王海舟

(硅湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 江蘇 昆山　215332)

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定積分換元與積分不等式應(yīng)用研究

王海舟

(硅湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 江蘇 昆山215332)

摘要：針對(duì)工程設(shè)計(jì)中的定積分換元和積分不定式的具體應(yīng)用相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行研究。通過(guò)具體運(yùn)算，整理出一套函數(shù)積分近似計(jì)算公式，為計(jì)算機(jī)編程提供了重要的數(shù)學(xué)模型。

關(guān)鍵詞：定積分; 積分不等式; 工程設(shè)計(jì)

0引言

對(duì)于現(xiàn)代的工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域，定積分的積分不定式的出現(xiàn)，使得其工程設(shè)計(jì)的精度得到了很大提高。對(duì)于以前的那種定積分在計(jì)算上的大部分的計(jì)算難度和一些過(guò)程中的復(fù)雜程度。我們做了相應(yīng)的改進(jìn)和提高，減輕了其在計(jì)算上的一定難度,利用數(shù)學(xué)模型使其中一類(lèi)定積分的計(jì)算過(guò)程變得不再那么復(fù)雜，簡(jiǎn)單明了。相對(duì)以前的那種在精度上、計(jì)算要求上都不是很高的一些計(jì)算方法，可以利用計(jì)算器進(jìn)行手工的計(jì)算，還可以在不同情況下，把它們分成相等的部分，來(lái)計(jì)算出誤差是多少。而對(duì)于精度要求比較高的過(guò)程設(shè)計(jì)計(jì)算來(lái)說(shuō)，首先要做的就是把要進(jìn)行使用的數(shù)學(xué)模型來(lái)編程，把其中積分區(qū)間的各個(gè)部分分得細(xì)一點(diǎn)。然后,再通過(guò)計(jì)算機(jī)對(duì)其中的數(shù)值來(lái)進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算。這種方法主要是針對(duì)在計(jì)算機(jī)中因?yàn)楸环e函數(shù)的原函數(shù)，不能使用其初等函數(shù)來(lái)表示積分中的近似計(jì)算可轉(zhuǎn)化為實(shí)質(zhì)的精確計(jì)算。

1定積分換元法的方法

定積分的換元法有很多種，其中在高等數(shù)學(xué)教材中主要運(yùn)用以下定理：

定理1設(shè)f(x)連續(xù)，x=φ(t)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且φ′(t)≠0，則∫f(x)dx在[a,b]上存在，且

G(φ-1(x))+C

定理2若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，那么函數(shù)x=φ(t)滿(mǎn)足下列條件：其一是φ(α)=a，φ(β)=b；其二是φ′(t)在[α，β](或[β，α])上有著連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，而且a≤φ(t)≤b(α≤t≤β)。于是，就有了

這其中定理1證明了只需要等式兩端去對(duì)x求導(dǎo)就行了。定理2也證明了一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，那就是從條件中可以看出,在等號(hào)兩邊的被積函數(shù)都是連續(xù)的，再通過(guò)微積分的基本公式來(lái)進(jìn)行相應(yīng)的證明。

1.1　定積分換元方法1

根據(jù)定理1，可以知道其中有一條關(guān)鍵的就是φ′(t)≠0，為什么說(shuō)它是比較關(guān)鍵的，因?yàn)樵跐M(mǎn)足這個(gè)條件的時(shí)候，其保證了x=φ(t)的單調(diào)性。而這時(shí)函數(shù)x=φ(t)有著反函數(shù)，這樣，才能使不定積分的換元法有效的實(shí)施開(kāi)展。所以，在不定積分換元法的最后要求，對(duì)于代換函數(shù)x=φ(t)需要有其自身的反函數(shù)t=φ-1(x)，不過(guò)，如果要對(duì)定理的條件進(jìn)行專(zhuān)門(mén)研究，也可以用其它條件來(lái)代替，如果φ′(t)≠0，只要能夠保證函數(shù)x=φ(t)有自身的反函數(shù)就可以。

