二次方分段雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振特性及其應(yīng)用

張金燕，林敏

(中國(guó)計(jì)量學(xué)院 計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院，杭州 310018)

摘要：提出一種二次方分段雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)，建立了該勢(shì)函數(shù)的參數(shù)與克萊默斯逃逸率和輸出信噪比的解析關(guān)系。并從動(dòng)力學(xué)的角度，分析了不同非線性勢(shì)函數(shù)下布朗粒子所受的勢(shì)場(chǎng)力對(duì)增強(qiáng)隨機(jī)共振效應(yīng)的影響。數(shù)值仿真與理論分析結(jié)論一致。經(jīng)對(duì)軸承滾動(dòng)體故障數(shù)據(jù)的分析表明，該勢(shì)函數(shù)所產(chǎn)生的隨機(jī)共振能更有效地實(shí)現(xiàn)微弱特征檢測(cè)與早期故障診斷。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)共振；二次方分段雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)；噪聲助長(zhǎng)；軸承故障；微弱信號(hào)檢測(cè)

中圖分類號(hào):TH113

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.19.034

Abstract:A quadratic segmented bistable potential function was proposed here, the analytic relations among Kramers escape rate, the output signal-to-noise ratio and parameters of the potential function were established. With the principle of dynamics, the influences of the potential field force exerted on Brownian particles under different nonlinear potential functions on enhancing the stochastic resonance produced by the potential functions were analyzed. The results of numerical simulation agree well with the theoretical analysis ones. The analysis of rolling element bearing fault data showed that the stochastic resonance caused by the proposed potential function effectively realizes the weak signal detection and early fault diagnosis.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然基金(51304105) 國(guó)家自然科學(xué)基金(51305209)；江蘇省自然科學(xué)基金(BK20130979,BK2011735)；中國(guó)博士后科學(xué)基金(2013M541678); 江蘇省博士后科學(xué)基金(1302052C)

收稿日期：2014-10-22修改稿收到日期：2015-03-05 2014-08-12修改稿收到日期：2015-01-20

Stochastic resonance characteristic of a quadratic segmented bistable system and its application

ZHANGJin-yan,LINMin(College of Metrology and Engineering, China Jiliang University, Hangzhou 310018, China)

Key words:stochastic resonance; quadratic segmented bistable potential function; noise facilitation; bearing fault; weak signal detection

Benzi等[1-2]在研究地球冰川問(wèn)題時(shí)提出了隨機(jī)共振，并且將其定義為一種雙穩(wěn)系統(tǒng)在微弱周期信號(hào)和噪聲共同作用下表現(xiàn)出來(lái)的非線性現(xiàn)象。隨機(jī)共振常用Langevin方程來(lái)描述，它涉及微弱周期信號(hào)、噪聲以及非線性系統(tǒng)三個(gè)基本要素[3]，多用輸出信噪比和功率譜來(lái)衡量其效應(yīng)[4]。在非線性系統(tǒng)中，噪聲的存在可以助長(zhǎng)系統(tǒng)中的微弱信號(hào)[5]，并且在特定的噪聲強(qiáng)度下系統(tǒng)的輸出信噪比和功率譜能夠達(dá)到極大。這使隨機(jī)共振在微弱信號(hào)檢測(cè)領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值[6]。

近年來(lái)，人們圍繞著經(jīng)典雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)所產(chǎn)生的隨機(jī)共振現(xiàn)象進(jìn)行了廣泛而深入的研究，通過(guò)調(diào)節(jié)勢(shì)函數(shù)的參數(shù)來(lái)產(chǎn)生隨機(jī)共振或增強(qiáng)隨機(jī)共振效應(yīng)[7-8]，但經(jīng)典雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)確定的勢(shì)能與位移是四次方的函數(shù)關(guān)系，存在著飽和特性。王澤林等[9-13]提出了分段線性雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)和分段混合雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)，這些勢(shì)函數(shù)能避免輸出的飽和特性，且在特定噪聲強(qiáng)度下具有較好的輸出信噪比，能有效地增強(qiáng)隨機(jī)共振效應(yīng)。因此，隨機(jī)共振效應(yīng)與勢(shì)函數(shù)的具體非線性形式有關(guān)，通過(guò)選擇不同非線性的勢(shì)函數(shù)并調(diào)節(jié)相關(guān)參數(shù)，能有效地增強(qiáng)隨機(jī)共振效應(yīng)。

