瞬變電磁場(chǎng)模擬中的CPM L吸收邊界條件

姜彥南, 劉 文, 王 嬌,3, 張文翠（1.廣西無線寬帶通信與信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,桂林 541004；.桂林電子科技大學(xué)信息與通信學(xué)院,桂林 541004；3.桂林電子科技大學(xué)廣西信息科學(xué)實(shí)驗(yàn)中心,桂林 541004）

瞬變電磁場(chǎng)模擬中的CPM L吸收邊界條件

姜彥南1,2,3, 劉 文2, 王 嬌2,3, 張文翠2
（1.廣西無線寬帶通信與信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,桂林 541004；2.桂林電子科技大學(xué)信息與通信學(xué)院,桂林 541004；3.桂林電子科技大學(xué)廣西信息科學(xué)實(shí)驗(yàn)中心,桂林 541004）

提出用于瞬變電磁法（TEM）模擬的時(shí)域有限差分（FDTD）算法中的卷積完全匹配層（CPML）吸收邊界條件.首先,在磁場(chǎng)散度方程顯式處理?xiàng)l件下,計(jì)算磁場(chǎng)z分量時(shí),構(gòu)造出一種計(jì)算時(shí)域卷積項(xiàng)的方法,并詳細(xì)推導(dǎo)計(jì)算磁場(chǎng)z分量的表達(dá)式.而后,對(duì)均勻半空間模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.結(jié)果表明,提出的CPML吸收邊界條件在保證計(jì)算精度的前提下,實(shí)現(xiàn)了瞬變電磁法時(shí)域有限差分高效正演計(jì)算.

瞬變電磁法；時(shí)域有限差分；完全匹配層；CPML吸收邊界條件

0 引言

瞬變電磁法（Transient Electromagnetic Methods,TEM）是一種建立在人工可控源基礎(chǔ)上的時(shí)間域電磁勘探方法[1－2],因其具有對(duì)低阻體反應(yīng)靈敏、體積效應(yīng)小、縱橫向分辨率高、施工方便、效率高等優(yōu)點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于金屬礦勘探、煤礦水文地質(zhì)調(diào)查和工程勘查等領(lǐng)域,是目前地質(zhì)勘探中一種重要的方法.

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,基于有限元、有限差分等數(shù)值計(jì)算的瞬變電磁法正演研究也得到了快速推進(jìn).在有限差分正演計(jì)算方面,國(guó)外具有代表性的研究主要有：Oristaglio和Hohmann[3]開創(chuàng)性地采用DuFort-Frankel有限差分法研究了二維地電斷面下線源產(chǎn)生的瞬變電磁場(chǎng)；Wang和Hohmann[4－5]以地面均勻半空間瞬變電磁場(chǎng)的解析解為初始條件,采用改進(jìn)的DuFort-Frankel有限差分形式研究了三維時(shí)間域正演算法；Commer和Newman[6－7]基于并行有限差分法研究了電偶源瞬變電磁三維正演算法.國(guó)內(nèi)相關(guān)的研究開展稍晚,比如閆述[8]、劉云[9]等人利用DuFort-Frankel有限差分法分別采用總場(chǎng)和二次場(chǎng)求解法計(jì)算了二維瞬變電磁場(chǎng),并對(duì)均勻半空間中異常體的瞬變電磁場(chǎng)分布特征進(jìn)行了分析；孫懷鳳等[10]將瞬變電磁激發(fā)源直接加入安培環(huán)路定理,并考慮一次場(chǎng)計(jì)算和關(guān)斷時(shí)間的影響,采用時(shí)域有限差分（Finite Difference Time Domain,FDTD）法對(duì)三維模型進(jìn)行了計(jì)算和分析.