1.2　定積分換元方法2

1.3　微分函數(shù)dx=φ′(t)dt

在求不定積分時(shí)，可以將其看成是一個(gè)一般的微分函數(shù)去計(jì)算，因?yàn)槠浣Y(jié)果都是函數(shù)。實(shí)質(zhì)上沒(méi)有什么特別的意義，不過(guò)，去求定積分時(shí)，因?yàn)樗慕Y(jié)果是數(shù)值，所以dx=φ′(t)dt函數(shù)在實(shí)質(zhì)上就有了一定的意義。其表示的是t軸上對(duì)于t處的一個(gè)增量dt，然后，在經(jīng)過(guò)相應(yīng)的變換后，函數(shù)x也就有了一個(gè)增量dx，其在數(shù)值上等于φ′(t)dt。這就是把dt在x=φ(t)上放大后的倍數(shù)變成了|φ′(t)|的形式。

2定積分換元法的研究

先設(shè)f(x)在[a,b]上是連續(xù)的，以此來(lái)證明

那么就需要去證明，先令t=a+b-x，這樣x=a+b-t，這時(shí)dx=-dt，當(dāng)x=a時(shí)，t=b,x=b時(shí)t=a。于是可以得到

最后得到[1]

可以利用這樣的一個(gè)公式，得到以下結(jié)論；設(shè)f(x)在[a,b]上是連續(xù)的，如果λ+μ≠0,那么令

λf(x)+μf(a+b-x)=g(x)

則可以得到

因?yàn)?/p>

λf(x)+μf(a+b-x)=g(x)

所以可以證明

由

得出

又因?yàn)槠涔溅?μ≠0，所以

在這里比較特別的一點(diǎn)就是，如果要令f(x)+f(a+b-x)=g(x)的話(huà)，那么

這個(gè)定理的主要意義就是當(dāng)f(x)的定積分不太容易求出時(shí)，就可以通過(guò)它的組合式g(x)的定積分來(lái)相應(yīng)的解決。

3定積分換元的應(yīng)用結(jié)果

因?yàn)?/p>

所以

類(lèi)似于這樣的題目[3]，我們一般都考慮使用連續(xù)的分部積分法來(lái)進(jìn)行計(jì)算，讓積分在等式兩邊出現(xiàn)，然后，通過(guò)方程再將其解答出來(lái)，這樣的計(jì)算量是很大的，而你要使用本例子中的方法，那么將會(huì)簡(jiǎn)單的多?？梢哉f(shuō)是一種全新的突破，能夠做到真正的事半功倍。

4積分不等式的主要研究

0

這時(shí)，對(duì)于

這個(gè)積分不等式是不成立的。

0

就會(huì)成立，主要因?yàn)槠渲?/p>

所以由上可得

現(xiàn)在由

得出

所以得出函數(shù)積分不等式

u=xsinx

du=(sinx+xcosx)dx

然后就得出

并使之成立。再去證明第一個(gè)積分不等式的右邊，得出了相應(yīng)的積分不等式

由于一些同類(lèi)的不等式的不等程度和異類(lèi)的不等程度相比小得多，那么現(xiàn)在就以

所以，最后得出兩個(gè)不定式

再求這個(gè)不等式的定積分，得出

綜上所述，將上面的積分不等式再進(jìn)行整理，從而最終得出積分不等式

并使其成立。

5積分不等式的主要計(jì)算實(shí)例

即

其計(jì)算上的誤差

2.084 20-1.304 689=1.037 31

在積分區(qū)間未等分的情況下，積分的誤差是最大的[4]。所以，現(xiàn)在將其進(jìn)行3等分，使

那么對(duì)應(yīng)的

這樣再代入到上式中，可以得出

即得到

當(dāng)積分被等分成3份的時(shí)候，積分的誤差變小了很多，其誤差是

1.753 371 193-1.534 336 015=0.219 035 178

如果想要得到更加精確的數(shù)值，那么就需要進(jìn)行更加細(xì)致的等分[5]。

6定積分換元和積分不等式在工程設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

這個(gè)不等式能夠成立，得出第二步

再由第二步和第三步得出

然后同理得出第四步

將第四步和第三步代入到第二步中，并將u記作x，得出第五步

將其整理得到

是成立的。那么，同樣情況下，我們可以由第一步得出第六步

由第三、第四步得出第七步

這樣，就可以同理，由第一步得出第八步

函數(shù)，由第五步得出第九步函數(shù)

