多連桿機械臂加速度層最小運動規(guī)劃和控制策略

多連桿機械臂加速度層最小運動規(guī)劃和控制策略*

肖林1，嚴慧玲2，周文輝1，廖柏林1

(1.吉首大學信息科學與工程學院，湖南 吉首 416000;2.吉首大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 吉首 416000 )

摘要：為實現(xiàn)多連桿機械臂在加速度層最小運動規(guī)劃和控制，提出了一個基于最小加速度范數(shù)的運動控制策略.該方案通過二次規(guī)劃的描述，考慮機械臂的關(guān)節(jié)角、關(guān)節(jié)速度和關(guān)節(jié)加速度極限約束，在運動控制過程中規(guī)避了機械臂的物理極限.為高效地控制機械臂運動，提出計算復(fù)雜度較低的迭代控制算法.六連桿機械臂仿真實驗結(jié)果驗證了最小加速度方案及其迭代控制算法的有效性.

關(guān)鍵詞：多連桿機械臂；加速度層；運動控制方案；控制算法;二次規(guī)劃

文章編號：1007-2985(2015)06-0044-05

中圖分類號：TP24文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.cnki.jdxb.2015.06.011

收稿日期：*2015-06-11

基金項目：國家自然科學基金資助項目(61503152)；吉首大學校級課題(15JDX020)；吉首大學實驗室開放基金資助項目(JDLF2015013)；湖南省教育廳優(yōu)秀青年項目(15B192)，吉首大學實驗教學改革研究資助項目(2015SYJG034)；吉首大學2015年大學生研究性學習和創(chuàng)新性實驗計劃資助項目

作者簡介：肖林(1986—)，男，湖南邵陽人，吉首大學信息科學與工程學院講師，博士，主要從事人工智能、機器人和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等研究.

社會的進步與科技的發(fā)展，促使人類迫切期望能從重復(fù)、繁重和危險的勞動工作中解放出來.機器人技術(shù)的出現(xiàn)使得這一切逐漸變?yōu)楝F(xiàn)實.在冗余機器人運動學的研究中，正運動學給定關(guān)節(jié)變量，由已知的函數(shù)映射關(guān)系能唯一確定末端執(zhí)行器的位置；逆運動學給定機械臂的末端執(zhí)行器的位置變量r(t)∈Rm，則可求解機械臂的關(guān)節(jié)變量θ(t)∈Rn.對對冗余機械臂來說，m

作為機器人技術(shù)中的一個方向，冗余度機械臂的運動規(guī)劃與控制研究在國內(nèi)外都有相應(yīng)的研究與發(fā)展[2-3].傳統(tǒng)的做法是采用基于偽逆的方案，將問題的解變換為一個最小范數(shù)解加上一個同類解.該方案的優(yōu)點是形式簡單，缺點是在處理不等式約束上有困難，而且它會遇到算法奇異情況而生成不可行解.目前大多數(shù)的研究都是集中在速度層面上，這對于一些在加速度層面上控制的機械臂而言，就不再有效了.

考慮到偽逆方法無法在不等式基礎(chǔ)上解析冗余度問題，筆者提出基于二次規(guī)劃的冗余度解析方案.該冗余度方案是在加速度層進行解析的，它不僅可以包含角速度關(guān)節(jié)約束和速度關(guān)節(jié)約束，而且可以包含加速度關(guān)節(jié)約束，從而能有效地解決機械臂在加速度層上運動規(guī)劃和控制的問題.

1加速度層運動規(guī)劃和控制方法

1.1 前向運動學理論

f(θ)=r(t)，

(1)

其中f(·)：Rn→Rm為一個連續(xù)的、非線性的多對一映射.對于一個給定的冗余機械臂，函數(shù)f(·)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)是已知的.因此，對(1)式求微分就可以得到在速度層上求解冗余度解析問題的一階微分方程：

(2)

1.2 最小加速度方案

考慮機械臂的物理約束，在加速度層提出基于二次規(guī)劃的冗余度解析方案.該方案對于冗余機械臂而言，既可以實現(xiàn)機械臂的最小加速度運動控制，也能夠保證機械臂的關(guān)節(jié)變量保持在它的極限范圍內(nèi).