由于計(jì)算機(jī)的局限性,基于有限差分的瞬變電磁數(shù)值模擬只能在有限區(qū)域內(nèi)進(jìn)行,這樣必須對(duì)計(jì)算區(qū)域的邊界進(jìn)行截?cái)嗵幚?分析現(xiàn)有文獻(xiàn)[3－10]發(fā)現(xiàn),前人模擬瞬變電磁場(chǎng)過程中通常采用以下方式：假設(shè)計(jì)算區(qū)域足夠大,使得地下三個(gè)截?cái)噙吔珉x激勵(lì)源和目標(biāo)的距離足夠遠(yuǎn),此時(shí)地下目標(biāo)擴(kuò)散場(chǎng)在邊界處滿足Dirichlet條件,從而直接將邊界值設(shè)為零.該方式的優(yōu)點(diǎn)是邊界條件設(shè)置簡(jiǎn)單、方便、可靠性高,且滿足實(shí)際的物理規(guī)律；缺點(diǎn)是由于計(jì)算域范圍足夠大,數(shù)值正演計(jì)算時(shí)占用大量的計(jì)算內(nèi)存,耗費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間,導(dǎo)致基于有限差分的TEM計(jì)算效率極低.

為了克服以上缺點(diǎn),在FDTD方法模擬瞬變電磁場(chǎng)時(shí),我們采用縮小計(jì)算域范圍,并在地下截?cái)噙吔缣幵O(shè)置合適吸收邊界的形式加以實(shí)現(xiàn).目前應(yīng)用較多的吸收邊界條件有Mur吸收邊界條件、廖氏吸收邊界條件和完全匹配層（Perfectly Matched Layer,PML）吸收邊界條件.Mur吸收邊界條件[11]雖然簡(jiǎn)單方便、占用內(nèi)存小,但計(jì)算精度不高,在角區(qū)域存在較大誤差；二階近似的Mur吸收邊界條件雖然精度有所改善,但對(duì)低頻感應(yīng)場(chǎng)的吸收效果差.廖氏吸收邊界條件[12]能夠很好地吸收來自計(jì)算區(qū)域的電磁波,但它的高階吸收邊界條件不穩(wěn)定.PML邊界條件[13－15]給吸收邊界條件研究帶來了本質(zhì)性的突破,但它采用分裂電磁場(chǎng)的方式來描述各向異性材料,對(duì)計(jì)算機(jī)的硬件要求很高,并且在模擬瞬變電磁波時(shí)對(duì)地下高有耗介質(zhì)中的波和倏逝波的吸收效果不佳.在PML基礎(chǔ)上發(fā)展的UPML方法（uniaxial PML）[16,19]直接使用各向異性材料而不改變電磁場(chǎng)形式,能作為瞬變電磁波的吸收邊界條件,但它的遞推公式與材料特性有關(guān),并且對(duì)大角度入射波及瞬變電磁波里低頻成份的吸收效果差.目前最具潛力的當(dāng)屬卷積PML（Convolutional PML,CPML）吸收邊界條件[20],它除了具有UPML吸收邊界條件的性能外,還能對(duì)倏逝波、晚時(shí)反射波以及低頻感應(yīng)場(chǎng)進(jìn)行有效的吸收,因而CPML吸收邊界條件特別適合用做瞬變電磁法FDTD正演數(shù)值計(jì)算中截?cái)噙吔绲奶幚?

本文中,我們對(duì)CPML吸收邊界條件進(jìn)行研究,以用于瞬變電磁場(chǎng)時(shí)域有限差分算法計(jì)算區(qū)域的截?cái)嗵幚?

1 FDTD模擬TEM基本原理

準(zhǔn)靜態(tài)條件下,均勻、有耗、非磁性媒質(zhì)中,無源Maxwell方程組為[4]

其中E為電場(chǎng)強(qiáng)度,B為磁感應(yīng)強(qiáng)度,σ為電導(dǎo)率,μ0為真空中的磁導(dǎo)率.由于后期瞬變電磁場(chǎng)變化較緩慢, （1）式中忽略了位移電流項(xiàng),缺少對(duì)電場(chǎng)的時(shí)間導(dǎo)數(shù),因此方程組（1）～（4）式不能構(gòu)成顯式的時(shí)域有限差分方程,通常采用引入虛擬位移電流項(xiàng)的方式進(jìn)行處理,則（1）式修改為

式中,γ具有介電系數(shù)的量綱,稱為虛擬介電系數(shù),其取值必須滿足穩(wěn)定性條件并且使引入的虛擬位移電流項(xiàng)不影響計(jì)算結(jié)果.

