黎曼空間型中具有常數(shù)量曲率的超曲面的剛性

劉建成，謝　遜

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅蘭州　730070)

黎曼空間型中具有常數(shù)量曲率的超曲面的剛性

劉建成，謝遜

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅蘭州730070)

摘要：設(shè)Mn為等距浸入到黎曼空間型Nn+1(c)中的具有常數(shù)量曲率的緊致超曲面，得到了數(shù)量曲率的一個(gè)估計(jì),并應(yīng)用它證明了該類(lèi)超曲面的一個(gè)剛性分類(lèi)結(jié)果.

關(guān)鍵詞：黎曼空間型;數(shù)量曲率;緊致;超曲面

收稿日期：2015-05-22;修改稿收到日期:2015-10-09

E-mail:liujc@nwnu.edu.cn

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11261051)

作者簡(jiǎn)介：劉建成(1968—),男,甘肅鎮(zhèn)原人,教授,博士. 主要研究方向?yàn)檎w微分幾何與幾何分析.

中圖分類(lèi)號(hào)：O 186.12

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：章編號(hào)：1001-988Ⅹ(2015)06-0017-04

Abstract:The compact hypersurfaces with constant scalar curvature in a Riemannian space form are studied,and an estimate of constant scalar curvature is obtained.As a result of this estimation,a rigidity theorem of such hypersurfaces is proved.

Rigidity of hypersurfaces with constant scalar curvature

in Riemannian space forms

LIU Jian-cheng,XIE Xun

(College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

Key words:Riemannian space form;scalar curvature;compact;hypersurface

0引言及主要結(jié)果

設(shè)Nn+1(c)是(n+1)維常截曲率為c的黎曼空間型.根據(jù)c>0,c=0或c<0,分別稱(chēng)之為球空間Sn+1(c),歐氏空間Rn+1或雙曲空間Hn+1(c).

歐氏空間中具有常數(shù)量曲率的緊致超曲面的研究始于Cheng-Yau[1].一個(gè)熟知的問(wèn)題是:Rn+1中具有常數(shù)量曲率的緊致超曲面是否為球面?當(dāng)n=2時(shí)該問(wèn)題即為經(jīng)典的Liebmann定理；而當(dāng)n>2時(shí),Cheng-Yau證明了若超曲面M的截曲率K(M)>0,則結(jié)論正確；1991年，Montiel-Ros[2]證得:對(duì)于歐氏空間中的緊致連通嵌入超曲面,若有一個(gè)r階平均曲率Hr等于常數(shù),則Mn為全臍的,從而是一個(gè)超球面.因此在歐氏空間中,具有常數(shù)量曲率的緊致超曲面的截曲率K(M)>0是必然的.

本文首先證明在黎曼空間型Nn+1(c)中具有常數(shù)量曲率的緊致超曲面的數(shù)量曲率r≥n(n-1)c，然后利用這個(gè)結(jié)論給出該類(lèi)超曲面的一個(gè)剛性分類(lèi).

定理1設(shè)Mn是Nn+1(c)中數(shù)量曲率r為常數(shù)的緊致定向超曲面,則必有r-n(n-1)c≥0,當(dāng)且僅當(dāng)Mn為全測(cè)地時(shí)等號(hào)成立.

1預(yù)備知識(shí)及引理

記Rijkl為Mn的曲率張量的分量,則由Gauss方程有

進(jìn)而,

用hijk,hijkl分別表示hij的一階和二階共變導(dǎo)數(shù)的分量,則有

于是有Codazzi方程hijk=hikj和Ricci恒等式

對(duì)于Mn上的C2函數(shù)f,定義其梯度、Hessian算子及方框算子□[1]如下:

引理1[11]設(shè)Mn為Nn+1(c)的超曲面,則

引理2[12]設(shè)Mn是Nn+1(c)中具有常數(shù)量曲率的超曲面.若r-n(n-1)c≥0,則

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)至少有n-1個(gè)μi相等.

2主要結(jié)果的證明

因?yàn)?/p>

所以由(5),(6)式可知

即x0正好是曲面Mn在點(diǎn)x0處的法矢量.

根據(jù)(7)式有

于是fij=hijx,en+1,從而由(5)式有

由于x0是超曲面Mn在x0處的法矢量,故

于是,由(8)式知Mn在x0處的第二基本形式

是恒定的二次型.

選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)架,使得hij=λiδij.于是,當(dāng)x,en+1x0<0時(shí),由(8),(9)式知,第二基本形式h恒半正定.根據(jù)對(duì)稱(chēng)矩陣半正定的充要條件是它的特征值全為正數(shù)或零可知,Mn的所有主曲率λi(i=1,2,…,n)均為非負(fù)數(shù).同理,當(dāng)x,en+1x0>0時(shí),第二基本形式h恒半負(fù)定,即Mn的所有主曲率λi(i=1,2,…,n)均為非正數(shù).兩種情形都表明Mn的主曲率定號(hào),從而其數(shù)量曲率與Nn+1(c)數(shù)量曲率之差即為

當(dāng)且僅當(dāng)Mn為全測(cè)地時(shí),等號(hào)成立.由于Mn的數(shù)量曲率為常數(shù),從而在整體上r-n(n-1)c為非負(fù)常數(shù).】

推論1設(shè)Mn為黎曼空間型Nn+1(c)中具有常數(shù)量曲率r的緊致超曲面,則數(shù)量曲率r滿(mǎn)足

左側(cè)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Mn為全測(cè)地的,右側(cè)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Mn為全臍的.

可以看出H=0時(shí),空間型中具有常數(shù)量曲率的超曲面為全測(cè)地的.

定理2的證明由(4)式知

而根據(jù)Weitzenb?ck公式有

所以

另一方面,從(2)式可得Δ(n2H2)=ΔS,所以

由引理1及(10)式可得

利用引理2,引理3,從上式得到

(i)當(dāng)c>0時(shí),根據(jù)(2)式及定理 1,有

作正交變換

則

再由(11)式知

于是hijk=0,Mn具有平行第二基本形式,且主曲率λi為常數(shù).由引理3知,Mn是至多有兩個(gè)不同常主曲率的等參超曲面,且其中一個(gè)重?cái)?shù)為1.當(dāng)λ1=λ2=…=λn=H時(shí),情形同上,Mn為全臍超曲面.當(dāng)Mn有兩個(gè)不同主曲率時(shí),由文獻(xiàn)[15]知,Mn等距于雙曲柱面

H1(1-coth2t)×Sn-1(1-tanh2t),

其中t為正常數(shù).

(iii)當(dāng)c=0時(shí),由文獻(xiàn)[2]知Mn為全臍的.

綜合以上,定理2得證.】

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(責(zé)任編輯馬宇鴻)