楊柳，劉金琨

(北京航空航天大學(xué) 自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京100191)

對其求導(dǎo)有:

0 引言

旋翼類無人機(jī)(UAV)相比固定翼無人機(jī)具有垂直起降、懸停等優(yōu)點(diǎn)，因此受到了各國學(xué)者的廣泛關(guān)注［1-2］。

為了完成無人機(jī)自主飛行，跟蹤特定的軌跡，需要通過自動飛行控制系統(tǒng)來代替地面站的人為操控。四旋翼無人機(jī)具有6個(gè)自由度，但是只有4個(gè)獨(dú)立的控制輸入，是一個(gè)欠驅(qū)動系統(tǒng)［3］。針對其具有多輸入多輸出、強(qiáng)耦合、高度非線性等特點(diǎn)［4］，采用了很多線性和非線性的控制策略，如PD控制、滑?？刂?、反演控制、H∞控制［5-8］等。文獻(xiàn)［9］中針對無人機(jī)質(zhì)量隨時(shí)間變化的情況，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)反演控制器，以補(bǔ)償質(zhì)量不確定性。但是在該研究中，并沒有涉及慣性矩陣的不確定性。根據(jù)歐拉-拉格朗日動力學(xué)模型，文獻(xiàn)［10］利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)未知的非線性項(xiàng)，不需要模型先驗(yàn)信息，獲得了良好的跟蹤效果。

現(xiàn)有的控制方法在建模時(shí)，大都假設(shè)在低速懸停飛行中忽略氣動干擾力和干擾力矩的影響［11-12］。實(shí)際上，四旋翼無人機(jī)在飛行過程中，受到包括近地效應(yīng)、槳葉揮舞、陣風(fēng)等外界干擾的影響。這些干擾降低了飛行品質(zhì)，甚至?xí)茐臒o人機(jī)的穩(wěn)定性;因此對四旋翼無人機(jī)的飛行控制系統(tǒng)性能提出了新的要求，它必須具有魯棒性，可以克服建模不確定性和外界氣動干擾。文獻(xiàn)［13］利用了在滑模面上系統(tǒng)的運(yùn)動不依賴于模型的優(yōu)點(diǎn)，采用高階滑模，設(shè)計(jì)了四旋翼無人機(jī)的抗干擾控制器，既實(shí)現(xiàn)了高精度控制，又消除了傳統(tǒng)滑模的抖顫現(xiàn)象。本文針對所有自由度均存在干擾的情況，設(shè)計(jì)了基于非線性干擾觀測器的魯棒控制器，完成了四旋翼無人機(jī)的高精度軌跡跟蹤控制。

1 四旋翼無人機(jī)動態(tài)模型

四旋翼無人機(jī)由四個(gè)螺旋槳呈十字交叉組成，每個(gè)螺旋槳通過微型直流電機(jī)驅(qū)動。兩組螺旋槳(1，3)和(2，4)繞著相反的方向旋轉(zhuǎn)，合成運(yùn)動所需要的推力和轉(zhuǎn)矩。通過改變每個(gè)螺旋槳的轉(zhuǎn)速，進(jìn)而改變升力和力矩，完成上升、偏航、滾轉(zhuǎn)等飛行動作。四旋翼無人機(jī)的簡化結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 四旋翼無人機(jī)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of quadrotor UAV

利用歐拉-拉格朗日建模原理，建立系統(tǒng)的動態(tài)模型［14］如式(1)和式(2)，它們分別代表了無人機(jī)系統(tǒng)的位置子系統(tǒng)和姿態(tài)子系統(tǒng)動力學(xué)模型。值得注意的是，由于姿態(tài)子系統(tǒng)中不包含位置變量，可以在適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)結(jié)構(gòu)分解基礎(chǔ)上，簡化控制律設(shè)計(jì)。

式中:m為總質(zhì)量;p=［x，y，z］T為無人機(jī)在慣性坐標(biāo)系 J{Ex，Ey，Ez}中質(zhì)心的位置;U1∈R1和 Γ∈R3為系統(tǒng)的控制輸入，分別表示升力和姿態(tài)子系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)力矩;J為輔助慣性矩陣，是剛體慣性張量i=［Ixx，Iyy，Izz］T在慣性坐標(biāo)系中的表示;Θ =［φ，θ，ψ］T為歐拉姿態(tài)角;g 為重力加速度;e3=［0，0，1］T為豎直方向單位向量;羅德里格斯矩陣R表示平動速度從剛體坐標(biāo)系B{Bx，By，Bz}到慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，可以通過以下公式計(jì)算得到:

