圓柱殼振動(dòng)控制中約束阻尼拓?fù)鋬?yōu)化研究

竇松然，桂洪斌，李承豪，喬永亮

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海) 船舶與海洋工程學(xué)院，山東威海264209)

摘要：基于RAMP(Rational Approximation of Material Properties)插值模型密度法，以結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子倒數(shù)最小化為優(yōu)化目標(biāo)、阻尼結(jié)構(gòu)體積為約束條件、約束阻尼單元相對(duì)密度為設(shè)計(jì)變量，建立約束阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型?；趦?yōu)化準(zhǔn)則法推導(dǎo)設(shè)計(jì)變量更新準(zhǔn)則，結(jié)合有限元法編寫(xiě)約束阻尼材料拓?fù)鋬?yōu)化程序，對(duì)圓柱殼在振動(dòng)控制中約束阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化分析。結(jié)果表明，基于優(yōu)化準(zhǔn)則的振動(dòng)拓?fù)鋬?yōu)化方法所需迭代次數(shù)少，能有效減少結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。從而驗(yàn)證設(shè)計(jì)方法的有效性。

關(guān)鍵詞：拓?fù)鋬?yōu)化；RAMP插值；密度法；優(yōu)化準(zhǔn)則法；約束阻尼；有限元

中圖分類號(hào):O328；TB535文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51208471)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20114101120008)；河南省科技攻關(guān)計(jì)劃項(xiàng)目(142102210486)；鄭州大學(xué)優(yōu)秀青年教師發(fā)展基金(1421322059)

收稿日期：2014-05-19修改稿收到日期：2014-10-17

Topological optimization for constrained damping in vibration control of cylindrical shell

DOUSong-ran,GUIHong-bin,LICheng-hao,QIAOYong-liang(School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Harbin Institute of Technology at Weihai, Weihai 264209, China)

Abstract:Structures with damping have a better performance in reducing vibration. Based on the density approach with RAMP interpolation model, a topologic model of constrained damping structure was established with the minimum of reciprocal of modal loss factors as a target function, the volume of damping structure as a constraint condition, and the relative density of constrained damping element as a design variable. The updating criterion of design variable was derived based on an optimal criteria method. And the topologic optimization program was developed based on the finite element method. The topological optimization for constrained damping structure in vibration control of cylindrical shell was carried out. The analysis shows that the topologic optimization method combined with the optimal criteria method needs less number of iterations and can reduce the vibration response of structure effectively, which indicates the validity of the design approach.

Key words:topologic optimization; RAMP interpolation; density approach; optimal criteria method; constrained damping; finite element

圓柱殼結(jié)構(gòu)在潛艇、飛機(jī)等工程領(lǐng)域中應(yīng)用較廣，其振動(dòng)普遍存在。為抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)，常在表面敷設(shè)約束阻尼[1]。在船舶、航空、汽車、土木等工程振動(dòng)、噪聲控制中，若將阻尼敷設(shè)于整個(gè)結(jié)構(gòu)表面，并不能有效利用阻尼，會(huì)造成材料浪費(fèi)；而實(shí)際中為減輕結(jié)構(gòu)重量會(huì)減少阻尼敷設(shè)面積。因此如何正確敷設(shè)阻尼、提高結(jié)構(gòu)減振效果成為研究解決的重要問(wèn)題。

對(duì)約束阻尼圓柱殼振動(dòng)已有諸多研究。Bieniek[2]提出約束阻尼圓柱殼受迫振動(dòng)研究方法，并對(duì)載荷垂直殼體中性面情形進(jìn)行分析。Rahmani等[3]用高階夾層板理論分析約束阻尼圓柱殼自由振動(dòng)，研究幾何參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性影響。Mohammadi等[4]用半解析有限元法對(duì)約束阻尼圓柱殼的阻尼特性進(jìn)行線性、非線性分析，研究夾層間滑移對(duì)模態(tài)損耗因子影響。