研究發(fā)現(xiàn),在進(jìn)行瞬變電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算的過程中,公式（3）必須顯式包含在迭代過程中,否則對(duì)低頻電磁場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果是錯(cuò)誤的[4].因此,在下面章節(jié)中,我們將結(jié)合式（2）、（3）和（5）進(jìn)行計(jì)算.對(duì)于磁場(chǎng)的計(jì)算,可采用先通過式（2）求解磁場(chǎng)x、y兩個(gè)分量,然后再通過 Δ·B＝0求解磁場(chǎng)z分量的方式獲得,即

在二維TMy模式下,只有Ey、Bx和Bz三個(gè)場(chǎng)分量,因此標(biāo)量形式的Maxwell方程組為

為了便于分析,采用均勻網(wǎng)格將以上三式進(jìn)行FDTD離散.這里僅給出與式（9）對(duì)應(yīng)的離散式

值得注意的是,（10）式中Bz的求解采用從模型的底邊界向上步進(jìn)到地－空邊界的遞推方式.

2 FDTD模擬TEM響應(yīng)中的CPML吸收邊界條件

由式（2）、（3）和（5）可知,頻域中CPML區(qū)域內(nèi)的約束方程組為

其中,算子 Δs定義為[21]

sx,sy,sz稱為坐標(biāo)拉伸因子,具有以下形式

其中,ε0為自由空間的介電常數(shù),ω為角頻率,σw是CPML區(qū)域內(nèi)沿w方向的電導(dǎo)率,κw為網(wǎng)格延拓因子, αw是為改善對(duì)消逝波和低頻波的吸收而引入的參數(shù),它們分別為[21]

式中

其中εr為背景媒質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù),δ為網(wǎng)格尺寸,ρ為各場(chǎng)分量到計(jì)算域與CPML交界面之間的距離,d 為CPML厚度,m和mα為多項(xiàng)式分布的階數(shù),σfactor為誤差控制系數(shù),σw,max、κw,max、αw,max分別為相應(yīng)參數(shù)在w方向上的最大值.

定義傅里葉逆變換關(guān)系

由傅里葉變換理論及式（15）、（19）得[21]

其中f－1表示傅里葉逆變換算子,u（t）和δ（t）分別是階躍函數(shù)和脈沖函數(shù),t為時(shí)間.因此,在二維TMy模式下,應(yīng)用于CPML區(qū)域的（11）式和（12）式轉(zhuǎn)換成時(shí)域形式為[20]

式（21）、（22）的FDTD離散表達(dá)式可采用文獻(xiàn)[22]的方法求得,而（13）式的CPML吸收邊界條件公式在已掌握的文獻(xiàn)中未見報(bào)道.下面重點(diǎn)推導(dǎo)對(duì)應(yīng)于（13）式的CPML吸收邊界條件.

將（14）式代入（13）式并展開得

根據(jù)（20）式時(shí)－頻域轉(zhuǎn)換關(guān)系可得（23）式的時(shí)域形式為

考察（24）式不難發(fā)現(xiàn),該式不僅左右兩邊都包含卷積項(xiàng),而且卷積項(xiàng)形式為ζw（t）?Bw/?w,而CPML層中常規(guī)的方程表達(dá)式只有一邊包含卷積項(xiàng),且形式為ζv（t）?Bw/?v（如（21）,（22）式）,因此常規(guī)的FDTD離散方法無法求解（24）式.為此,針對(duì)（24）式中卷積項(xiàng)的計(jì)算構(gòu)造如下：