式中:C(·)和S(·)分別代表余弦函數(shù)和正弦函數(shù)。

C為科里奧利及離心力項(xiàng)，可以通過以下公式計(jì)算得到:

結(jié)合式(2)和式(4)可以得到C，為了簡潔，其具體表達(dá)式見文獻(xiàn)［15］。

若螺旋槳轉(zhuǎn)速為ω，則總的升力為:

進(jìn)一步，可得四旋翼無人機(jī)姿態(tài)控制輸入轉(zhuǎn)矩:

式中:b，c均為與空氣動力學(xué)相關(guān)的常數(shù);l為四旋翼無人機(jī)配置半徑。本文將升力U1和旋轉(zhuǎn)力矩Γ作為控制輸入，設(shè)計(jì)控制律。

2 位置跟蹤控制器設(shè)計(jì)

假設(shè)期望跟蹤的參考位置為pd，定義跟蹤誤差為ep=p-pd，那么位置子系統(tǒng)的誤差方程為:

式中:up=U1Re3為待設(shè)計(jì)的虛擬控制輸入。定義第一個(gè)誤差流形面

考慮到在實(shí)際的運(yùn)輸中，由于貨物裝卸，無人機(jī)負(fù)載變化，致使總質(zhì)量具有不確定性。為保證對期望的參考位置信號的精確跟蹤，采用自適應(yīng)策略，設(shè)計(jì)位置子系統(tǒng)虛擬控制律:

其中:

式中:c1＞0為控制器參數(shù);分別代表質(zhì)量和外界干擾力的估計(jì)值，自適應(yīng)更新律為:

將虛擬控制輸入式(11)代入式(16)，得:

根據(jù)自適應(yīng)律式(13)和式(14)，可得:

根據(jù) Barbalat引理［16］，可以得到 σ1→0，t→∞，則有至此，定理1證畢。

在得到虛擬控制輸入up后，還需要計(jì)算實(shí)際的升力U1和姿態(tài)子系統(tǒng)中間指令信號 Θd。將式(11)得到的虛擬控制輸入寫成向量形式up=［Ux，Uy，Uz］T，姿態(tài)子系統(tǒng)的中間指令信號設(shè)為 Θd=，展開up求解得俯仰角指令信號為:

滾轉(zhuǎn)角度指令信號為:

偏航角指令信號ψd直接由指令信號發(fā)生器給出，可以跟蹤任意的偏航角。聯(lián)合式(11)、式(19)和式(20)，可以得到實(shí)際的升力為:

至此完成了位置子系統(tǒng)的自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)，對質(zhì)量負(fù)載和氣動干擾力進(jìn)行估計(jì)。在有限的模型先驗(yàn)信息條件下，完成了高精度的位置控制。由于欠驅(qū)動特性的存在，不可能對所有6個(gè)自由度都進(jìn)行跟蹤。一個(gè)合理的控制目標(biāo)方案為:跟蹤位置p和偏航角ψd，同時(shí)保證另外兩個(gè)歐拉角穩(wěn)定。

3 姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

3.1 干擾觀測器設(shè)計(jì)

式(2)為姿態(tài)子系統(tǒng)的動態(tài)方程，為了跟蹤中間指令信號Θd，需要設(shè)計(jì)控制輸入轉(zhuǎn)矩Γ。同時(shí)考慮姿態(tài)子系統(tǒng)的模型不確定性和外界非結(jié)構(gòu)性干擾力矩，式(2)可以寫為:

式中:J0為控制器設(shè)計(jì)的名義模型，選取為正定對稱矩陣;JΔ為慣性誤差矩陣，滿足J=J0+JΔ;同理C0和CΔ分別代表科里奧利和離心力模型矩陣和誤差矩陣，滿足C=C0+CΔ。因此包含模型不確定性和外界干擾的總干擾力矩為:

因此姿態(tài)子系統(tǒng)的動態(tài)模型可以化為:

為了對d1實(shí)施補(bǔ)償，提高控制系統(tǒng)的魯棒性，設(shè)計(jì)下面的非線性干擾觀測器(Nonlinear Disturbance Observer，NDO)對 d1進(jìn)行觀測。

式中:Z∈R3為中間變量為增益矩陣為輔助信號;X1∈R3×3為待設(shè)計(jì)常數(shù)矩陣。令

對其求導(dǎo)有:

考慮Lyapunov函數(shù):

對式(29)求導(dǎo)，得:

若選擇X1滿足

式中:ξ0為正定矩陣。進(jìn)一步得:

結(jié)合瑞利-里茲不等式，有:

式中:λM(·)和λm(·)分別代表相應(yīng)矩陣的最大和最小特征值。根據(jù)式(33)可得:

