應(yīng)明峰，莫曉暉，姜 勁

(金陵科技學(xué)院 a.機(jī)電工程學(xué)院；b.計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，南京 211169)

機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)靈活性評(píng)價(jià)方法*

應(yīng)明峰a，莫曉暉b，姜 勁a

(金陵科技學(xué)院 a.機(jī)電工程學(xué)院；b.計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，南京 211169)

以一種工業(yè)機(jī)器人為研究對(duì)象，在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ)上，分析其全域運(yùn)動(dòng)性能平均指標(biāo)、全域運(yùn)動(dòng)性能波動(dòng)指標(biāo)、全域運(yùn)動(dòng)性能最差指標(biāo)，并針對(duì)這3項(xiàng)性能指標(biāo)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。將機(jī)器人桿長(zhǎng)參數(shù)作為機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)變量，根據(jù)機(jī)器人的工作空間及運(yùn)動(dòng)學(xué)靈活性要求建立多目標(biāo)優(yōu)化模型。設(shè)計(jì)一種改進(jìn)的多目標(biāo)粒子群算法，引入Pareto分布熵及其差熵估計(jì)種群的多樣性及進(jìn)化狀態(tài)，以此為反饋信息來(lái)設(shè)計(jì)進(jìn)化策略。進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，最終得到一組最優(yōu)解。采用優(yōu)化后的機(jī)器人機(jī)構(gòu)參數(shù)可以使機(jī)器人運(yùn)動(dòng)靈活性能有較大提高。

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)；性能指標(biāo)；Pareto 熵；多目標(biāo)粒子群優(yōu)化

0 引言

機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)是一個(gè)困難而復(fù)雜的問(wèn)題，往往需要依賴性能指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的好壞，因此在設(shè)計(jì)過(guò)程中不可避免地要考慮選取合適的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)[1]。在機(jī)器人性能指標(biāo)的研究上，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者做了大量的研究工作，并取得了許多成果。YOSHIKAWA[2]定義了機(jī)器人的可操作度，并利用可操作度橢球?qū)ζ鋷缀我饬x進(jìn)行了闡述。SALISBURY等[3]提出了條件數(shù)，并將其用于機(jī)器手指的工作空間進(jìn)行評(píng)價(jià)。

但是由于雅可比矩陣依賴于機(jī)器人具體的位姿，因此基于雅可矩陣的條件數(shù)指標(biāo)、可操作度指標(biāo)都只是一個(gè)局部指標(biāo)，它們的優(yōu)化往往具有局限性。如果能夠?qū)C(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)多個(gè)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)之間進(jìn)行耦合及制約問(wèn)題加以研究，進(jìn)而將其運(yùn)動(dòng)學(xué)性能進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，這對(duì)所設(shè)計(jì)的機(jī)器人機(jī)構(gòu)性能的評(píng)價(jià)具有重要意義。一些學(xué)者已經(jīng)在機(jī)構(gòu)多指標(biāo)優(yōu)化評(píng)價(jià)問(wèn)題上做了相關(guān)研究工作。Zhang Lufan[4]采用改進(jìn)的多目標(biāo)遺傳算法優(yōu)化了宏微觀運(yùn)動(dòng)平臺(tái)連接機(jī)構(gòu)的總質(zhì)量、關(guān)鍵點(diǎn)最小變形以及第1階固有頻率。Zhang Dan[5]引入了粒子群優(yōu)化算法對(duì)土撥鼠機(jī)器人的剛度和工作空間進(jìn)行了優(yōu)化。

粒子群算法使近年發(fā)展起來(lái)的一種新的進(jìn)化算法，具有形式簡(jiǎn)潔、收斂快速和參數(shù)調(diào)節(jié)機(jī)制靈活等優(yōu)點(diǎn)，并且一次運(yùn)行可得到多個(gè)解，因而被認(rèn)為是求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題最具潛力的方法之一。本文采用改進(jìn)的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化方法進(jìn)行一種焊接機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能多目標(biāo)優(yōu)化與評(píng)價(jià)。通過(guò)對(duì)機(jī)器人的機(jī)構(gòu)分析，建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)性能的多目標(biāo)優(yōu)化模型。以機(jī)器人運(yùn)動(dòng)靈活性能指標(biāo)條件數(shù)的全域運(yùn)動(dòng)平均性能、全域運(yùn)動(dòng)波動(dòng)性能、全域運(yùn)動(dòng)最差性能3個(gè)指標(biāo)為優(yōu)化目標(biāo)，以機(jī)器人的機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)參數(shù)為優(yōu)化變量進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，比較機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)參數(shù)的變化對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)靈活性能的影響，最后獲得較好的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)值。

