覃云飛 韋金亮

【摘 要】運(yùn)用運(yùn)動生物力學(xué)的原理，搭建了影響籃球投籃命中因素間的關(guān)系模型，并利用函數(shù)理論與微分學(xué)原理具體分析了各因素間的關(guān)系。為提高籃球投籃的命中率提供理論基礎(chǔ)，以期為籃球教練員（教師）、運(yùn)動員、以及廣大籃球愛好者提高投籃命中率提供建設(shè)性的意見。

【關(guān)鍵詞】投籃 ?模型 ?因素 ?分析

【中圖分類號】G ?【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）12C-0168-03

投籃是持球隊(duì)員將球投入籃圈所采用的各種動作的總稱。在籃球競賽中，投籃是比賽的唯一得分手段，籃球運(yùn)動所有進(jìn)攻的技、戰(zhàn)術(shù)，最終都是為投籃服務(wù)。影響投籃命中的因素很多，例如出手點(diǎn)與籃圈的水平、垂直距離、出手時(shí)間、出手速度、出手角度等。筆者在查閱相關(guān)文獻(xiàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，前人主要研究了籃球出手速度與出手角度兩者之間的關(guān)系，而影響投籃命中的因素除了以上兩者之外還有很多。同時(shí)，籃球的出手速度是運(yùn)動員對籃球的作用力產(chǎn)生的結(jié)果。運(yùn)動員對籃球的作用力與出手時(shí)間共同決定著籃球的出手速度有多大。因此可推斷籃球的出手速度與運(yùn)動員投籃所給籃球的作用力有直接的關(guān)系，與運(yùn)動員有間接的關(guān)系，然而運(yùn)動員與對籃球的作用力之間又有直接的關(guān)系。不管是直接或者間接的關(guān)系，讓運(yùn)動員控制自己的發(fā)力大小與出手快慢比控制對籃球受力后籃球所獲得的速度大小容易很多。因此，在分析影響投籃命中率的因素過程中，用運(yùn)動員對籃球的發(fā)力與出手時(shí)間代替籃球的出手速度。本文將嘗試對投籃建立模型并對影響投籃命中因素之間的關(guān)系進(jìn)行分析。

一、模型的建立

圖1

以出手點(diǎn)為原點(diǎn)，平行、垂直于水平面的直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系（如圖1）。出手點(diǎn)高度記為l1，籃框與出手點(diǎn)的垂直距離記為l3，籃框與出手點(diǎn)的水平距離記為l2，出手時(shí)間記為t0。由于出手時(shí)間較短，所以我們認(rèn)為投籃者給予籃球的力是均勻的，且記為F，籃球重為m，出手角度為，重力加速度為g，A點(diǎn)坐標(biāo)為（l3，l2），B點(diǎn)坐標(biāo)為（l3，2l2），線段OA，OB與x軸正半軸的夾角分別記為，。

相對而言阻力的作用較小，所以我們默認(rèn)為沒有阻力作用。

所有的分析都是基于以下兩個(gè)假設(shè)：1.假設(shè)投籃命中;2.在每個(gè)分析中除了所分析的兩個(gè)因素外其他因素都是固定不變的。

籃球從投籃者手中脫離之后到再次受到外力作用（如觸碰籃板、碰地）之前的運(yùn)動軌跡方程為

①

如果運(yùn)動員想投籃命中，那么他必須讓籃球經(jīng)過點(diǎn)A，即存在某時(shí)刻T使得

②

根據(jù)①我們可以得到籃球在t時(shí)刻的速度方程為

③

設(shè)為t時(shí)刻籃球的運(yùn)動方向，那么由③我們可以推出

④

由①可知從籃球離手時(shí)刻到t時(shí)刻籃球的重力勢能變化量為

⑤

假設(shè)籃球離手后經(jīng)過t1時(shí)間到達(dá)最高點(diǎn)，那么t1滿足

⑥

同時(shí)，我們可以得到t1時(shí)刻投出去的籃球的重力勢能與動能分別為

⑦

⑧

二、分析模型

分析1：運(yùn)動員投籃命中關(guān)于出手角度的必要條件

由②與④可知籃球入圈瞬間的入射角度必滿足

由于籃球規(guī)則中規(guī)定投籃命中必須是從籃圈上方進(jìn)入籃圈而不可從下方進(jìn)入籃圈，所以籃球入籃圈時(shí)刻一定是在籃球下落過程中的某一時(shí)刻。而下落過程中任意時(shí)刻t0的運(yùn)動方向必須滿足，所以有。從而我們可以得到要想投籃命中出手角度必須滿足：

⑨

結(jié)論1：條件⑨告訴運(yùn)動員：1.出手角度的大小取決于出手點(diǎn)與籃圈的水平、垂直距離l2，l3;2.出手角度需大于，即運(yùn)動員發(fā)力方向應(yīng)該指向OB的左上方（見圖1）。

根據(jù)以上分析，我們得到是投籃命中的必要條件，所以在以下的分析中我們總是假設(shè) ?。

分析2：運(yùn)動員發(fā)力的大小與出手時(shí)間長短之間的關(guān)系

由②消去T可得

因?yàn)間，l3，m，t0都是大于0的常數(shù)，及，所以得到

由上面兩式很顯然可以得到，運(yùn)動員所需發(fā)力F會隨著出手時(shí)間t0的增長而減小，隨著出手時(shí)間t0的縮短而增大。這告訴我們在籃球運(yùn)動中某些過程也是遵守物理學(xué)中的動量守恒定律的。