最小化問題(Ⅰ)：

其受約束條件為

(3)

θ-≤θ(t)≤θ+，

(4)

(5)

(6)

1.3 方案等效轉(zhuǎn)換策略

(7)

η±的第i對元素分別定義為

經(jīng)過以上等效變換，最小加速度運動控制方案問題(Ⅰ)，(3)—(6)式就可以轉(zhuǎn)換成為一個標準的二次規(guī)劃：

最小化問題(Ⅱ)：

其受約束條件為

Ax=b，

(8)

η-≤x≤η+，

(9)

2迭代控制算法的開發(fā)

對于標準的二次規(guī)劃問題，可以調(diào)用Matlab里面的“quadprog”函數(shù)直接求解，但因其包容面太廣，求解效率不是特別高.筆者開發(fā)一個更加有效的離散時間迭代控制算法來求解標準二次規(guī)劃問題(Ⅱ)和(8)，(9)式.

在對偶決策變量的輔助下，根據(jù)對偶理論，對偶二次規(guī)劃問題可以從標準的原二次規(guī)劃問題(Ⅱ)和(8)，(9)式推導(dǎo)而來.為了減少離散時間迭代控制算法的計算復(fù)雜程度，僅需要定義(8)式的對偶決策變量.由文獻[4-5]可以得到如下2個結(jié)論：

(1)若二次規(guī)劃問題存在最優(yōu)解，則求解二次規(guī)劃問題(Ⅱ)和(8)，(9)式等效于求解如下的線性變分不等式：

(u-u*)T(Mu*+p)≥0.

(10)

原對偶決策變量u∈Rn+m和它的雙端u±∈Rn+m定義為

其中：y∈Rm為(8)式的對偶變量，1v=(1,…,1)T代表的是由“1”組成的向量，常數(shù)?=1010∈R可用來在數(shù)值上取代+∞.增廣矩陣M和增廣向量p定義為

(2)若二次規(guī)劃問題存在最優(yōu)解，則求解線性變分不等式(10)等效于求解如下的分段線性投影方程：

PΩ(u-(Mu+p))-u=0.

(11)

其中PΩ(·):Rn+m→Ω是空間RN到集合Ω的一個分段投影算子，其第i個元素定義為

至此，求解二次規(guī)劃問題(Ⅱ)和(8)，(9)式就可以等效于求解分段線性投影方程(11).為了求解分段線性投影方程(11)，受文獻[4-5]中算法的啟發(fā)，定義一個向量取值的誤差函數(shù)

e(u)=u-PΩ(u-(Mu+p)).

(12)

顯然，求解分段線性投影方程(11)就等效于求方程(12)的一個零點.

(13)

由(13)式迭代控制算法產(chǎn)生的序列{uk}，對所有的u*∈Ω*，須滿足

且序列{uk}能全局收斂到解u*上，它的前n個元素構(gòu)成了二次規(guī)劃問題(Ⅱ)和(8)，(9)式的最優(yōu)解x*∈Rn.通過分析迭代控制算法(13)的計算復(fù)雜度，不難發(fā)現(xiàn)，在1次迭代內(nèi)，它僅需要2N2+3N+1個乘法和2N2+5N-2加法操作，可以大大降低計算復(fù)雜度.

3仿真試驗

其中：fx(θ(0))，fy(θ(0))分別為初始位置向量f(θ(0))的x軸和y軸的元素分量；ψ表示該方程的設(shè)計參數(shù)，且ψ=8cm.六連桿機械臂跟蹤∞類型的路徑跟蹤任務(wù)仿真試驗結(jié)果如圖1—5所示.