將（25）式中x和z分量的時(shí)域卷積項(xiàng)分別代入（24）式兩邊,并采用中心差分離散得

整理后,即得

其中,

從（27）式可以看出,在處理CPML吸收邊界時(shí),磁場(chǎng)Bz的推導(dǎo)也是從底邊界向上步進(jìn)到地－空邊界,這與計(jì)算域內(nèi)磁場(chǎng)Bz計(jì)算過程完全一致.對(duì)比式（10）可以發(fā)現(xiàn),（27）式中相對(duì)于常規(guī)FDTD迭代計(jì)算式多出了（1＋κxcx）κz/（1＋κzcz）κx和等號(hào)右邊后兩項(xiàng).在非CPML區(qū)域的FDTD計(jì)算中所有對(duì)應(yīng)的κw＝1以及σw＝0,從而cw＝0,（1＋κxcx）κz/（1＋κzcz）κx＝1,后兩項(xiàng)為0.因此,可以把非CPML區(qū)域和CPML區(qū)域的場(chǎng)分量迭代公式合并為一式.

由以上分析可以看出,式（21）,（22）和（24）就構(gòu)成了二維TMy模式下瞬變電磁法FDTD計(jì)算的CPML吸收邊界條件.

3 算例驗(yàn)證及分析

圖1 CPML吸收邊界條件截?cái)嗟木鶆虬肟臻g模型Fig.1 Sketch of homogeneous half-space model truncated by CPML ABC

為了驗(yàn)證分析本文提出的CPML吸收邊界條件的有效性及可靠性,考慮如圖1所示的均勻、有耗、非磁性二維半空間模型.坐標(biāo)原點(diǎn)位于地表面上,水平方向?yàn)閤軸,垂直向下為z軸正方向.空間步長(zhǎng)Δx＝Δz＝10 m,FDTD計(jì)算區(qū)域?yàn)?0×30個(gè)網(wǎng)格.地下介質(zhì)電導(dǎo)率σg＝1/300（s·m－1）.在x＝－100 m和x＝100 m的地面上（z＝0）分別通以I1＝1 A和I2＝－1 A的無限長(zhǎng)線電流源s1和s2.t＝0時(shí)刻斷開電流,初始時(shí)刻t0＝1.047 2μs；時(shí)間步長(zhǎng)Δtn＝a,虛擬介電常數(shù)γ ＝D/μ0（Δtn/δ）2,其中a為控制系數(shù),D為模擬空間的維度,δ為空間步長(zhǎng),n為時(shí)間步數(shù),取值分別為a＝0.2,D＝2,δ＝10m,n＝0,1,2,…, Δtn和γ隨時(shí)間延遲而逐漸增大；源作為初始條件加入[3],在t＝t0時(shí)刻賦給電場(chǎng)初始值,t＝t0＋Δt0/2賦給磁場(chǎng)初始值.地－空邊界采用地面上的垂直磁場(chǎng)Bz向空氣層延拓半個(gè)網(wǎng)格的切向磁場(chǎng)Bx得到（如圖1中Γ0所示）,地下三個(gè)邊界則采用CPML吸收邊界條件處理.

為了獲得較好的CPML吸收性能,基于大量數(shù)值試驗(yàn)并考慮計(jì)算量問題,最終選擇（16）－（18）式中的參數(shù)如下：κmax＝6,αmax＝0.05,σfactor＝300,m ＝1,mα＝1,CPML的厚度d為12個(gè)網(wǎng)格.設(shè)置觀察點(diǎn)A、B、C距離CPML區(qū)域內(nèi)邊界僅一個(gè)網(wǎng)格,分別位于網(wǎng)格點(diǎn)（－29,1）、（－29,15）和（－29,29）處,用于定量分析CPML的處理效果.本節(jié)均基于此例進(jìn)行分析.

3.1 計(jì)算結(jié)果正確性分析

線電流源在地下均勻半空間的輻射場(chǎng)為向下、向外擴(kuò)散的“煙圈”.圖2給出了兩個(gè)不同時(shí)刻的電場(chǎng)Ey等值線圖.從圖中可以看出,在截?cái)噙吔缣?“煙圈”呈規(guī)則的形狀,表明本文提出的CPML吸收邊界具有良好的外向行波吸收性能.

