一種利用太陽(yáng)影子定位的數(shù)學(xué)模型

夏師　鄧娌莉

摘 要：文章根據(jù)物體影子變化的測(cè)量數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型求解當(dāng)?shù)亟?jīng)緯度。根據(jù)太陽(yáng)高度角、桿長(zhǎng)，影長(zhǎng)之間的關(guān)系，建立影子長(zhǎng)度與經(jīng)緯度、時(shí)間等參數(shù)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。對(duì)此數(shù)學(xué)模型，文章給出了方程組求解和函數(shù)擬合求解兩種方法，具有一定參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：經(jīng)緯度；太陽(yáng)高度角；數(shù)學(xué)模型；非線性擬合

隨著科技的飛速發(fā)展，利用智能手機(jī)通過(guò)衛(wèi)星定位系統(tǒng)來(lái)確定自己的位置，為大家所熟悉。但是，除了衛(wèi)星定位系統(tǒng)，我們還有什么方法能進(jìn)行定位呢？其實(shí)在衛(wèi)星定位系統(tǒng)出現(xiàn)以前，航海的船員是用天文導(dǎo)航定位的。

說(shuō)到天文，就不能不說(shuō)到太陽(yáng)了。很早以前，人們就利用太陽(yáng)的影子來(lái)確定時(shí)間。那現(xiàn)在我們能不能用太陽(yáng)的影子來(lái)定位呢？2015年的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽就提出了這樣的問(wèn)題，非常有意思，對(duì)大學(xué)生們也是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)。

下面我們就利用太陽(yáng)影子，建立影子長(zhǎng)度變化的數(shù)學(xué)模型，求得當(dāng)?shù)乜赡艿慕?jīng)緯度。

1 問(wèn)題分析與模型建立

對(duì)于影子長(zhǎng)度變化，我們根據(jù)太陽(yáng)高度角、桿長(zhǎng)，影長(zhǎng)之間的關(guān)系可得影長(zhǎng)函數(shù)關(guān)系為：l=h/tanH。其中太陽(yáng)高度角H、桿長(zhǎng)h，影長(zhǎng)l。

而太陽(yáng)高度角H是由太陽(yáng)時(shí)角、赤緯角、時(shí)間來(lái)決定。太陽(yáng)高度角[1]隨著地方時(shí)和太陽(yáng)的赤緯的變化而變化。太陽(yáng)赤緯角（與太陽(yáng)直射點(diǎn)緯度相等）以B表示，觀測(cè)地地理緯度用w表示，當(dāng)時(shí)的太陽(yáng)時(shí)角以T表示，有太陽(yáng)高度角的計(jì)算公式：

綜合以上公式，可得出影長(zhǎng)變化的模型如下：

如果知道物體影長(zhǎng)變化，求所在地的位置的數(shù)學(xué)問(wèn)題，就是已知函數(shù)值反推函數(shù)中未知參數(shù)的問(wèn)題。我們可以利用解方程組和函數(shù)擬合來(lái)求出未知參數(shù)。

2 模型求解

（一）方程組求解當(dāng)?shù)亟?jīng)緯度

這里，我們用2015年全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題中附件1的數(shù)據(jù)來(lái)求解。把三個(gè)時(shí)間與影長(zhǎng)的數(shù)據(jù)代入公式（1）中，得到如下方程組：

由于日期已知，可算出當(dāng)天太陽(yáng)赤緯角B。方程組中只有h、W、T1為未知參數(shù)。以上方程組是非線性方程組，并不好求解。為此，可利用matable軟件的fsolve命令求得：

（二）非線性擬合函數(shù)

3 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)物體影子變化的測(cè)量數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型求解當(dāng)?shù)亟?jīng)緯度，問(wèn)題較為直觀，學(xué)生易于理解。問(wèn)題的求解用到了空間幾何的建模能力和非線性問(wèn)題求解，對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)的有較高要求。本文對(duì)此問(wèn)題給出了數(shù)學(xué)模型，并給出了方程組求解和函數(shù)擬合求解兩種方法，具有一定參考價(jià)值。

但是對(duì)這個(gè)問(wèn)題考慮到的影響因素較少，如太陽(yáng)折射等沒(méi)有考慮。所以求解結(jié)果和實(shí)際地點(diǎn)可能有較大偏差。

參考文獻(xiàn)：

[1]姜啟源，謝金星.大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2013.endprint