模型縮減法在轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用比較

黃健偉，羅貴火，王飛

(南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院，江蘇南京210016)

摘要：隨著大規(guī)模模型的不斷增加，模型縮減在動(dòng)力學(xué)分析中顯得越來(lái)越重要，模型縮減在保證精度的基礎(chǔ)上可以減少存儲(chǔ)空間和提高計(jì)算效率。常見的模型縮減法主要有靜態(tài)縮減法(Guyan)、動(dòng)態(tài)縮減法(Dynamic reduction)、改進(jìn)的縮減系統(tǒng)法(IRS)、系統(tǒng)等價(jià)擴(kuò)展縮減法(System equivalent expansion reduction process)以及部件模態(tài)綜合法(CMS)。從理論上介紹了幾種模型縮減法的不同，而且通過(guò)這幾種方法對(duì)有限元法建立的簡(jiǎn)單單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行臨界轉(zhuǎn)速的分析，比較分析它們?cè)跍?zhǔn)確度以及計(jì)算效率的差別。結(jié)論：1)在計(jì)算效率和準(zhǔn)確性上，IRS法和CMS法表現(xiàn)較好；2)靜態(tài)縮減法只在零頻時(shí)結(jié)果精確，可靠性較差；動(dòng)態(tài)縮減法在特定頻率下結(jié)果較精確；SEREP法計(jì)算結(jié)果比靜態(tài)縮減法和動(dòng)態(tài)縮減法要精確，但是精度和計(jì)算效率低于CMS法和IRS法；3)CMS法在預(yù)測(cè)高頻運(yùn)動(dòng)時(shí)結(jié)果更準(zhǔn)確。

關(guān)鍵詞:模型縮減計(jì)算效率單轉(zhuǎn)子準(zhǔn)確度

中圖分類號(hào)：V231.96文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

作者簡(jiǎn)介：黃健偉(1988-)，男，南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院，碩士研究生，主要研究方向：結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與完整性。

收稿日期：2014-12-24

Comparison study of application of model reduction in rotor dynamics

HUANG Jianwei,LUO Guihuo,WANG Fei

Abstract:As more and more large models are adopted in practice, model reduction becomes an important issue in rotor dynamics. Based on accurate prediction, model reduction can reduce storage and simulation time. The typical methods are Guyan reduction, dynamic reduction, improved reduce system(IRS), system equivalent expansion reduction process and component mode synthesis method. A shaft-line model of a single rotor system is established with the finite element method. By analyzing the dual-rotor system of its analogous dynamic characteristics, the accuracy and computation efficiency of different methods are compared. The results are as the following：1)Compared with different reduction methods, IRS and CMS deliver the best eigenfrequency results.2)Guyan reduction is only exact at zero frequency，dynamic reduction can be exact at the chosen frequency， SEREP method is better than Guyan reduction and dynamic reduction in accuracy, but when predicting high frequency motion it is less accurate and less efficient than CMS and IRS method.3)CMS method has better accuracy in predicting high frequency motion.

Keywords:model reduction; computation efficiency; single rotor system; accuracy

1研究背景

近些年來(lái)，隨著模型尺寸的增大，動(dòng)力學(xué)分析所需計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)空間都不斷增多，降低了工作效率和增加了計(jì)算成本。模型縮減的方法在保證結(jié)果準(zhǔn)確度的基礎(chǔ)上可以很好的提升計(jì)算效率和減少存儲(chǔ)空間。模型縮減法得到了迅速的發(fā)展，主要有靜態(tài)縮減法、動(dòng)態(tài)縮減法、改進(jìn)的縮減系統(tǒng)法、系統(tǒng)等價(jià)擴(kuò)展縮減法以及部件模態(tài)綜合法。所以研究各種模型縮減方法求解精度的特點(diǎn)和計(jì)算效率都非常重要。

2模型縮減法的介紹

用于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分析的一種常見的空間離散化的方法是有限元法。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的二階運(yùn)動(dòng)微分方程如下：

(1)

其中M，C，K∈Rn×n分別是系統(tǒng)矩陣中的慣性矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣。f(t)∈Rn×1，是外部載荷，q∈Rn×1是狀態(tài)向量。模態(tài)縮減的一般概念是，找到一個(gè)低維數(shù)子空間T∈Rr×n通過(guò)映射近似狀態(tài)向量。通過(guò)對(duì)子空間的預(yù)測(cè)，可以得到一個(gè)低維的二階運(yùn)動(dòng)微分方程

(2)

其中Mr=TTMT，Cr=TTCT，Kr=TTKT是縮減后系統(tǒng)的矩陣，fr(t)=TTf(t)是轉(zhuǎn)換后的外力載荷。這種維數(shù)縮減方法的效果和精確度都取決于ε的規(guī)模。基于對(duì)轉(zhuǎn)換矩陣T的選擇，不同的縮減技術(shù)在過(guò)去幾十年中已經(jīng)得到了發(fā)展。

