一元h-F凸函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判別法

一元h-F凸函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判別法

時統(tǒng)業(yè)，萬福，丁霞

(海軍指揮學(xué)院信息系，南京211800)

[摘要]利用h-F凸函數(shù)的定義，在h滿足一定條件的情況下，導(dǎo)出滿足條件P1,P2的h-F凸函數(shù)的等價條件.

[關(guān)鍵詞]h-F凸函數(shù)； 等價條件； 可導(dǎo)函數(shù)

[收稿日期]2015-03-09

[中圖分類號]O178[文獻標識碼]C

1引言

定義1[1]稱集合K?n是關(guān)于F的廣義凸集，若存在向量值映射F∶K×K×[0，1]→n，使得?λ∈[0，1]，?x，y∈K，有F(x，y，λ)∈K.

與廣義凸集有關(guān)的文獻可見[1-8].

定義2[2]設(shè)K?n是關(guān)于F的廣義凸集，稱F在K上滿足條件P1,P2，若?α，β∈[0，1]，且α<β，?x，y∈K，有

定義3[3]設(shè)K?n，J?，[0，1]?J.h∶J→[0，+∞)且h不恒為零，集合K?n是關(guān)于F的廣義凸集，稱f∶K→[0，+∞)在K上是h-F凸函數(shù)，若?λ∈[0，1]，?x，y∈K，有

f[F(x,y,λ)]≤h(λ)f(x)+h(1-λ)f(y).

在定義3中，若

F(x，y，λ)=λx+(1-λ)y，h(λ)=λ，

本文的目的是當(dāng)F在K上滿足條件P1, P2，h滿足一定條件，F(xiàn)(x，y，λ)是[0，1]上關(guān)于λ的連續(xù)函數(shù)，f(F(x，y，λ))是[0，1]上關(guān)于λ的可導(dǎo)函數(shù)，給出h-F凸函數(shù)的等價條件.

2主要結(jié)果

定理1設(shè)K?是關(guān)于F的廣義凸集，F(xiàn)在K上滿足條件P1，[0，1]?J?.h∶J→[0，+∞)滿足h(0)=0，h(1)=1，且h′+(0)和h′-(1)存在.對任意x，y∈K，F(xiàn)(x，y，λ)是[0，1]上關(guān)于λ的連續(xù)函數(shù)，f(F(x，y，λ))是[0，1]上關(guān)于λ的可導(dǎo)函數(shù).若f∶K→[0，+∞)在K上是h-F凸函數(shù)，則對任意x，y∈K，α∈[0，1]，有

(1)

證因為f在K上是h-F凸函數(shù)，F(xiàn)在K上滿足條件P1，所以對任意x，y∈K，α，β∈[0，1]，α<β，有

由此得

(2)

(3)

在式(3)中，令β→α+0,得

對任意α∈[0，1)成立.在式(3)中，令α→β-0,得

對任意β∈(0，1]成立.綜上所述，對任意α∈[0，1]，式(1)成立.

定理2設(shè)K?是關(guān)于F的廣義凸集，F(xiàn)在K上滿足條件P2，[0，1]?J?.h∶J→[0，+∞)滿足h(0)=0，h(1)=1，且h′+(0)和h′-(1)存在，對任意x，y∈K，F(xiàn)(x，y，λ)是[0，1]上關(guān)于λ的連續(xù)函數(shù)，f(F(x，y，λ))是[0，1]上關(guān)于λ的可導(dǎo)函數(shù).若f∶K→[0，+∞)在K上是h-F凸函數(shù)，則對任意x，y∈K，α∈[0，1)，有

(4)

證因為f在K上是h-F凸函數(shù)，F(xiàn)在K上滿足條件P2，所以對任意x，y∈K，α，β∈[0，1]，α<β，有

由此得

(5)

(6)

在式(6)中，令β→α+0得式(4)對任意α∈[0，1)成立.

定理3設(shè)K?是關(guān)于F的廣義凸集，F(xiàn)在K上滿足條件P1，[0，1]?J?.h∶J→[0，+∞)，h′+(0)和h′-(1)存在，對任意x，y∈K，f(F(x，y，λ))是[0，1]上關(guān)于λ的可導(dǎo)函數(shù).若對任意x，y∈K，α∈(0，1)，式(4)成立，則有式(1)成立.

證由式(4)可知，對任意x，y∈K，α∈(0，1)，有

(7)

在式(7)中，以F(x，y，1)替代x，則由條件P1，對任意α∈(0，1)，F(xiàn)(y，x，1-α)化為

F(y,F(x,y,1),1-α)=F(x,y,α)，

而對任意λ∈(0，1]，F(xiàn)(y，x，λ)化為

F(y,F(x,y,1),λ)=F(x,y,1-λ)，

于是式(7)化為式(1).