線性是互不相干的獨(dú)立關(guān)系、是唯一的，而非線性則是相互作用的，是多種多樣的。本文研究噪聲與系統(tǒng)非線性的相互作用關(guān)系，提出二次方分段雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)，建立勢(shì)函數(shù)的參數(shù)與克萊默斯逃逸率和輸出信噪比的關(guān)系；并從動(dòng)力學(xué)的角度，分析不同非線性勢(shì)函數(shù)所確定的常數(shù)力、線性力等勢(shì)場(chǎng)力對(duì)增強(qiáng)隨機(jī)共振效應(yīng)的影響。最后，采用二次方分段雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)所產(chǎn)生的隨機(jī)共振應(yīng)用于軸承滾動(dòng)體的早期故障診斷。

1二次方分段雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)

隨機(jī)共振的常用動(dòng)力學(xué)方程如下所示：

(1)

式中的微弱周期信號(hào)Acos(2πf0t)是外界提供的一個(gè)周期性驅(qū)動(dòng)力，f0是周期信號(hào)的頻率，幅值A(chǔ)?1；滿足〈η(t)〉=0，〈η(t)η(t′)〉=2Dδ(t-t′)的高斯白噪聲η(t)是粒子受到的一個(gè)隨機(jī)力，D為噪聲強(qiáng)度。U(x)是系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)，刻畫了粒子在所處勢(shì)場(chǎng)中勢(shì)能隨位移的變化，-dU(x)/dx是布朗粒子在勢(shì)場(chǎng)中受到的勢(shì)場(chǎng)力。改變勢(shì)函數(shù)U(x)的非線性形式，使微弱周期信號(hào)及噪聲之間存在著匹配關(guān)系,則能產(chǎn)生隨機(jī)共振或者增強(qiáng)隨機(jī)共振效應(yīng)。

經(jīng)典雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)為：

(2)

(3)

在相同噪聲強(qiáng)度下，分段混合雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)所產(chǎn)生的隨機(jī)共振具有更高的輸出信噪比。

分段混合雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)將勢(shì)能與位移之間原有的四次方函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)變成了線性關(guān)系，也將勢(shì)場(chǎng)力從非線性力變成了常數(shù)力。由于勢(shì)函數(shù)非線性是多種多樣的，為了尋找隨機(jī)共振效應(yīng)更好的非線性勢(shì)函數(shù)，本文在x4項(xiàng)與x項(xiàng)之間構(gòu)建了一個(gè)x2項(xiàng)的邊界函數(shù)，提出了一種二次方分段雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)，從而確定了勢(shì)能與位移的二次方函數(shù)關(guān)系，也確定了勢(shì)場(chǎng)力是線性力，其表達(dá)式為：

(4)

圖1　勢(shì)函數(shù)曲線 Fig.1 The potential function

不同非線性的勢(shì)函數(shù)確定了布朗粒子在勢(shì)場(chǎng)中將受到不同的勢(shì)場(chǎng)力。當(dāng)參數(shù)a=1，b=1時(shí)，布朗粒子所受的勢(shì)場(chǎng)力隨位移變化的曲線見(jiàn)圖2，其中橫坐標(biāo)是布朗粒子在勢(shì)阱中的位移，縱坐標(biāo)是布朗粒子所受的勢(shì)場(chǎng)力。