1 機(jī)器人性能優(yōu)化問(wèn)題描述

1.1 機(jī)器人模型的建立

圖1為六自由度焊接機(jī)器人模型示意圖，由6個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副構(gòu)成，該機(jī)器人是一種典型的串聯(lián)機(jī)器人。由于它的靈活性，可以廣泛應(yīng)用于弧焊、涂膠、切割、噴漆等多種領(lǐng)域。

圖1 機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

按照D-H標(biāo)準(zhǔn)建立坐標(biāo)系，可得出該機(jī)器人的D-H 參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 機(jī)器人的D-H連桿參數(shù)

為了分析機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)，根據(jù)機(jī)構(gòu)影響系數(shù)法[6]建立一階影響系數(shù)矩陣。Si表示連桿i軸線方向的單位矢量，Ri表示坐標(biāo)系i與固定坐標(biāo)系兩原點(diǎn)之間的距離，(P-Ri)表示連桿i對(duì)研究點(diǎn)P的矢徑，則機(jī)器人一階影響系數(shù)雅可比矩陣J為：

(1)

1.2 優(yōu)化指標(biāo)

雅可比矩陣的條件數(shù)[3]代表了雅可比轉(zhuǎn)換矩陣向各個(gè)方向的變化均一性，在機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和對(duì)機(jī)器人進(jìn)行控制時(shí)，需使雅可比矩陣盡量各向同性，即盡量“均勻”，就是要控制雅可比矩陣的條件數(shù)盡量接近1。但是該指標(biāo)只是用于表示機(jī)器人的局部的一個(gè)性能值，并不能反映機(jī)器人在工作空間的整體性能指標(biāo)，為此Gosselin等定義了一個(gè)新指標(biāo)η[7]：

(2)

η是一個(gè)全域性能指標(biāo)，它等于機(jī)器人工作空間w內(nèi)所有觀測(cè)點(diǎn)的局部指標(biāo)條件數(shù)k倒數(shù)的平均值。為了考慮到機(jī)器人在工作空間內(nèi)性能指標(biāo)的變化，石志新等[8]在η的基礎(chǔ)上又提出了全域性能波動(dòng)指標(biāo)σ：

(3)

η和σ兩個(gè)指標(biāo)是對(duì)機(jī)器人整個(gè)工作空間內(nèi)的靈活性進(jìn)行評(píng)價(jià)，可用于機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中工作空間綜合問(wèn)題的求解，以及在機(jī)器人工作過(guò)程中，機(jī)器人與工件對(duì)象之間的相對(duì)最優(yōu)位姿求解。

以上兩個(gè)指標(biāo)都可以對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)靈活性進(jìn)行量化描述，從而給機(jī)器人機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了重要的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則。但是由于實(shí)際工程問(wèn)題的復(fù)雜性和多樣性，這些靈活性指標(biāo)之間是相互關(guān)聯(lián)影響的。除了考慮機(jī)器人運(yùn)動(dòng)性能的要求以外，還要強(qiáng)調(diào)其綜合運(yùn)動(dòng)靈活性能的優(yōu)劣。特別是對(duì)于一個(gè)具體任務(wù)構(gòu)成的空間，使機(jī)器人以一定位姿處于工作空間內(nèi)的某一位置時(shí)，如果想知道機(jī)器人對(duì)于這個(gè)具體任務(wù)能否完成，或者完成時(shí)執(zhí)行質(zhì)量如何，除了考察在此任務(wù)空間上機(jī)器人運(yùn)動(dòng)靈活性的整體情況以外，還需要考慮最差情況。因?yàn)樵谧畈钋闆r下機(jī)器人如果不能完成任務(wù)或完成的質(zhì)量差，都會(huì)影響整個(gè)任務(wù)完成質(zhì)量，僅憑η和σ兩個(gè)指標(biāo)來(lái)衡量時(shí)，只能知道工作空間中運(yùn)動(dòng)靈活性總體狀況和波動(dòng)情況，因此考慮增加一個(gè)描述最差靈活性情況的指標(biāo)δ：

δ=η-kmin

(4)

它由表示整體靈活性的指標(biāo)η與觀測(cè)點(diǎn)中條件數(shù)最小值kmin的差來(lái)評(píng)價(jià)，δ越小，說(shuō)明在任務(wù)空間上靈活性變化幅度越小。

1.3 數(shù)學(xué)描述

研究的目的是在考慮機(jī)器人的設(shè)計(jì)要求基礎(chǔ)上，找到最優(yōu)的機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)，使該機(jī)器人工作時(shí)發(fā)揮最優(yōu)的運(yùn)動(dòng)性能。在設(shè)計(jì)要求的基礎(chǔ)上綜合考慮機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)性能的變化，將需優(yōu)化的變量機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)進(jìn)行條件約束，以確保機(jī)器人整體尺寸在一定范圍內(nèi)變化，不超出設(shè)計(jì)要求。

