中，總是第二列的相關(guān)最高;表2c 的每行中，第三列的相關(guān)最高。所以，當(dāng)難度分布于被試群體能力分布匹配時(shí)，項(xiàng)目區(qū)分度與Hi 系數(shù)一致性會(huì)得到加強(qiáng)。

4.3.2 難度分布對(duì)項(xiàng)目Hi 系數(shù)的關(guān)系

表3a、b、c、d 列出當(dāng)區(qū)分度分別固定為A1(0.1，0.5)、A2(0.6，1.0)、A3(1.1，1.5)和A4(1.6，2.0)，不同難度分布的項(xiàng)目測量不同能力分布的被試群體時(shí)，項(xiàng)目難度與Hi 系數(shù)之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)。表3a 表明，當(dāng)固定為低區(qū)分度分布A1(0.1，0.5)時(shí)，不同難度分布的項(xiàng)目區(qū)分度與Hi 系數(shù)均無相關(guān)。側(cè)，即于被試而言，項(xiàng)目較容易時(shí)，難度與Hi 系數(shù)呈正相關(guān)。換言之，項(xiàng)目越難，其Hi 系數(shù)越大。如表3b中，當(dāng)難度為B1(-2，1)，能力分布分別為Θ2(0，1)和Θ3(2，1)時(shí)，相關(guān)系數(shù)為0.586 和0.786。

表3a 區(qū)分度固定為A1(0.1，0.5)

表3b 區(qū)分度固定為A2(0.6，1.0)

表3c 區(qū)分度固定為A3(1.1，1.5)

表3d 區(qū)分度固定為A4(1.6，2.0)

(2)當(dāng)項(xiàng)目難度分布處于被試能力分布的右側(cè)，即于被試而言，項(xiàng)目較難時(shí)，難度與Hi 系數(shù)呈負(fù)相關(guān)，即項(xiàng)目越容易，其Hi 系數(shù)越大。如表3c 中，當(dāng)難度為B3(2，1)，能力分布分別為Θ1(- 2，1)和Θ2(0，1)時(shí)，相關(guān)系數(shù)為-0.821 和-0.779。

(3)當(dāng)項(xiàng)目難度分布和被試能力分布匹配，即于被試而言，項(xiàng)目難度適當(dāng)時(shí)，難度與Hi 系數(shù)無相關(guān)或呈非常弱的相關(guān)性。如表3c 中，當(dāng)B1(- 2，1)和Θ1(-2，1)時(shí)，相關(guān)僅為0.009，且不顯著。只有表3d 中，當(dāng)B1(- 2，1)和Θ1(- 2，1)、B3(2，1)和Θ3(2，1)兩種情況時(shí)，情況特殊，系數(shù)分別為0.417和0.656，且均在0.01 水平上顯著，這可能與高區(qū)分度這一因素有關(guān)。

4.3.3 三個(gè)因素對(duì)試卷H 系數(shù)的綜合影響

H 系數(shù)的大小反映了整個(gè)試卷測量某被試群體的綜合性能。36 套試卷代表了36 種情境，實(shí)驗(yàn)計(jì)算了這不同情境下H 系數(shù)的取值，取值大小的變化揭示三個(gè)因素對(duì)試卷H 系數(shù)的綜合影響，具體見表4。

表4 不同情境下H 系數(shù)的取值

經(jīng)分析，表4 中H 系數(shù)的變化表現(xiàn)出三種規(guī)律:

(1)當(dāng)能力與難度分布不變時(shí)，區(qū)分度越大，H值越大。如當(dāng)B1(-2，1)和Θ1(-2，1)時(shí)，隨著區(qū)分度分布從A1到A4，H 系數(shù)從0.025 增加到0.474。

(2)當(dāng)區(qū)分度分布不變時(shí)，測驗(yàn)難度分布與被試能力分布匹配時(shí)，H 值最大。如第一、二、三、四列中，B1(-2，1)與Θ1(-2，1)分布匹配，所以這四列中第一行的H 系數(shù)在每列中都是最大的。同理，第五、六、七、八列中，第二行的H 系數(shù)在每列中最大;第九、十、十一、十二列中，第三行的H 系數(shù)在每列中最大。

(3)當(dāng)能力與難度分布匹配時(shí)，區(qū)分度達(dá)到1.1以上時(shí)，測驗(yàn)才能達(dá)到0.3 的低限，如B1(-2，1)與Θ1(-2，1)分布匹配，當(dāng)區(qū)分度分布為A3(1.1，1.5)和A4(1.6，2.0)時(shí)，H 系數(shù)取值為0.327 和0.474;當(dāng)能力分布與難度分布接近匹配時(shí)，區(qū)分度達(dá)到1.6 以上時(shí)，測驗(yàn)才能達(dá)到0.3 的低限，如B1(-2，1)與Θ2(0，1)分布臨近，當(dāng)區(qū)分度分布為A4(1.6，2.0)時(shí)，H 系數(shù)為0.366;當(dāng)能力分布與難度分布差異較大時(shí)，無論區(qū)分度多大，測驗(yàn)都達(dá)不到0.3 的低限，如B1(- 2，1)與Θ3(2，1)分布差異較大，在何種區(qū)分度分布下，H 系數(shù)均小于0.3。

5 結(jié)論

NIRT 模型比PIRT 的基本假設(shè)更寬松、自由，它為理解潛在能力與項(xiàng)目反應(yīng)之間的關(guān)系提供了一個(gè)更寬闊的視角。項(xiàng)目反應(yīng)數(shù)據(jù)若擬合PIRT 模型，那必然擬合NIRT 模型，某種程度上，PIRT 模型是NIRT 模型的特例。

兩者使用不同的項(xiàng)目參數(shù)描寫項(xiàng)目的測量特性，研究的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明項(xiàng)目難度分布、區(qū)分度分布和被試群體的能力分布這三個(gè)因素交互影響著Hi系數(shù)和H 系數(shù)，兩種模型的項(xiàng)目參數(shù)間有著復(fù)雜的關(guān)聯(lián)性。

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