由于工程中對(duì)材料用量要求嚴(yán)格，且在約束阻尼體積減少合適前提下，部分敷設(shè)約束阻尼減少材料用量亦能獲得更好減振效果，因此約束阻尼結(jié)構(gòu)優(yōu)化得到重視。楊德慶等[5]用阻尼拓?fù)潇`敏法對(duì)短邊固支的自由阻尼板布局形式進(jìn)行優(yōu)化。Zheng等[6]用遺傳算法研究約束阻尼梁結(jié)構(gòu)在布局的優(yōu)化問(wèn)題。Araujo等[7]用直接多元搜索法對(duì)約束阻尼夾層板進(jìn)行多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化。張志飛等[8]基于優(yōu)化準(zhǔn)則法編制阻尼材料的拓?fù)鋬?yōu)化程序，并結(jié)合有限元法對(duì)鋁板阻尼材料布置進(jìn)行優(yōu)化。Cameron等[9]結(jié)合拓?fù)?、尺寸及性能?yōu)化使約束阻尼板結(jié)構(gòu)與聲學(xué)性能達(dá)到最優(yōu)。以上文獻(xiàn)所用模型大多為梁、平板，模型較簡(jiǎn)單，而采用圓柱殼作為優(yōu)化模型的研究較少。Kumar等[10-11]通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)約束阻尼圓柱殼阻尼層位置進(jìn)行優(yōu)化，并研究部分敷設(shè)主動(dòng)約束阻尼層的振動(dòng)特性。石慧榮等[12]分析局部敷設(shè)約束阻尼圓柱殼，討論阻尼段結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)振動(dòng)特性影響。李超等[13]用漸進(jìn)結(jié)構(gòu)法對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行的拓?fù)鋬?yōu)化，缺乏嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)，且在迭代過(guò)程中刪除的單元不能恢復(fù)，易獲得局部最優(yōu)解。

結(jié)構(gòu)材料插值模型及拓?fù)鋬?yōu)化方法為拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)基礎(chǔ)，而密度法為具有代表性的插值方法常用于工程中。密度插值模型有固體各向同性微結(jié)構(gòu)懲罰模型(Solid Isotropic Microstructures with Penalization, SIMP)及材料屬性合理近似模型(Rational Approxim- ation of Material Properties，RAMP)，且RAMP較SIMP穩(wěn)定性更好，更適合動(dòng)力學(xué)分析[14]。拓?fù)湓O(shè)計(jì)中主要優(yōu)化方法有優(yōu)化準(zhǔn)則法(OC)及數(shù)學(xué)規(guī)劃法(MP)。因圓柱殼結(jié)構(gòu)在工程領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，研究其減振及阻尼拓?fù)鋬?yōu)化有重要理論意義與實(shí)際工程價(jià)值。本文基于RAMP插值密度法建立約束阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，推導(dǎo)結(jié)構(gòu)模態(tài)目標(biāo)函數(shù)靈敏度表達(dá)式，用優(yōu)化準(zhǔn)則研究圓柱殼在振動(dòng)中約束阻尼拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。

1基于RAMP插值的拓?fù)鋬?yōu)化模型

對(duì)約束阻尼結(jié)構(gòu)而言，為使其在振動(dòng)中能量耗散達(dá)到最大，常以結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子最大化作為優(yōu)化目標(biāo)。為方便得到通用更新格式，以損耗因子倒數(shù)最小化為優(yōu)化目標(biāo)、約束阻尼單元相對(duì)密度xi為設(shè)計(jì)變量、優(yōu)化后阻尼材料體積為約束條件，建立圓柱殼約束阻尼拓?fù)鋬?yōu)化模型，即

式中：ηk為第k階損耗因子；vi為單元體積；V0為優(yōu)化前初始體積；V為優(yōu)化后體積；γ為約束體積分?jǐn)?shù)；xmin為設(shè)計(jì)變量下限值。

據(jù)模態(tài)應(yīng)變能理論，約束阻尼結(jié)構(gòu)第k階模態(tài)損耗因子倒數(shù)為

(2)

式中：ηc為阻尼層損耗因子；Uck為結(jié)構(gòu)第k階模態(tài)應(yīng)變能；Uk為阻尼層第k階模態(tài)應(yīng)變能。

式(2)兩邊對(duì)相對(duì)密度xi求導(dǎo)，得

(3)

式中：Udk為基層、約束層第k階模態(tài)應(yīng)變能之和。

(4)

式中：ui為單元i的位移向量；Kci為單元i中對(duì)應(yīng)阻尼層單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論，對(duì)第k階模態(tài)特征值λk及特征向量φk滿足運(yùn)動(dòng)方程的特征方程及振型正交性條件為

(K-λkM)φk=0,φTkMφk=1

(5)