采用目標(biāo)函數(shù)的最小方向?qū)?yōu)，對(duì)三個(gè)指標(biāo)η、σ與δ進(jìn)行變化后分別建立目標(biāo)函數(shù)f1、f2、f3進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，最終找到機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)l1和l2一些最優(yōu)的組合。

該優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)表示如下：

minf1(l1,l2)

minf2(l1,l2)

minf3(l1,l2)

(5)

s.t.100mm≤l1≤700mm

100mm≤l2≤400mm

(6)

2 工程實(shí)例分析

2.1 優(yōu)化算法

很多工程問(wèn)題都可以歸結(jié)為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，其求解方法一直都是學(xué)術(shù)界和工程界共同關(guān)注的焦點(diǎn)。多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題通常存在多個(gè)彼此沖突的目標(biāo)，其優(yōu)化結(jié)果為Pareto 最優(yōu)解集[9]。與數(shù)學(xué)規(guī)劃方法相比，進(jìn)化算法因一次運(yùn)行可得到多個(gè)解，且能逼近非凸或不連續(xù)的Pareto 最優(yōu)前端，從而被認(rèn)為是更適合求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的智能方法。

粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization,簡(jiǎn)稱PSO)[10]是由Kennedy和Eberhart在1995年提出的仿生算法，它是受到飛鳥(niǎo)集群活動(dòng)規(guī)律的啟發(fā)，根據(jù)社會(huì)學(xué)和心理學(xué)而建立的群體智能模型。

熵在熱力學(xué)中表示系統(tǒng)混亂狀態(tài)[11]，而在生態(tài)學(xué)中表示生物的多樣性，它可以來(lái)度量近似Pareto前端的分布均勻性，從而體現(xiàn)出進(jìn)化算法中種群的多樣特性。具體可以通過(guò)對(duì)目標(biāo)空間變換來(lái)獲得Pareto前端的熵，先對(duì)優(yōu)化算法中種群的多樣性進(jìn)行度量，對(duì)于Pareto前端在相鄰迭代時(shí)刻的熵的變化大小，用差熵來(lái)表示，以此來(lái)估計(jì)種群的進(jìn)化狀態(tài)，從而得到實(shí)時(shí)的進(jìn)化環(huán)境反饋信息。同時(shí)，在變換后的目標(biāo)空間中為了評(píng)估Pareto最優(yōu)解，使其能夠逼近真實(shí)的Pareto綜合程度，采用了個(gè)體格距離密度和格占優(yōu)強(qiáng)度為算法中外部檔案更新和全局最優(yōu)解選擇提供決策依據(jù)。

為了解決機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中的性能優(yōu)化問(wèn)題，采用了一種基于Pareto熵的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法，流程圖如圖2所示。

圖2 算法流程圖

其算法流程如下：

輸入：具有M個(gè)目標(biāo)的待優(yōu)化問(wèn)題MOP，具有D個(gè)決策變量的搜索空間SD；

初始化參數(shù)：最大外部檔案容量F，種群粒子個(gè)數(shù)PN，最大迭代次數(shù)T_max；

輸出：存儲(chǔ)在外部檔案中的近似Pareto最優(yōu)解集G_pa。

步驟1：初始化：產(chǎn)生初始化種群P，令迭代計(jì)數(shù)器n=0，在搜索空間SD中按均勻分布隨機(jī)生成PN個(gè)粒子，計(jì)算每個(gè)粒子的M個(gè)目標(biāo)函數(shù)值，初始化每個(gè)粒子的外部檔案Pa，更新G_pa；

步驟2：更新迭代的計(jì)數(shù)器：t=t+1；

步驟3：評(píng)估其進(jìn)化的環(huán)境：計(jì)算G_pa的Pareto熵和差熵，評(píng)估種群進(jìn)化狀態(tài)Status，計(jì)算G_pa中每個(gè)Pareto最優(yōu)解的個(gè)體格距離密度和個(gè)體格占優(yōu)強(qiáng)度；

步驟4：自適應(yīng)調(diào)節(jié)粒子運(yùn)動(dòng)參數(shù),計(jì)算當(dāng)前粒子運(yùn)動(dòng)參數(shù)；

步驟5：更新種群：選擇粒子i的全局最優(yōu)解

gBest(i),從Pa(i) 中選擇一個(gè)與gBest(i)空間距離最近的成員作為粒子i的個(gè)體最優(yōu)解pBest(i)，更新粒子i的速度和位置，評(píng)估粒子i的M個(gè)目標(biāo)函數(shù)值，更新粒子i的個(gè)體外部檔案Pa(i)，更新全局外部檔案G_pa；