圖1　平面六連桿機械臂的運動跟蹤軌跡

平面六連桿機械臂的整個運動跟蹤過程如圖1所示.從圖1可知，平面六連桿機械臂完成了一個∞類型的路徑跟蹤任務(wù).平面六連桿機械臂實際的跟蹤軌跡和期望路徑的對比如圖2所示.通過對比可以發(fā)現(xiàn)，跟蹤軌跡和期望路徑是完全重合的.跟蹤軌跡和期望路徑對應(yīng)的位置誤差和速度誤差如圖3，4所示.從圖3，4可知，位置誤差和速度誤差的x軸和y軸取值都小于4×10-5m，這個誤差值說明文中所提出來的控制算法十分有效.平面六連桿機械臂的末端執(zhí)行器在整個過程中的角速度ω變化如圖5所示.從圖5可知，在最后時刻，末端執(zhí)行器的最終速度為0.如果最終速度不為0，那么機械臂的末端執(zhí)行器在任務(wù)執(zhí)行的最后時刻不會立即停下來.

圖2　實際跟蹤軌跡和期望路徑的對比

圖3　實際跟蹤軌跡和期望路徑的位置誤差對比

圖4　實際跟蹤軌跡和期望路徑的速度誤差對比

圖5　平面六連桿機械臂的末端執(zhí)行器速度變化曲線

4結(jié)論

最小加速度范數(shù)的運動控制方案考慮到各種關(guān)節(jié)的物理極限，采用離散時間迭代控制算法求解了標準二次規(guī)劃問題.平面六連桿串聯(lián)機械臂的試驗仿真結(jié)果表明，最小加速度運動方案在控制規(guī)劃中行之有效，且實際的跟蹤軌跡和期望的路徑的位置誤差控制在一個非常低的數(shù)量級內(nèi)(4×10-5m).

參考文獻：

[1]李海豐，王懷超.基于建筑特征及二維地圖的復(fù)雜城市場景中移動機器人視覺定位算法.計算機應(yīng)用,2014,34(9):2 557-2 561.

[2]張萬緒，張向蘭，李瑩.基于改進粒子群算法的智能機器人路徑規(guī)劃.計算機應(yīng)用,2014,34(2):510-513.

[3]簡毅，張月.移動機器人全局覆蓋路徑規(guī)劃算法研究進展與展望.計算機應(yīng)用,2014,34(10):2 844-2 849.

[4]HE B.Solving a Class of Linear Projection Equations.Numerische Mathematik,1994,68(1):71-80.

[5]HE B,LIAO L Z.Improvements of Some Projection Methods for Monotone Nonlinear Variational Inequalities.Journal of Optimization Theory and Applications,2002,112(1):111-128.

[6]XIAO Lin,ZHANG Y.Acceleration-Level Repetitive Motion Planning and Its Experimental Verification on a Six-Link Planar Robot Manipulator.IEEE Transactions on Control Systems Technology,2013,21(3):906-914.

MinimumMotionPlanningandControlofAcceleration-Velocity

LevelforMulti-LinkRobotArms

XIAOLin1,YAN Huiling2,ZHOU Wenhui1,LIAO Bolin1

(1.CollegeofInformationScienceandEngineering,JishouUniversity,Jishou416000,HunanChina;2.Collegeof

MathematicsandStatistics,JishouUniversity,Jishou416000,HunanChina)

Abstract:To realize the minimum motion planning and control of multi-link robot arms at the acceleration-velocity level,a norm-based minimum acceleration movement control scheme is proposed and investigated.Different from other schemes,the proposed scheme involves the joint-angle,joint-velocity,and joint-acceleration constraints via using quadratic program formulation.Thus,the redundant robot arms can avoid the physical constraints during motion control process.In addition,in order to control the movement of robot arms effectively,an iterative control algorithm with less computation complexity is developed.Finally,a planar six-link manipulator is employed as an experimental platform to track an ∞-type path task.Simulative results verify the effectiveness of the minimum acceleration scheme and the corresponding iterative control algorithm.

Keywords:multi-linkmanipulators;acceleration-velocitylevel;motioncontrolscheme;controlalgorithm;quadraticprogram

(責任編輯陳炳權(quán))