從圖2可知，隨著勢(shì)函數(shù)非線性形式的變化，布朗粒子所受的勢(shì)場(chǎng)力也隨之改變。當(dāng)勢(shì)函數(shù)為U1(x)時(shí)，布朗粒子所受的勢(shì)場(chǎng)力為非線性力；當(dāng)勢(shì)函數(shù)為U2(x)時(shí)，布朗粒子在兩勢(shì)阱底之間所受的勢(shì)場(chǎng)力為非線性力，在兩勢(shì)阱底外側(cè)所受的勢(shì)場(chǎng)力為常數(shù)力且在兩勢(shì)阱底處勢(shì)場(chǎng)力均存在跳變；當(dāng)勢(shì)函數(shù)為U3(x)時(shí)，布朗粒子在兩勢(shì)阱底之間所受的勢(shì)場(chǎng)力為非線性力，在兩勢(shì)阱底外側(cè)所受的勢(shì)場(chǎng)力為線性力且在兩勢(shì)阱底處勢(shì)場(chǎng)力均存在跳變。因此，選擇不同非線性形式的勢(shì)函數(shù)，可以改變布朗粒子受到的勢(shì)場(chǎng)力，從而影響隨機(jī)共振效應(yīng)。

圖2　勢(shì)場(chǎng)力變化曲線 Fig.2 The change of potential well Force

1.1特性分析

雙穩(wěn)系統(tǒng)的Kramers逃逸率可表述為：

(5)

Kramers逃逸率表示布朗粒子在噪聲作用下從一個(gè)勢(shì)阱躍遷到另一個(gè)勢(shì)阱的速率，值越大表示布朗粒子在一定時(shí)間內(nèi)躍遷的次數(shù)越多，每次耗時(shí)越短。由式(5)可知，通過(guò)選擇不同非線性形式的U(x)可以改變系統(tǒng)的Kramers逃逸率，從而影響系統(tǒng)對(duì)微弱周期信號(hào)的響應(yīng)速率。

將式(4)的U3(x)代入式(5)并取積分，可得：

(6)

進(jìn)一步簡(jiǎn)化得：

(7)

同理

(8)

因此，二次方分段雙穩(wěn)系統(tǒng)的Kramers逃逸率為：

(9)

圖3　Kramers逃逸率隨噪聲強(qiáng)度D的變化 Fig.3 The R along with the change of noise intensity D

圖3為當(dāng)參數(shù)a=1，b=1，c=2時(shí)，不同非線性的勢(shì)函數(shù)下系統(tǒng)的Kramers逃逸率隨噪聲強(qiáng)度變化曲線。由圖3可知，Kramers逃逸率會(huì)隨著勢(shì)函數(shù)非線性形式的變化而變化。且在同一噪聲強(qiáng)度下，二次方分段雙穩(wěn)系統(tǒng)的Kramers逃逸率遠(yuǎn)大于分段雙穩(wěn)系統(tǒng)的Kramers逃逸率。因此，不同非線性的勢(shì)函數(shù)U(x)能夠影響系統(tǒng)的Kramers逃逸率。

通常采用輸出信號(hào)信噪比SNR來(lái)衡量系統(tǒng)的隨機(jī)共振效應(yīng)，其定義為噪聲功率與輸出信號(hào)功率的比值。系統(tǒng)的輸出信噪比可描述為[14]：

(10)

將式(9)的Kramers逃逸率代入式(10)，可得：

(11)

圖4為當(dāng)a=1，b=1，c=2，信號(hào)幅值A(chǔ)=0.4時(shí)，系統(tǒng)的輸出信噪比隨噪聲強(qiáng)度變化的曲線。隨著噪聲強(qiáng)度的變化，系統(tǒng)的輸出信噪比呈現(xiàn)出明顯的單峰曲線，二次方分段雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出信噪比峰值最大，且峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的噪聲強(qiáng)度也提高了。因此，勢(shì)函數(shù)非線性形式的變化能夠影響系統(tǒng)對(duì)噪聲的適應(yīng)性，選擇合適的勢(shì)函數(shù)形式能達(dá)到增強(qiáng)系統(tǒng)隨機(jī)共振效應(yīng)的目的。

圖4　輸出信噪比隨噪聲強(qiáng)度D的變化 Fig.4 The output SNR along with the change of noise intensity D