圖2 不同時(shí)刻電場(chǎng)Ey等值線圖Fig.2 Contours of electric field Eyat different times

圖3 坐標(biāo)原點(diǎn)電動(dòng)勢(shì)衰減曲線Fig.3 Decay curves of EMF at origin of coordinate

圖3給出了坐標(biāo)原點(diǎn)處垂直感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)（Electromotive force,EMF.垂直感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)定義為垂直磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),即 EMF ＝?Bz/?t＝－?Ey/?x）衰減曲線,其包括以下三種情況的計(jì)算結(jié)果：①解析解；②計(jì)算域足夠大,地下截?cái)噙吔绮捎肈irichlet條件的數(shù)值解,即傳統(tǒng)的FDTD數(shù)值解；③計(jì)算域縮小至60×30個(gè)網(wǎng)格,地下截?cái)噙吔绮捎肅PML處理的FDTD數(shù)值解.由圖可看出,三種情況下的計(jì)算結(jié)果具有很好的一致性,表明本文提出的算法和編寫的計(jì)算程序是正確的.

3.2 計(jì)算結(jié)果誤差分析

為定量分析本文提出的CPML吸收邊界性能,定義相對(duì)反射誤差值（dB）為[20]

其中,ξ代表觀察點(diǎn)處的測(cè)試值,ξref代表觀察點(diǎn)處ξ的參考值,ξref,max代表觀察點(diǎn)處ξ的參考值在整個(gè)數(shù)值模擬時(shí)間內(nèi)的最大值.

1）不同位置處的電場(chǎng)相對(duì)反射誤差分析

圖4是在CPML吸收邊界條件下,程序運(yùn)行1 000個(gè)時(shí)間步迭代至1.1 ms,在A、B、C觀察點(diǎn)處計(jì)算得到的電場(chǎng)相對(duì)反射誤差曲線.其中,參考值采用傳統(tǒng)的FDTD方法獲得.由于（30）式中參考值最大值隨著深度增大而減小,因此隨著深度的增加相對(duì)反射誤差逐漸增大,但最大誤差僅為－35 dB.結(jié)果表明本文提出的CPML吸收邊界處理后的數(shù)值計(jì)算實(shí)現(xiàn)了較高的計(jì)算精度.

2）CPML層數(shù)不同時(shí)的電場(chǎng)相對(duì)反射誤差分析

圖5給出了CPML層分別為10、15和20個(gè)元胞時(shí),觀察點(diǎn)B處的電場(chǎng)相對(duì)反射誤差曲線.其中,參考值同樣采用傳統(tǒng)的FDTD方法獲得.從圖中可以看出,隨著CPML層數(shù)的增加,吸收效果逐漸改善.考慮內(nèi)存資源和計(jì)算時(shí)間等因素,CPML層數(shù)可在10～15之間選擇.

3）不同數(shù)值解下的地表感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)相對(duì)反射誤差分析

為了進(jìn)一步分析本文提出的CPML吸收邊界的效果,我們采用“偽FDTD方法”計(jì)算垂直感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).（令圖1所示的模型不含CPML吸收層,直接將邊界處的場(chǎng)值設(shè)為零,而后采用傳統(tǒng)FDTD方法進(jìn)行計(jì)算.但此時(shí)不滿足計(jì)算區(qū)域足夠大的條件,故為了描述需要稱其為“偽FDTD方法”）.

圖4 觀察點(diǎn)A、B、C處的相對(duì)誤差Fig.4 Relative errors at points A,B and C

圖5 B處不同CPML層數(shù)的相對(duì)誤差Fig.5 Relative errors of CPML with different layer number at point B

圖6 不同數(shù)值解下的地表感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)相對(duì)誤差Fig.6 Relative errors of EMF at the surface under different numerical solution

地表x＝290 m處垂直感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的三種數(shù)值解相對(duì)反射誤差如圖6所示（其中,參考值采用解析解）.可以看出,偽FDTD方法數(shù)值解的相對(duì)反射誤差大于0dB,在截?cái)噙吔缣幃a(chǎn)生了很大的反射；而采用CPML吸收邊界條件處理后,相對(duì)反射誤差大幅度減少,在截?cái)噙吔缣帋缀醪划a(chǎn)生反射,達(dá)到了與傳統(tǒng)FDTD數(shù)值計(jì)算接近的計(jì)算精度.結(jié)果表明本文提出的CPML吸收邊界具有很好的吸收效果.