2.1Guyan縮減法

Guyan縮減法[1]，也叫靜態(tài)縮減法，它的特點(diǎn)是將與被縮減掉的自由度相關(guān)的慣性項(xiàng)和阻尼項(xiàng)都忽略。狀態(tài)向量q和載荷向量f，以及系統(tǒng)矩陣M和K被拆分為主自由度和從自由度。不受外力的自由度被選擇作為從自由度。假設(shè)阻尼時(shí)可忽略，運(yùn)動(dòng)方程組可以重新寫成：

(3)

下標(biāo)m和s分別對(duì)應(yīng)主坐標(biāo)系和從坐標(biāo)系。忽略掉第二個(gè)方程的慣性項(xiàng)，從自由度可以被消除，如下：

(4)

其中矩陣Ts表示縮減前狀態(tài)向量和主坐標(biāo)系之間的靜態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣。

縮減后的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣如下：

(5)

(6)

一般地說(shuō)，Guyan縮減法可以很好地接近低階特征值，事實(shí)上它只有在零頻時(shí)是精確的。對(duì)于高頻運(yùn)動(dòng)，慣性項(xiàng)的影響是非常大的，這種情況下Guyan法就顯得不精確了。

2.2動(dòng)態(tài)縮減法

動(dòng)態(tài)縮減法(Dynamicreduction[2])是靜態(tài)縮減法的一種轉(zhuǎn)換或者擴(kuò)展，在任意指定頻率下的縮減都是準(zhǔn)確的。假設(shè)指定在ω0處進(jìn)行降維縮減，對(duì)于方程組(3)中的第二個(gè)方程，慣性力可以寫成如下格式：

(7)

所以縮減轉(zhuǎn)換可以寫成如下

=Tdqm

(8)

動(dòng)態(tài)縮減法對(duì)于高頻率運(yùn)動(dòng)相對(duì)準(zhǔn)確，但是需要認(rèn)真選擇初始頻率ω0。

2.3改進(jìn)的縮減系統(tǒng)方法

改進(jìn)的縮減方法(IRS[3])考慮慣性力，將一個(gè)慣性項(xiàng)加到靜態(tài)縮減轉(zhuǎn)化矩陣中。這個(gè)慣性項(xiàng)使得結(jié)果能更加接近未縮減模態(tài)的模態(tài)向量，慣性項(xiàng)可以通過(guò)靜態(tài)縮減法得到。

Gordis[4]利用二項(xiàng)式定理得到IRS法的轉(zhuǎn)換矩陣。對(duì)于一個(gè)已給的頻率ω,通過(guò)方程組(3)可以得如下方程：

[Kss-ω2Mss]qs=-[Ksm-ω2Msm]qm

(9)

這個(gè)方程和方程(8)很相似。通過(guò)二項(xiàng)式定理，方程(9)可以被整理成：

qs=-[Kss-ω2Mss]-1[Ksm-ω2Msm]qm

(10)

式中o(ω4)表示ω4的誤差。忽略誤差，考慮到IRS方法是基于靜態(tài)縮減法，重新整理方程(10)，得到：

(11)

(12)

(13)

縮減后的質(zhì)量和剛度矩陣可以寫成：

(14)

(15)

相關(guān)參量可以通過(guò)Guyan法中得到，通過(guò)方程(12)可以得到IRS法的轉(zhuǎn)換矩陣。

2.4系統(tǒng)等價(jià)擴(kuò)展縮減法

系統(tǒng)等價(jià)擴(kuò)展縮減法(SEREP[5])使特征向量的子集為Φr轉(zhuǎn)換矩陣可以寫成T=Φr。通過(guò)這種變換，物理坐標(biāo)系被轉(zhuǎn)換為模態(tài)坐標(biāo)系。系統(tǒng)等價(jià)擴(kuò)展縮減法(SEREP)也利用特征向量的子集。通過(guò)用主自由度和從自由度劃分物理坐標(biāo)系和特征向量，物理坐標(biāo)系被保留下來(lái)。這個(gè)轉(zhuǎn)換矩陣被寫成

(16)

其中Φr=[ΦmΦs]T表示被分離的特征向量的子集。

所以轉(zhuǎn)換矩陣被寫成

(17)

為了得到轉(zhuǎn)換矩陣，首先要得到無(wú)阻尼系統(tǒng)的特征向量。然后，TSEREP和縮減后的質(zhì)量和剛度矩陣可以通過(guò)方程(17)-方程(19)得到。

(18)

(19)

與動(dòng)態(tài)縮減法和靜態(tài)縮減法相比較，SEREP法在有預(yù)先定義的約束的系統(tǒng)的高頻運(yùn)動(dòng)中預(yù)測(cè)得更好。