我們運(yùn)用前面的方法，將第九、第八和第七步一起代入到第六步中，在這里要將u記作x來(lái)算。得出了第十步函數(shù)式

使得我們知道

這個(gè)函數(shù)式是成立的。由上面的種種解析，我們知道，當(dāng)積分區(qū)間分布的越細(xì)密，那么，這個(gè)不等式的不相等的可能性越小，等積分的上限x無(wú)限接近與積分的下線b時(shí)，那么，在這過(guò)程中的不同程度上，會(huì)趨向于零[7]。在f(x)=e-x2為偶函數(shù)時(shí)，那么，對(duì)于和原點(diǎn)區(qū)間對(duì)稱(chēng)的定積分，則可以利用其偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的簡(jiǎn)化計(jì)算。

7主要探究實(shí)例

在積分中的區(qū)間未分開(kāi)去算的話(huà)，積分的誤差是最大的[5]。我們應(yīng)該將積分分成4個(gè)相同的區(qū)間。現(xiàn)在是沒(méi)有分開(kāi)的積分u=x2,當(dāng)x=0.6時(shí)，u=0.36,當(dāng)x=0.7時(shí),u=0.49,當(dāng)x=0.8時(shí),u=0.64，當(dāng)x=0.9時(shí),u=0.81，當(dāng)x=1時(shí)，u也等于1。這樣分別代入到積分不等式中，得出的計(jì)算結(jié)果是

0.048 471 539+0.040 497 119=

0.211 293 009

0.048 635 627+0.040 574 018=

0.212 345 798

0.212 345 798-0.211 293 900 9=0.001 052 798

可以看出，其誤差比計(jì)算誤差還要小。這就是對(duì)于積分區(qū)間在細(xì)分區(qū)間上的好處，如果想要更加的精確，那么就需要把積分區(qū)間分的更加詳細(xì)。這樣就會(huì)達(dá)到越詳細(xì)、越精確的效果。

8結(jié)語(yǔ)

在當(dāng)前工程技術(shù)發(fā)展中，我們?cè)诶每茖W(xué)技術(shù)進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算的同時(shí)，也在不斷尋求更好的方法,使得在工程設(shè)計(jì)計(jì)算中的各項(xiàng)工作能夠做到精確度的不斷提升。在運(yùn)用定積分換元和積分不等式，對(duì)工程設(shè)計(jì)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)一些計(jì)算上或者是技術(shù)上的差錯(cuò)，這些都需要我們?nèi)ミM(jìn)行不斷的論證和探究，在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，采用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，然后，利用積分不等式以及定積分換元法細(xì)分區(qū)間的方法[7]，能夠方便在工程設(shè)計(jì)中出現(xiàn)，許多的因?yàn)楸环e函數(shù)不是初等函數(shù)的積分近似計(jì)算轉(zhuǎn)化為實(shí)質(zhì)上的運(yùn)算。利用這樣的方法，經(jīng)過(guò)相關(guān)的研究和運(yùn)算，整理出了一套函數(shù)的積分近似的計(jì)算公式，在為計(jì)算機(jī)編程的工作中，也作出了相當(dāng)大的貢獻(xiàn)，為其在編程上提供了兩個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型。這兩個(gè)模型使計(jì)算機(jī)在編程上更加方便，也大大提升了其工程設(shè)計(jì)的計(jì)算精度。

參考文獻(xiàn)：

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Application of definite integral element and integral inequality

WANG Hai-zhou

(Silicon Lake College, Kunshan 215332, China)

Abstract：Based on the examples of definite integral element and integral inequality applied in engineering, we put forward an approximate figure of function integral, to offer a set of mathematical model for programming.

Key words：definite integral； integral infinitive； engineering design.

作者簡(jiǎn)介：王海舟(1982-)，男，漢族，江蘇海安人，硅湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，主要從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)與應(yīng)用方向研究,E-mail:40317414@qq.com.

收稿日期：2014-09-23

中圖分類(lèi)號(hào)：O 172.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-1374(2015)01-0114-07

DOI:10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2015.1.24