3.3 計(jì)算資源占用及計(jì)算效率分析

對(duì)于二維TMy模式,電磁場(chǎng)只有三個(gè)分量,設(shè)各場(chǎng)分量采用雙精度型變量（每個(gè)變量占內(nèi)存8個(gè)Bytes）,FDTD區(qū)域內(nèi)元胞總數(shù)為N.如果在目標(biāo)建模時(shí)不直接給出每個(gè)元胞電磁參數(shù),而是給出每種介質(zhì)的介質(zhì)編號(hào),則識(shí)別各個(gè)場(chǎng)分量離散位置處的介質(zhì)參數(shù)需要1個(gè)字節(jié)的整數(shù).如果每個(gè)網(wǎng)格各場(chǎng)分量有相同的介質(zhì)參數(shù),則有[22]：

根據(jù)（31）式,在圖1模型中未引入CPML吸收邊界條件且計(jì)算域足夠大的情況下,設(shè)其網(wǎng)格數(shù)為800× 400,則計(jì)算三個(gè)場(chǎng)量需要內(nèi)存7.63 MB,運(yùn)行1 000步耗時(shí)55.6秒.而引入CPML吸收邊界條件后,總網(wǎng)格數(shù)降為84×42,即使在完全匹配層內(nèi)因處理CPML吸收邊界條件而引入了ψ變量,計(jì)算三個(gè)場(chǎng)量所需內(nèi)存也僅為0.12 MB,運(yùn)行1 000步耗時(shí)0.79秒.可以看出,本文提出的CPML吸收邊界條件可以有效地節(jié)省計(jì)算內(nèi)存,大幅縮短計(jì)算時(shí)間,明顯提高數(shù)值計(jì)算效率,這使得基于FDTD正演計(jì)算的TEM快速反演成為可能.

4 結(jié)論

在瞬變電磁法的傳統(tǒng)FDTD正演計(jì)算中,因截?cái)噙吔缫笞銐蜻h(yuǎn),導(dǎo)致模擬區(qū)域范圍廣、數(shù)值計(jì)算量大、迭代時(shí)間長(zhǎng)、計(jì)算效率低等問題.本文提出的應(yīng)用于瞬變電磁法FDTD正演計(jì)算的CPML吸收邊界條件不僅保證了FDTD數(shù)值計(jì)算的精度,而且克服了傳統(tǒng)FDTD正演計(jì)算的缺點(diǎn).

本文方法可進(jìn)一步推廣到三維情形,以用于地下三維目標(biāo)TEM響應(yīng)的FDTD正演計(jì)算.

[1] Niu Z L.The theory of time-domain electromagnetic methods[M].Changsha：Central South University of Technology Press, 1992：1.

[2] Nabighian M N.Quasi-static transient response of a conducting half-space—An approximate representation[J].Geophysics, 1979,44（10）：1700－1705.

[3] Oristaglio M L,Hohmann GW.Diffusion of electromagnetic fields in two-dimensional earth：a finite difference approach[J].Geophysics,1984,47（7）：870－894.

[4] Wang T,Hohmann W G.A finite-difference,time-domain solution for three-dimensional electromagnetic modeling[J].Geophysics,1993,58（6）：797－809.

[5] Wang T,Tripp A C,Hohmann GW.Studying the TEM response of a 3-D conductor at a geological contact using the FDTD method[J].Geophysics,1995,60（4）：1265－1269.

[6] Newman G A,Commer M.New advances in three-dimensional transient electromagnetic inversion[J].Geophys J Int,2005, 160（1）：5－32.

[7] Commer M,Newman G.A parallel finite-difference approach for 3D transient electromagnetic modeling with galvanic sources [J].Geophysics,2004,69（5）：1192－1202.

[8] Yan S,Chen M S,Fu JM.Direct time-domain numericalanalysis of transientelectromagnetic fields[J].Chinese JGeophys, 2002,45（2）：275－284.