2.5部件模態(tài)綜合法

固定界面模態(tài)綜合法(CMS)由Craig和Bampton[6]提出,并由Craig和Petyt[7-10]進(jìn)一步研究。先要將模型分割為兩部分，包括外部結(jié)構(gòu)和內(nèi)部結(jié)構(gòu)兩種。通過(guò)分割，物理坐標(biāo)被分為與主自由度和從自由度相對(duì)應(yīng)的外部坐標(biāo)和內(nèi)部坐標(biāo)。類似于方程(3)和(4)，模態(tài)綜合法的約束模態(tài)由下面的方程決定：

0=Ksmqm+Kssqs

(20)

(21)

Φc是約束模態(tài)。主模態(tài)從下面的方程計(jì)算得到

KssΦ=λMssΦ

(22)

其中Φ表示特征向量，λ是特征值。Φ通過(guò)模態(tài)截?cái)嗵幚?，Φ剩余的子集可以寫成Φr。

最后，通過(guò)Craig和Bampton的基本假設(shè)，從自由度的位移如下

qs=Φcqm+Φry

(23)

因此，轉(zhuǎn)換過(guò)程如下

(24)

轉(zhuǎn)換矩陣為

(25)

對(duì)于縮減后結(jié)構(gòu)，固定界面模態(tài)綜合法計(jì)算結(jié)果更好。但是忽略主模態(tài)的高階項(xiàng)，可能導(dǎo)致結(jié)果的不精確。

3各種縮減法的結(jié)果比較

本文針對(duì)單轉(zhuǎn)子模型，利用上述介紹的幾種模型縮減法對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，并對(duì)各種方法得到的結(jié)果進(jìn)行比較分析。用有限元單元方法建立單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸線的模型，采取Timoshenko梁?jiǎn)卧?。阻尼和?nèi)部摩擦力被忽略。模型包括了21個(gè)單元，22個(gè)節(jié)點(diǎn)和88個(gè)自由度。模型的圖解和支承的位置見圖1。

圖1　單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)圖

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不受外力的情況，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以寫成：

(26)

其中Ω是轉(zhuǎn)速，G是陀螺力矩矩陣。對(duì)于這個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，節(jié)點(diǎn)1，5，13，18，22的自由度被選作為靜態(tài)縮減法、動(dòng)態(tài)縮減法、IRS法和SEREP方法的自由度。對(duì)于固定界面模態(tài)綜合法來(lái)說(shuō)，只有節(jié)點(diǎn)5和13的自由度叫做主自由度。為了比較不同方法的計(jì)算效率，需要選擇前12階模態(tài)作為保留模態(tài)，使得方程(24)中CMS法的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化后的矩陣變?yōu)橐粋€(gè)20×1矩陣，這樣可以保證縮減后的維數(shù)和通過(guò)其他縮減方法縮減后的維數(shù)相同。

3.1臨界轉(zhuǎn)速的比較

對(duì)于縮減模態(tài)和全模態(tài)，特征值和特征向量以及和坎貝爾圖都通過(guò)計(jì)算得到。不同方法得到的坎貝爾圖如圖2(a)-(f)。盡管在不同方法得到的結(jié)果之間只存在微小的不同，但在圖2中還是可以看到不同。

圖2　由不同縮減法得到的坎貝爾圖

從表1可以看出動(dòng)態(tài)縮減法得到的一階正進(jìn)動(dòng)和一階反進(jìn)動(dòng)的臨界轉(zhuǎn)速比Guyan靜態(tài)縮減法要精確，這是由于方程(7)中合適的選擇了ω0的值。在這個(gè)例子中ω0=220 rad/s≈35 Hz。對(duì)于高維數(shù)復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，選擇一個(gè)合適的值不是一個(gè)簡(jiǎn)單的任務(wù)，盡管反復(fù)計(jì)算會(huì)降低計(jì)算效率，但是為這個(gè)參數(shù)的選擇提供了幫助。

同樣從表1還可以看出，和未縮減方法相比，改進(jìn)的系統(tǒng)縮減法(IRS法)和系統(tǒng)等價(jià)擴(kuò)展縮減法(SEREP法)得到的結(jié)果更加精確，盡管在計(jì)算單轉(zhuǎn)子高頻運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)出現(xiàn)一些誤差，本文在后面的章節(jié)將會(huì)討論這些誤差。

表1　臨界轉(zhuǎn)速比較

3.2特征頻率的比較

前14種特征頻率的不同在圖3中表示出來(lái)。特征頻率的差值被定義為：

eigdiff=eigreduced-eigfull

(27)