式中:ξi(i=1，2)為正常數(shù)。聯(lián)合式(32)和式(34)，則觀測誤差具有指數(shù)收斂速率。

3.2 控制輸入轉(zhuǎn)矩設(shè)計(jì)

定義姿態(tài)子系統(tǒng)的跟蹤誤差信號Θe=Θ-Θd，，引入第 2 個(gè)誤差流形:

則姿態(tài)誤差子系統(tǒng)可以寫為:

設(shè)計(jì)控制輸入轉(zhuǎn)矩:

式中:c2＞0為控制器設(shè)計(jì)參數(shù);J0和C0為控制器設(shè)計(jì)的名義模型，J0取為常數(shù)矩陣。

定理2:考慮位置姿態(tài)誤差子系統(tǒng)式(36)，干擾觀測器式(25)和輸入轉(zhuǎn)矩式(37)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)，存在合適的控制參數(shù) c2，λ2，X1，滿足 c2＞ 1/2，λm(ξ0)＞1/2，使得所有誤差信號指數(shù)收斂，閉環(huán)子系統(tǒng)全局穩(wěn)定。

證明:選取如下的Lyapunov函數(shù):

沿著閉環(huán)系統(tǒng)軌跡，求導(dǎo)有:

將控制轉(zhuǎn)矩式(35)代入式(37)，可得:

根據(jù)Young氏不等式:

只要選擇 c2＞1/2，λm(ξ0)＞1/2，則有:

其中:

再一次利用瑞利-里茲不等式:

可以得到姿態(tài)誤差子系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定，定理2證畢。

在定理1和定理2的基礎(chǔ)上，選取兩個(gè)子系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)之和V0作為整個(gè)系統(tǒng)的能量函數(shù):

求導(dǎo)可以得到:

整個(gè)無人機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 控制器結(jié)構(gòu)Fig.2 Controller structure

4 仿真結(jié)果及分析

四旋翼飛行過程中受到的慢時(shí)變外界氣動干擾力和干擾力矩分別為:

這里干擾的周期根據(jù)實(shí)際氣流運(yùn)動情況進(jìn)行選擇。位置跟蹤控制器參數(shù)為c1=5，λ1=5，γ1=5，γ2=0.1。

姿態(tài)子系統(tǒng)控制器參數(shù)整定結(jié)果為X1=diag［1，2，3］，c2=2。仿真結(jié)果如圖3 ～圖5 所示。

圖3 位置跟蹤三維效果Fig.3 Position tracking effects of 3D

從圖3的三維飛行效果可以看出，實(shí)際飛行路徑快速跟蹤到期望的參考位置，完成了高精度的螺旋上升大機(jī)動飛行任務(wù)。圖中，正方形點(diǎn)表示質(zhì)量變化時(shí)刻。

圖4是沒有非線性觀測器對干擾力矩進(jìn)行觀測的情況，此時(shí)輸入轉(zhuǎn)矩中不包含對干擾力矩的補(bǔ)償項(xiàng)，姿態(tài)角跟蹤效果較差。圖4(a)和圖4(b)為姿態(tài)子系統(tǒng)對中間指令信號θd和φd的跟蹤效果，圖4(c)為對指令發(fā)生器中給出的偏航角指令信號ψd的跟蹤效果。

有干擾觀測器補(bǔ)償外界干擾的情況下，圖5給出了姿態(tài)子系統(tǒng)對中間指令信號的跟蹤效果。與圖4對比可以發(fā)現(xiàn)，跟蹤的精度顯著提高，系統(tǒng)魯棒性增強(qiáng)。

圖4 沒有補(bǔ)償?shù)淖藨B(tài)跟蹤效果Fig.4 Attitude tracking effect without compensation

圖5 有干擾補(bǔ)償?shù)淖藨B(tài)跟蹤效果Fig.5 Attitude tracking effects with compensation

5 結(jié)束語

針對欠驅(qū)動的四旋翼無人機(jī)，設(shè)計(jì)了一種高精度的軌跡跟蹤魯棒控制算法。通過自適應(yīng)策略，克服了位置子系統(tǒng)中質(zhì)量不確定性和氣動干擾力的影響。設(shè)計(jì)了一個(gè)新穎的非線性干擾觀測器，使得姿態(tài)子系統(tǒng)快速跟蹤中間指令信號，同時(shí)克服外界氣動干擾力矩和慣性矩陣不確定性。理論分析和仿真結(jié)果都表明，所設(shè)計(jì)的控制器能夠提升飛行控制系統(tǒng)的抗干擾能力，增強(qiáng)了魯棒性。這種基于干擾觀測器的魯棒控制策略對于其他飛行器克服外界氣流干擾也具有較好的參考意義。

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