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      一道數(shù)學(xué)競賽題的多種解法

      2016-01-28 03:07:04玲,
      大學(xué)數(shù)學(xué) 2015年5期

      周 玲, 孫 琳

      (合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥230009)

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      一道數(shù)學(xué)競賽題的多種解法

      周玲,孫琳

      (合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥230009)

      [摘要]給出了北京市第一屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽一道試題的多種解法.

      [關(guān)鍵詞]數(shù)列極限; 夾迫原則; 遞推方法; 壓縮映象原理; 矩陣方法; 級數(shù)方法

      北京市第一屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題的第三題[1]是

      文[1]給出的解法是,先假定該數(shù)列的極限存在并求出其值,然后利用數(shù)列極限的定義予以證明. 本文將給出該試題的另外解法,僅供大家教學(xué)中作為參考.

      1利用數(shù)列的通項公式直接求極限

      從而

      yn+2-2yn+1-yn=0.

      (1)

      2利用判別數(shù)列極限存在的夾迫原則

      所以

      3利用關(guān)于xn的遞推式

      先介紹如下的

      命題1設(shè)數(shù)列{xn}滿足線性有理遞推關(guān)系

      (2)

      若λ和μ是方程cr2+(d-a)r-b=0的兩個不相等的實根,則

      (3)

      這是因為

      注意到cλ2+(d-a)λ-b=0及cμ2+(d-a)μ-b=0,故上式可寫成

      4利用壓縮映象原理

      易知

      5矩陣方法

      用數(shù)學(xué)歸納法不難證明(過程從略)如下的

      命題2設(shè)數(shù)列{xn}滿足線性有理遞推關(guān)系式(2),若令

      (4)

      (5)

      (6)

      A的特征方程為

      則有

      從而

      由(5),(6),故有

      6級數(shù)方法

      由題設(shè)易知xn>2 (n=1,2,…),從而

      由級數(shù)收斂的定義,有

      [參考文獻(xiàn)]

      [1]李心燦,季文鐸,孫洪祥,等.大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題解析選編[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2011.

      [中圖分類號]O13;O151.2

      [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]C

      [文章編號]1672-1454(2015)05-0104-04

      [基金項目]合肥工業(yè)大學(xué)教學(xué)改革研究項目(YJG2012Y12)

      [收稿日期]2014-09-10

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