將式(5)求導(dǎo)并代入式(4)，得

(6)

式中：Mci為單元i中對(duì)應(yīng)阻尼層單元質(zhì)量矩陣。

同單元約束層與阻尼層位移向量相同，則有

(7)

式中：Mri，Kri為單元i中對(duì)應(yīng)的約束層單元質(zhì)量、剛度矩陣。

由RAMP理論，設(shè)初始材料密度為1的單元，則單元密度、彈性模量可表示為

(8)

整理各式獲得結(jié)構(gòu)第k階模態(tài)目標(biāo)函數(shù)靈敏度為

(9)

2基于優(yōu)化準(zhǔn)則法的設(shè)計(jì)變量更新、收斂準(zhǔn)則

優(yōu)化準(zhǔn)則法(OC)在工程上以一定假設(shè)為基礎(chǔ)，建立優(yōu)化設(shè)計(jì)迭代公式迭代求解。此法與結(jié)構(gòu)變量多少及復(fù)雜程度無(wú)關(guān)，迭代次數(shù)較少，因此適合大型結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。實(shí)際結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量上萬(wàn)個(gè)，可利用優(yōu)化準(zhǔn)則法對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行更新，優(yōu)化結(jié)構(gòu)。利用拉格朗日乘子法將有約束最優(yōu)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束最優(yōu)問(wèn)題，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，即

λ2(xmin-xi)+λ3(xi-1)

(10)

式中：λ1，λ2，λ3為拉格朗日乘子。

(11)

(13)

(14)

式中：σ(k+1)=ασ(k)為懲罰系數(shù)，α>1為放大系數(shù)；ξ為阻尼因子，保證計(jì)算的收斂性及穩(wěn)定性；m為變量更新限值。

設(shè)計(jì)變量更新后需通過(guò)收斂準(zhǔn)則檢查結(jié)果是否收斂，據(jù)乘子法收斂性知，收斂判定準(zhǔn)則為

(15)

即，每次迭代后的體積與目標(biāo)約束體積差值絕對(duì)值需小于極小值。ε為收斂精度。

3約束阻尼結(jié)構(gòu)阻尼優(yōu)化步驟及流程圖

用優(yōu)化準(zhǔn)則法基于RAMP插值的約束阻尼結(jié)構(gòu)振動(dòng)拓?fù)鋬?yōu)化步驟為：①確定設(shè)計(jì)變量及非設(shè)計(jì)變量，初始化設(shè)計(jì)變量xi，據(jù)RAMP插值模型設(shè)置變量單元材料屬性，建立有限元模型；②對(duì)約束阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，計(jì)算整個(gè)結(jié)構(gòu)第k階模態(tài)應(yīng)變能、動(dòng)能及相對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度；③據(jù)優(yōu)化準(zhǔn)則法求解拉格朗日乘子，進(jìn)行變量更新；④據(jù)收斂判定準(zhǔn)則判定是否滿足收斂條件，若不滿足則轉(zhuǎn)到②，滿足則進(jìn)行⑤；⑤輸出設(shè)計(jì)變量及其它結(jié)果，結(jié)束計(jì)算。

基于優(yōu)化準(zhǔn)則法的振動(dòng)拓?fù)鋬?yōu)化流程圖見(jiàn)圖1。

4約束阻尼圓柱殼振動(dòng)阻尼優(yōu)化

以長(zhǎng)500 mm，半徑100 mm，兩端采用完全固定邊界條件的約束阻尼圓柱殼為研究對(duì)象。材料阻尼層損耗因子為0.8，其它材料參數(shù)見(jiàn)表1。

圖1　約束阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化流程圖 Fig.1 Flow chart for topological optimization of constrained layer damping structure

厚度/mm彈性模量/Pa泊松比密度基層 22.1×10110.37800阻尼層12.3×1070.41340約束層22.1×10110.37800

圖2　約束阻尼圓柱殼有限元模型 Fig.2 FEM of cylindrical shell with constrained damping

不同階模態(tài)阻尼材料拓?fù)鋬?yōu)化分布見(jiàn)圖3。由圖3看出，對(duì)中心對(duì)稱的圓柱殼結(jié)構(gòu)，阻尼材料也關(guān)于中軸呈對(duì)稱分布。隨模態(tài)階數(shù)增加、振型變復(fù)雜、阻尼材料優(yōu)化分布也變復(fù)雜，且優(yōu)化的阻尼材料均未分布在邊界處。優(yōu)化前后不同階模態(tài)振型見(jiàn)圖4、圖5。由2圖看出，阻尼材料最優(yōu)分布與模態(tài)振型聯(lián)系緊密。圓柱殼中間響應(yīng)較大，阻尼材料大部分分布在此片區(qū)域。而在臨近邊界處，由于受邊界條件限制，圓柱殼響應(yīng)較小，因此阻尼材料在此區(qū)域分布較少。