2數(shù)值仿真結(jié)果分析

數(shù)值仿真采用四階龍格庫(kù)塔算法，系統(tǒng)參數(shù)固定為a=1，b=1，c=2，設(shè)置采樣頻率fs=5Hz，外界微弱周期信號(hào)的頻率f0=0.01Hz，幅值A(chǔ)=0.4。輸入信號(hào)為外界微弱周期信號(hào)和噪聲的混合信號(hào)。當(dāng)噪聲強(qiáng)度D=0～3時(shí)，系統(tǒng)的輸出信噪比變化見(jiàn)圖5。圖5中橫坐標(biāo)是系統(tǒng)輸入的噪聲強(qiáng)度，縱坐標(biāo)是系統(tǒng)的輸出信噪比。隨著噪聲強(qiáng)度的變化，系統(tǒng)的輸出信噪比呈現(xiàn)明顯的單峰曲線，二次方分段雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出信噪比達(dá)到了50.7，且峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的噪聲強(qiáng)度也得到相應(yīng)提高。因此，二次方分段雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出信噪比得到了顯著的提高，且對(duì)噪聲具有較好的適應(yīng)性。數(shù)值仿真結(jié)果與理論分析基本一致。

圖5　輸出信噪比的變化 Fig.5 The change of the output SNR

輸入信號(hào)s(t)是幅值A(chǔ)=0.4的周期信號(hào)與D=0.4的高斯白噪聲的混合信號(hào)。圖6為s(t)經(jīng)過(guò)分段混合雙穩(wěn)系統(tǒng)作用后得到的輸出信號(hào)x(t)的時(shí)域圖和功率譜圖。圖6表明，待測(cè)微弱周期信號(hào)頻率f0=0.01Hz處的功率譜值較小。圖7是s(t)經(jīng)過(guò)二次方分段雙穩(wěn)系統(tǒng)作用后得到的輸出信號(hào)x(t)的時(shí)域圖和功率譜圖。圖7表明，待測(cè)微弱周期信號(hào)在頻率f0=0.01Hz處的功率譜值具有顯著提高，譜值達(dá)到了0.5749 unit2/Hz。數(shù)值仿真結(jié)果表明，二次方分段雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)能有效增強(qiáng)系統(tǒng)的隨機(jī)共振效應(yīng)。

圖6　分段混合雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出時(shí)域圖及功率譜圖 Fig.6 Time-domin waveform and power spectrum of the piecewise hybrid bistable system’s output

圖7　二次方分段雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出時(shí)域圖及功率譜圖 Fig.7 Time-domin waveform and power spectrum of the quadratic piecewise bistable system’s output

3軸承故障信號(hào)檢測(cè)結(jié)果與分析

滾動(dòng)軸承是現(xiàn)代工業(yè)中常見(jiàn)的機(jī)械零件之一。其承受的載荷隨時(shí)間變化，在線使用的時(shí)間也較長(zhǎng)，因此軸承是機(jī)械設(shè)備中最容易損壞的元件之一。據(jù)統(tǒng)計(jì)，在使用滾動(dòng)軸承的旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，大約有30%的機(jī)械故障都是由軸承引起的[15]。故障的發(fā)生勢(shì)必會(huì)帶來(lái)機(jī)械生產(chǎn)的不便以及一定的經(jīng)濟(jì)損失，由于故障的產(chǎn)生和形成是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，因此軸承的早期故障診斷十分必要。

本文選取型號(hào)為N/NU 205EM的軸承滾動(dòng)體故障進(jìn)行檢測(cè)。該軸承的滾動(dòng)體直徑BD=7.5mm，滾道節(jié)徑PD=65mm，內(nèi)徑Ra=25mm，外徑Rb=52mm，滾動(dòng)體個(gè)數(shù)N=12，接觸角β=0°。實(shí)驗(yàn)采集軸承的加速度信號(hào)時(shí)，設(shè)置采樣頻率fs=80kHz，采樣點(diǎn)數(shù)N=220=1048576，軸承轉(zhuǎn)頻f0=25Hz。