[9] Liu Y,Wang X B,Wang Y.Numericalmodeling of the 2D time-domain transient electromagnetic secondary field of the line source of the current excitation[J].Applied Geophysics,2013,10（2）：134－144.

[10] Sun H F,LiX,LiSC,etal.Three-dimensional FDTDmodeling of TEM excited by a loop source considering ramp time[J].Chinese JGeophys,2013,56（3）：1049－1064.

[11] Mur G.Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic-field equations[J].IEEE Trans Electromagn Compat,1981,23（4）：377－382.

[12] Liao Z P,Huang K L,Yang B P,etal.A transmitting boundary for transientwave analyses[J].Scientia Sinica（Series A）, 1984,27（10）：1062－1076.

[13] Berenger JP.A perfectlymatched layermedium for the absorption of electromagnetic waves[J].JComput Phys,1994,114：185－200.

[14] Berenger JP.Perfectlymatched layer for the FDTD solution ofwave-structure interaction problem[J].IEEE Trans Antennas Propagat,1996,44（1）：110－117.

[15] Zheng Z,Yang L.3D modified novel PML absorbing boundary condition for truncating magnetized plasma[J].Chinese J Comput Phys,2013,30（6）：895－901.

[16] Sacks Z S,Kingsland D M,Lee D M.A perfectly matched anisotropic absorber for use as an absorbing boundary condition [J].IEEE Trans Antennas Propagat,1995,43（12）：1406－1463.

[17] Gedney SD.An anisotropic perfectly matched layer absorbing media for the truncation of FDTD lattices[J].IEEE Trans Antennas Propagat,1996,44（12）：1630－1639.

[18] Chai Y,Sun J,Li L,etal.Unifiedmodeling and optimization of UPML absorbing boundary conditions[J].Chinese JComput Phys,2011,28（3）：413－419.

[19] Yang T C,Li H,Zhang H.Forward modeling of GPML absorbing boundary conditions in GPR simulation[J].Chinese J Comput Phys,2014,31（2）：200－206.

[20] Roden JA,Gedney SD.Convolution PML（CPML）：an efficient FDTD implementation of CFS-PML for arbitrarymedia[J].Microwave Opt Tech Lett,2000,27（12）：334－339.

[21] Taflove A,Hagness SC.Computational electro-dynamics：The finite-difference time-domain method[M].Norwood,Artech House,2005：289－310.

[22] Ge D B,Yan Y B.Finite difference time domain method of electromagnetic wave（3rd edition）[M].Xi’an：Xidian University Press,2011：206－207.

CPM L Absorbing Boundary Condition in M odeling of Transient Electromagnetic Fields

JIANG Yannan1,2,3, LIUWen2, WANG Jiao2,3, ZHANGWencui2
（1.Guangxi Key Laboratory ofWirelessWideband Communication＆Signal Processing,Guilin 541004,China；
2.School of Information and Communication Engineering,Guilin University ofElectronic Technology,Guilin 541004,China；
3.Guangxi Experiment Center of Information Science,Guilin University of Electronic Technology,Guilin 541004,China）

A scheme of convolutional perfectly matched layer（CPML）absorbing boundary condition（ABC）is proposed,which is used to truncate finite-difference time-domain（FDTD）method modeling transient electromagnetic（TEM）response.It derives specially CPML formulation dealing explicitly with divergence of magnetic induction and conceives an algorithm calculating convolutional term of z component.Then,the scheme is validated by numerical modeling of a homogeneous half-space model.The results indicate that efficient calculation of TEM is achieved.

transient electromagneticmethod；finite-difference time-domain；perfectlymatched layer；convolutional PML absorbing boundary condition

1001-246X（2015）06-0701-08

P631

A

2014－11－21；

2015－02－09

國(guó)家自然科學(xué)基金（61001020）、廣西自然科學(xué)基金（2014GXNSFAA118283）、廣西研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃（GDYCS201415）和廣西信息科學(xué)實(shí)驗(yàn)中心資助項(xiàng)目

姜彥南（1980－）,男,博士,副教授,主要從事電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算、電磁輻射與散射研究,E-mail：ynjiang＠guet.edu.cn