圖3　拓?fù)鋬?yōu)化后阻尼分布 Fig.3 Damp distribution after topological optimization

圖4　拓?fù)鋬?yōu)化前結(jié)構(gòu)振型 Fig.4 Vibration type before topological optimization

圖5　拓?fù)鋬?yōu)化后結(jié)構(gòu)振型 Fig.5 Vibration type aftertopological optimization

圖6　模態(tài)損耗因子變化過(guò)程 Fig.6 Change process of modal loss factor

模態(tài)損耗因子隨迭代次數(shù)變化見(jiàn)圖6。由圖6看出，每階迭代過(guò)程均在一定波動(dòng)后逐漸達(dá)到穩(wěn)定平衡，最終收斂。一階模態(tài)經(jīng)30次迭代達(dá)到收斂，三階經(jīng)29次達(dá)到收斂，五階經(jīng)30次達(dá)到收斂，說(shuō)明基于優(yōu)化準(zhǔn)則法的振動(dòng)拓?fù)鋬?yōu)化所需迭代次數(shù)較少，對(duì)每階模態(tài)優(yōu)化所需迭代次數(shù)基本相同。

拓?fù)鋬?yōu)化前后各階損耗因子變化見(jiàn)表2。由表2看出，拓?fù)鋬?yōu)化后結(jié)構(gòu)損耗因子有較小提升，一階損耗因子增長(zhǎng)8.5%，三階增長(zhǎng)6.4%，五階增長(zhǎng)6.2%。說(shuō)明在約束阻尼減少合適情況下可通過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化，使阻尼材料利用率最大化，并在節(jié)省阻尼材料前提下提升結(jié)構(gòu)的阻尼性能。計(jì)算達(dá)到預(yù)期優(yōu)化目標(biāo)，從而驗(yàn)證利用優(yōu)化準(zhǔn)則法的圓柱殼振動(dòng)拓?fù)鋬?yōu)化有效性。

表2　拓?fù)鋬?yōu)化前后各階損耗因子

5結(jié)論

基于RAMP插值建立約束阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型，推導(dǎo)結(jié)構(gòu)模態(tài)目標(biāo)函數(shù)靈敏度表達(dá)式，提出基于優(yōu)化準(zhǔn)則法的振動(dòng)拓?fù)鋬?yōu)化方法。用優(yōu)化準(zhǔn)則法編寫(xiě)程序，建立約束圓柱殼模型，研究約束阻尼圓柱殼結(jié)構(gòu)阻尼拓?fù)鋬?yōu)化，結(jié)論如下：

(1)利用基于優(yōu)化準(zhǔn)則法的振動(dòng)拓?fù)鋬?yōu)化方法分析阻尼結(jié)構(gòu)可有效減少結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)，且計(jì)算中所需迭代次數(shù)較少。

(2)用優(yōu)化準(zhǔn)測(cè)法對(duì)約束阻尼圓柱殼結(jié)構(gòu)阻尼進(jìn)行拓?fù)浞治隹捎行岣咦枘岵牧侠寐?，在合適減少阻尼材料情況下，亦可增加結(jié)構(gòu)的損耗因子，獲得最大能量耗散，降低結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)。

(3)對(duì)約束阻尼圓柱殼結(jié)構(gòu)阻尼優(yōu)化后，可將阻尼材料大部分敷設(shè)在結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)較大區(qū)域，響應(yīng)較小區(qū)域則不敷設(shè)，能最大限度降低結(jié)構(gòu)響應(yīng)。阻尼材料敷設(shè)形式的復(fù)雜程度隨結(jié)構(gòu)振型的復(fù)雜增加。

(4)基于優(yōu)化準(zhǔn)則法編寫(xiě)程序?qū)s束阻尼結(jié)構(gòu)阻尼布局優(yōu)化，理論推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)，用于工程切實(shí)可行。

參考文獻(xiàn)

[1]李以農(nóng),謝熔爐,王宜,等. 約束阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的進(jìn)化算法[J]. 重慶大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2010, 33(8):1-6.