圖3　各種方法的特征頻率之間的差值

圖3中所有特征頻率之間的差值都是正值，正好符合縮減法得到的頻率比未縮減方法得到頻率更高的理論。對(duì)于不同的縮減方法，盡管動(dòng)態(tài)縮減法在選定頻率下得到的結(jié)果更好，但靜態(tài)縮減法和動(dòng)態(tài)縮減法的結(jié)果幾乎完全一致。這兩種方法對(duì)于在高頻運(yùn)動(dòng)的計(jì)算結(jié)果都不可信。圖3中可以看出，固定界面模態(tài)綜合法(CMS)和改進(jìn)的系統(tǒng)縮減法(IRS)在對(duì)高頻運(yùn)動(dòng)計(jì)算的結(jié)果都比其他縮減方法要更精確。但是，對(duì)于固定界面模態(tài)綜合法，選擇哪種更低維特征向量和為了得到Craig -Bampton約束模態(tài)的方程(23)需要多少維數(shù)的特征向量，會(huì)降低計(jì)算的效率。但是，對(duì)于CMS法，要為方程(23)中約束模態(tài)選擇哪種維數(shù)更低的特征向量和多少維數(shù)的特征向量是很必要的，但這會(huì)降低計(jì)算的效率。

3.3模態(tài)置信準(zhǔn)則

通過(guò)未縮減模型和縮減模型得到的特征值，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特征向量和振型都可以得到。為了評(píng)估未縮減模型和縮減模型之間的關(guān)聯(lián)程度，需要得到模態(tài)置信準(zhǔn)則[11]。MAC可以表達(dá)成：

(28)

其中Φi表示未縮減模型第i個(gè)特征向量，Φj表示第j個(gè)擴(kuò)展的特征向量。

特征向量的維數(shù)一定是相同的，所以縮減后的特征向量可以通過(guò)轉(zhuǎn)化矩陣擴(kuò)展成原自由度數(shù)下的特征向量。在MAC矩陣中的所有值都在0到1之間。這個(gè)值越小，特征向量之間的相關(guān)性越差，如圖4所示。

(a)各方法得到的MAC值比較　(b)MAC值比較(IRS法和CMS法) 圖4　MAC值比較

通過(guò)觀察圖4(a)和(b)，靜態(tài)縮減法(Guyan縮減法)和動(dòng)態(tài)縮減法的MAC值是一致的。與另外三種方法相比，IRS法和CMS法與未縮減模型的相關(guān)性更好。MAC比較結(jié)果和特征頻率的比較結(jié)果一致。

3.4計(jì)算效率的比較

使用MATLAB對(duì)所有方法進(jìn)行編程，運(yùn)行100次記錄需要的時(shí)間。每種方法平均耗費(fèi)時(shí)間被列在表2中，不同方法被列在圖5中。

表2　每運(yùn)行100次程序的平均時(shí)間

如圖5和表2中的內(nèi)容，和未縮減模型相比，所有的縮減法都有比較高的計(jì)算效率。對(duì)于上面提到的單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，幾乎可以省下90%的計(jì)算時(shí)間，同時(shí)又能保證較好的仿真程度。

(a)不縮減法和縮減法的比較　(b)各縮減法之間時(shí)間的比較 圖5　計(jì)算效率的比較

在圖5(b)中，固定界面模態(tài)綜合法和動(dòng)態(tài)縮減法是最有效率的，其次是Guyan縮減法，IRS法以及SEREP法。當(dāng)同時(shí)要考慮效率和精確度的時(shí)候，對(duì)于本文中的單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，固定界面模態(tài)綜合法是最合適的。

4結(jié)論

本文對(duì)幾種不同的模態(tài)縮減的方法進(jìn)行了比較。對(duì)特征頻率比較后發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)縮減系統(tǒng)法(IRS法)和固定界面模態(tài)綜合法(CMS法)得到的特征頻率效果最好。相對(duì)來(lái)說(shuō)，Guyan靜態(tài)縮減法是相對(duì)來(lái)說(shuō)準(zhǔn)確性較差，而且計(jì)算效率最低，因?yàn)殪o態(tài)的本質(zhì)是只在零頻的時(shí)候才是精確的。靜態(tài)縮減法和動(dòng)態(tài)縮減法的不同在于，動(dòng)態(tài)縮減法在選定的頻率處是精確的，而不是在零頻處。但是，動(dòng)態(tài)縮減法選擇一個(gè)合適的頻率很繁瑣。SEREP法比Guyan法和動(dòng)態(tài)縮減法都更加準(zhǔn)確，但是當(dāng)計(jì)算高頻運(yùn)動(dòng)時(shí)固定界面模態(tài)綜合法和IRS法比SEREP法要更加準(zhǔn)確和有效率。對(duì)于本文中單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，固定界面模態(tài)綜合法和IRS法在精確性上幾乎是一樣的。但是CMS固定界面模態(tài)綜合法在計(jì)算高頻運(yùn)動(dòng)時(shí)更加精確。

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