隨機(jī)共振理論要求輸入信號(hào)需要滿足小參數(shù)條件，因此對(duì)于實(shí)測(cè)的軸承滾動(dòng)體故障信號(hào)先通過(guò)二次采樣進(jìn)行預(yù)處理[16]，設(shè)置采樣壓縮比R=5000使其滿足產(chǎn)生隨機(jī)共振的小參數(shù)條件，再利用二次方分段雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機(jī)共振的方法提取微弱特征，最后進(jìn)行尺度還原后得到對(duì)應(yīng)的特征頻率。選取a=1，b=1，c=2為系統(tǒng)參數(shù)。圖8是軸承原始故障信號(hào)s(t)的時(shí)域圖及功率譜圖，該軸承滾動(dòng)體待測(cè)的周期故障信號(hào)完全淹沒(méi)于噪聲中，功率譜圖中無(wú)法分辨出任何特征故障頻率。

圖8　原始故障信號(hào)時(shí)域波形圖及功率譜圖 Fig.8 Time-domin waveform and power spectrum of the original bearing falut signal

將含有故障特征頻率的混合信號(hào)分別通過(guò)分段混合雙穩(wěn)系統(tǒng)、二次方分段雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機(jī)共振作用后，得到系統(tǒng)的輸出功率譜圖見(jiàn)圖9。圖9(a)為分段混合雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機(jī)共振后系統(tǒng)的輸出功率譜，其特征故障頻率處對(duì)應(yīng)的功率譜值p(f)=0.09287unit2/Hz，右側(cè)仍存在較高的譜值，無(wú)法從中分辨出特征故障頻率。圖9(b)是二次方分段雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出功率譜值，在特征頻率fs=0.2502Hz處存在一個(gè)較為突出的譜峰值，相應(yīng)的功率譜值p(f)=0.1552unit2/Hz。根據(jù)頻率壓縮比進(jìn)行尺度還原，該軸承滾動(dòng)體對(duì)應(yīng)的故障頻率應(yīng)為fd=fs·R=125.1Hz。當(dāng)軸承轉(zhuǎn)頻f0=25Hz時(shí)，滾動(dòng)體故障頻率的理論值為125.18Hz。圖9(a)與圖9(b)表明，二次方分段雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機(jī)共振具有明顯的譜峰值，其譜峰值增加了67.2%。檢測(cè)結(jié)果可以表明，二次方分段雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出性能顯著優(yōu)于分段混合雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出性能，該方法能夠檢測(cè)出軸承滾動(dòng)體故障。

圖9　分段混合雙穩(wěn)系統(tǒng)和二次方分段雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出功率譜圖 Fig.9 Power spectrum of the piecewise hybrid bistable system’s output and quadratic piecewise bistable system’s output

4結(jié)論

隨機(jī)共振效應(yīng)與勢(shì)函數(shù)的具體非線性形式有關(guān)。本文建立了二次方分段雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)的參數(shù)與系統(tǒng)克萊默斯逃逸率和輸出信噪比的解析關(guān)系。并從動(dòng)力學(xué)的角度，分析了勢(shì)函數(shù)的具體非線性形式對(duì)隨機(jī)共振效應(yīng)的影響，揭示了增強(qiáng)隨機(jī)共振效應(yīng)的物理本質(zhì)。結(jié)果表明，二次方分段雙穩(wěn)系統(tǒng)中，由于布朗粒子受到的勢(shì)場(chǎng)力中存在線性力，噪聲的助長(zhǎng)作用明顯，整個(gè)系統(tǒng)具有良好的輸出信噪比及功率譜。數(shù)值仿真結(jié)果與理論分析結(jié)論完全吻合，且軸承滾動(dòng)體故障數(shù)據(jù)的分析表明，該勢(shì)函數(shù)所產(chǎn)生的隨機(jī)共振在軸承故障信號(hào)檢測(cè)中的應(yīng)用是有效的。同時(shí)也適用于其他強(qiáng)噪聲背景下的微弱信號(hào)檢測(cè)，應(yīng)用前景良好。

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第一作者毛君男，教授，博士，1960年生

第一作者朱銀龍男，博士后，講師，1981年生

通信作者周宏平男，教授，博士生導(dǎo)師，1964年生

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