LI Yi-nong, XIE Rong-lu, WANG Yi, et al. Topology optimization for constrained layer damping material in structures using ESO method[J]. Journal of Chongqing University: Natural Science Edition, 2010, 33(8): 1-6.

[2]Bieniek M P. Forced vibrations of cylindrical sandwich shells[J]. Journal of the Aerospace Sciences, 1962,29(2): 180-184.

[3]Rahmani O, Khalili S M R, Malekzadeh K. Free vibration response of composite sandwich cylindrical shell with flexible core[J]. Composite Structures, 2010, 92(5): 1269-1281.

[4]Mohammadi F, Sedaghati R. Linear and nonlinear vibration analysis of sandwich cylindrical shell with constrained viscoelastic core layer[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2012, 54(1): 156-171.

[5]楊德慶,柳擁軍. 自由阻尼層結(jié)構(gòu)阻尼材料配置優(yōu)化的拓?fù)涿舳确╗J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2004, 16(4): 420-425.

YANG De-qing, LIU Yong-jun.Topological sensitivity method for the optimal placement of unconstrained damping material in structures[J].Journal of Vibration Engineering,2004,16(4):420-425.

[6]Zheng H, Cai C, Tan X M. Optimization of partial constrained layer damping treatment for vibrational energy minimization of vibrating beams[J].Computers & Structures,2004, 82(29): 2493-2507.

[7]Araujo A L, Madeira J F A, Mota Soares C M, et al. Optimal design for active damping in sandwich structures using the Direct MultiSearch method[J]. Composite Structures, 2013, 105: 29-34.

[8]張志飛,倪新帥,徐中明,等. 基于優(yōu)化準(zhǔn)則法的自由阻尼材料拓?fù)鋬?yōu)化[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2013, 32(14): 98-102.

ZHANG Zhi-fei, NI Xin-shuai, XU Zhong-ming, et al.Topologic optimization of a free damping material based on optimal criteria method[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(14): 98-102.

[9]Cameron C J, Lind Nordgren E, Wennhage P, et al. On the balancing of structural and acoustic performance of a sandwich panel based on topology, property, and size optimization[J]. Journal of Sound and Vibration, 2014, 333(13): 2677-2698.

[10]Kumar N, Singh S P. Experimental study on vibration and damping of curved panel treated with constrained viscoelastic layer[J]. Composite Structures, 2010,92(2): 233-243.

[11]Kumar N, Singh S P. Vibration control of curved panel using smart damping[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2012, 30: 232-247.

[12]石慧榮,高溥,李宗剛,等. 局部約束阻尼柱殼振動(dòng)分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2013, 32(22):146-151.

SHI Hui-rong, GAO Pu, LI Zong-gang, et al. Vibration analysis and optimization design of a cylindrical shell treated with constrained layer damping[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(22):146-151.

[13]李超,李以農(nóng),施磊,等. 圓柱殼體阻尼材料布局拓?fù)鋬?yōu)化研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2012, 31(4): 48-52.

LI Chao, LI Yi-nong, SHI Lei, et al. Topological optimization for placement of damping material on cylindrical shells[J].Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(4): 48-52.

[14]李家春,葉邦彥,湯勇,等. 基于密度法的熱傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化準(zhǔn)則算法術(shù)[J].華南理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2006, 34(2):27-32.

LI Jia-chun, YE Bang-yan, TANG Yong, et al.Algorithm of topology optimization criteria for heat conduction structure based on density approach[J].Journal of South China University of Technology:Natural Science Edition,2006,34(2):27-32.

[15]李攀. 約束阻尼結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化方法研究[D]. 重慶:重慶大學(xué), 2013.

[16]鄭玲,謝熔爐,王宜,等. 基于優(yōu)化準(zhǔn)則的約束阻尼材料優(yōu)化配置[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2010, 29(11): 156-159.

ZHENG Ling, XIE Rong-lu, WANG Yi, et al.Optimal placement of constrained damping material in structures based on optimality criteria[J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(11): 156-159.

第一作者李勝利男，博士，副教授，研究生導(dǎo)師，1979年生