定理4設(shè)K?是關(guān)于F的廣義凸集，F(xiàn)在K上滿足條件P1，[0，1]?J?.h∶J→[0，+∞)，對任意x，y∈K，f(F(x，y，λ))是[0，1]上關(guān)于λ的可導(dǎo)函數(shù).若對任意x，y∈K，α∈(0，1)，式(1),(4)成立，則對任意x，y∈K，α∈(0，1)，有

f(F(x,y,α))≤h(α)f(x)+h(1-α)f(y).

(8)

證式(4)即

(9)

式(9)和式(1)分別乘以1-α和α，然后相加得

式(8)得證.

定理5設(shè)K?是關(guān)于F的廣義凸集，F(xiàn)在K上滿足條件P1，[0，1]?J?.h∶J→[0，+∞)，h′+(0)和h′-(1)存在，對任意x，y∈K，f(F(x，y，λ))是[0，1]上關(guān)于λ的可導(dǎo)函數(shù).若對任意x，y∈K，α∈[0，1]，式(1)成立，則對任意x，y∈K，α∈(0，1)，有

(10)

證由式(1)可知，對任意x，y∈K，α∈[0，1]，有

(11)

在式(11)中，以F(x，y，1)替代x，則由定理3的證明可知，當(dāng)α∈(0，1)時，式(11)化為

也即式(10)成立.

定理6設(shè)K?是關(guān)于F的廣義凸集，F(xiàn)在K上滿足條件P1，[0，1]?J?.h∶J→[0，+∞)滿足h(0)=0，h(1)=1，且h′+(0)>0，h′-(1)>0，對任意α∈[0，1]有

對任意x，y∈K，F(xiàn)(x，y，λ)是[0，1]上關(guān)于λ的連續(xù)函數(shù)，f(F(x，y，λ))是[0，1]上關(guān)于λ的可導(dǎo)函數(shù)，則下面命題等價：

(i)f在K上是h-F凸函數(shù)；

(ii) 對任意x，y∈K，α∈[0，1]，式(1)成立，且有

f(F(x,y,1))≤f(x)，f(F(x,y,0))≤f(y)；

(iii) 對任意x，y∈K，α∈(0，1)，式(4)成立，且有

f(F(x,y,1))≤f(x)，f(F(x,y,0))≤f(y).

證(i)?(ii).由定理1得證.

(ii) ? (iii).若對任意x，y∈K，α∈[0，1]，式(1)成立，則由定理5，對任意x，y∈K，α∈(0，1)，式(10)成立.又因f(F(x,y,1))≤f(x)，h′+(0)>0，故對任意x，y∈K，α∈(0，1)，式(4)成立.

(iii) ? (i).若對任意x，y∈K，α∈(0，1)，式(4)成立，則由定理3知，對任意x，y∈K，α∈(0，1)，式(1)也成立.再由定理4知對任意x，y∈K，α∈(0，1)，有式(8)成立.又因

f(F(x,y,1))≤f(x)，f(F(x,y,0))≤f(y)，

故式(8)對α=0和α=1都成立，由定義知f在K上是h-F凸函數(shù).

推論6.1設(shè)f(x)是[a，b]?(0，∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，則f∶[a，b]→[0，+∞)在I上是h凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對任意y，z∈[a，b]，y≠z，有

h′-(1)f(z)-h′+(0)f(y)≤(z-y)f′(z).

(12)

證根據(jù)定理6，只需證明當(dāng)F(x，y，λ)=λx+(1-λ)y時，式(1)與式(12)等價.事實上，若式(12)成立，取z=αx+(1-α)y并注意到

與推論6.1的證明類似，還可證明下面的推論6.2和推論6.3.

推論6.2設(shè)f(x)是[a，b]?(0，∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，則f∶[a，b]→[0，+∞)是h-GA凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對任意y，z∈[a，b]，y≠z，有

h′-(1)f(z)-h′+(0)f(y)≤zf′(z)(lnz-lny).

推論6.3設(shè)f(x)是[a，b]?(0，∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，則f∶[a，b]?(0，∞)→[0，+∞)在[a，b]上是h-p凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對任意y，z∈[a，b]，y≠z，有

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Derivation Diagnostic Method of h-F-Convex

Functions of One Variable

SHITong-ye，WANFu，DINGXia

(Department of Information, PLA Naval Command College，Nanjing 211800, China)

Abstract:With the aid of the definition of h-F-convex functions，several equivalent conditions of h-F-convex functions satisfying condition P1,P2 are obtained when h satisfying certain conditions.

Key words:h-F-convex function; equivalent condition; differentiable function