結(jié)論2：籃球投籃的出手速度和發(fā)力大小呈反比的關(guān)系，對于出手比較快的運(yùn)動員來說，他們要想投籃命中，就必須比出手慢的運(yùn)動員發(fā)力大一些;同樣，出手比較慢的運(yùn)動員要想投籃命中，與出手快的運(yùn)動員相比，他們需發(fā)力小一點(diǎn)。

分析3：運(yùn)動員發(fā)力的大小與出手角度大小之間的關(guān)系

根據(jù)能量守恒定律得到

結(jié)合⑥式可以得到

從上式我們可以看出F在區(qū)間（00，900），關(guān)于出手角度是遞增的，所以運(yùn)動員投籃時(shí)出手角度越小越省力。然而在分析1中知道運(yùn)動員要想投籃命中出手角度必須滿足。因此運(yùn)動員投籃時(shí)在保證出手角度的情況下越小越省力。

結(jié)論3：投籃時(shí)發(fā)力方向指向OB的左上方并與OB所構(gòu)成的角度越小，越省力;只存在盡可能省力出手角度，而不存在最省力出手角度。

分析4：運(yùn)動員所需發(fā)力和出手點(diǎn)與籃圈垂直距離l2之間的關(guān)系

由②式得到

⑩

對⑩式關(guān)于l2求微分得到，

所以F'﹥0，由此我們可以推出，F(xiàn)是一個(gè)關(guān)于l2是遞增的函數(shù)，因而運(yùn)動員所需發(fā)力F的大小隨著出手點(diǎn)與籃圈的水平距離l2的增大而增大，減小而減小。

結(jié)論4：運(yùn)動員投籃的出手點(diǎn)和發(fā)力大小呈反比關(guān)系。當(dāng)運(yùn)動員的出手點(diǎn)比較低時(shí)，在相對的范圍內(nèi)需要發(fā)較大的力;當(dāng)運(yùn)動員提高出手點(diǎn)時(shí)，由于慣性作用，其可以發(fā)小一點(diǎn)的力。

分析5：運(yùn)動員所需發(fā)力F的大小與出手點(diǎn)與籃圈的水平距離l3大小之間的關(guān)系

對⑩式關(guān)于l3求微分，有

因?yàn)檫\(yùn)動員的投籃都是以命中為目的，所以根據(jù)分析1可要求。由上式及可知，F(xiàn)'﹥0。因?yàn)镕'﹥0，所以F是一個(gè)關(guān)于l3是遞增的函數(shù)。因此，當(dāng)時(shí)，運(yùn)動員所需發(fā)力F的大小隨著出手點(diǎn)與籃圈的垂直距離l3的增大而增大，減小而減小。

結(jié)論5：當(dāng)運(yùn)動員距離籃圈比較遠(yuǎn)時(shí)，該模型要求其投籃需要發(fā)較大的力以滿足提高命中率的要求;當(dāng)運(yùn)動員投籃位置縮短與籃圈的距離時(shí)，F(xiàn)值應(yīng)相對減小來符合該模型的要求。

分析6：出手角度和出手點(diǎn)與籃圈水平距離、垂直距離之間的關(guān)系

由②式可得，

（上接第169頁）

由上式可以推出，出手角度關(guān)于l2是遞增的，關(guān)于l3是遞減的。

結(jié)論6：當(dāng)出手點(diǎn)降低時(shí)，出手角度應(yīng)該增大;當(dāng)出手點(diǎn)增高時(shí)，出手角度應(yīng)該減小;當(dāng)運(yùn)動員與籃圈的距離增大時(shí)，出手角度應(yīng)該減小;當(dāng)運(yùn)動員與籃圈的距離縮短時(shí)，出手角度應(yīng)該增大。

分析7：從球出手到球進(jìn)圈所用時(shí)間與出手角度之間的關(guān)系

根據(jù)②式我們可以得到以下式子

由上式我們可以知道：T關(guān)于是遞增的。

結(jié)論7：如果在比賽中想增加回合數(shù)（這種情況在NBA最后追分時(shí)候會經(jīng)常發(fā)生），那么我們在保證能投籃命中的情況下可以試著盡量減小出手角度以縮短T以便達(dá)到增加回合數(shù)的目的。

籃球運(yùn)動的核心在于將球命中籃筐。本文從運(yùn)動生物力學(xué)和函數(shù)理論以及微分學(xué)原理出發(fā)，構(gòu)建了影響籃球命中因素的模型并予以分析，每個(gè)分析與結(jié)論在理論層面均能對教授籃球或者學(xué)習(xí)籃球投籃的人給予一定的幫助。期望在動態(tài)的籃球投籃過程中，結(jié)合靜態(tài)的模型并將各個(gè)值向模型修正靠攏，最終達(dá)到提高投籃命中率的目的。

【參考文獻(xiàn)】

[1]孫民治.體育學(xué)院專修教材·籃球運(yùn)動高級教程[M].北京：人民體育出版社，2000

【作者簡介】覃云飛（1982- ），男，廣西來賓人，壯族，廣西體育高等?？茖W(xué)校講師，碩士，研究方向：體育教育訓(xùn)練學(xué)。

（責(zé)編 丁 夢）