步驟6：檢測(cè)算法終止條件：如果n>T_max，則輸出G_pa;否則，跳轉(zhuǎn)步驟(2)。

2.2 優(yōu)化結(jié)果及分析

根據(jù)焊接機(jī)器人的工作空間及運(yùn)動(dòng)學(xué)性能要求，設(shè)定機(jī)器人初始機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)l1=200mm，l2=150mm，將表1中其他連桿參數(shù)取值a1=260mm,a3=35mm，d1=675mm,d6=115mm。此時(shí)，計(jì)算所得的機(jī)器人3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值分別為：f1=56.8532，f2=80.2851，f3=233.2060。

接著根據(jù)輸入變量、優(yōu)化的目標(biāo)以及約束條件，編寫MATLAB優(yōu)化函數(shù)，設(shè)定粒子群算法參數(shù)，種群大小設(shè)為N=500，最大外部檔案容量F=500，最大迭代次數(shù)T_max=400。算法運(yùn)行后得到優(yōu)化結(jié)果，以l1作為x軸，l2作為y軸，繪制出各個(gè)性能指標(biāo)隨l1、l2變化的等高線分布圖3。

(a)指標(biāo)1等高線分布圖

(b)指標(biāo)2等高線分布圖

(c)指標(biāo)3等高線分布圖圖3 三個(gè)優(yōu)化指標(biāo)的等高線分布圖

由圖3中可以看出，三個(gè)指標(biāo)隨著機(jī)器人機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)的優(yōu)劣變化趨勢(shì)是不同的，如果僅僅追求某一個(gè)性能指標(biāo)的最優(yōu)，可能會(huì)影響到其他指標(biāo)的性能，因此只能找尋一些具有較好綜合性能的桿長(zhǎng)組合。根據(jù)Pareto效率從最后優(yōu)化的解集中取10組Pareto最優(yōu)解，如表2所示。

表2 機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

將優(yōu)化的結(jié)果與初始數(shù)值進(jìn)行比較，做出散點(diǎn)圖，如圖4所示。

(a)全域性能均值比較圖

(b)全域性能波動(dòng)值比較圖

(c)全域性能最差值比較圖圖4 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比圖

經(jīng)過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化計(jì)算后獲得的10組解可以使機(jī)器人運(yùn)動(dòng)性能指標(biāo)條件數(shù)的全域性能平均值優(yōu)化45.10%～53.57%，全域性能波動(dòng)值優(yōu)化61.51%～65.46%，全域性能最差值優(yōu)化64.23%～75.70%。比較分析后，最終選擇l1=440.2mm，l2=299.1mm作為機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)值。采用此種組合機(jī)構(gòu)構(gòu)型的機(jī)器人性能指標(biāo)條件數(shù)的全域運(yùn)動(dòng)性能平均值可以優(yōu)化 50.68%，全域運(yùn)動(dòng)性能波動(dòng)值優(yōu)化65.32%，全域運(yùn)動(dòng)性能最差值優(yōu)化71.05%。算法的運(yùn)算時(shí)間約300s，運(yùn)算效率有很大提高。

3 結(jié)論

通過(guò)對(duì)一種串聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能評(píng)價(jià)分析，得到了機(jī)器人性能的多目標(biāo)優(yōu)化模型。將機(jī)器人運(yùn)動(dòng)靈活性指標(biāo)條件數(shù)的全域平均性能指標(biāo)、全域波動(dòng)性能指標(biāo)、全域最差靈活性指標(biāo)作為三個(gè)優(yōu)化目標(biāo)。利用多目標(biāo)粒子群算法，引入Pareto效率對(duì)它們進(jìn)行優(yōu)化。將優(yōu)化后的Pareto第一前端最優(yōu)解集進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，最終經(jīng)優(yōu)化計(jì)算得到了較好的機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)參數(shù)組合，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人的機(jī)構(gòu)優(yōu)化，使機(jī)器人運(yùn)動(dòng)靈活性能有了較大提高。

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(編輯 李秀敏)

Assessment of Kinematic Flexibility on Robotic Mechanism Design

YING Ming-fenga，MO Xiao-huib，JIANG Jina

(a.School of Electrical Engineering;b. School of Computer Science and Technology, Jinling Institute of Technology, Nanjing 210016, China)

Based on the kinematics of an industrial robot, the three indices, including global kinematic average value, global kinematic volatility, global kinematic worst value are analyzed and optimized by multi-objective optimization algorithm. The link length parameters of robot are design as the variable, and the multi-objective optimization model is established by the requirements of the robot workspace and kinematics. An improved multi-objective particle swarm optimization (pso) algorithm is designed by using the distribution entropy and its difference of an approximate Pareto front to assess the diversity and evolutionary status of the population, and getting feedback information to design evolution strategy. Finally, a group of optimum link length is calculated by using this method. The optimized link length parameters of robot can improve the performance index of the robot greatly.

robot kinematics; performance index; Pareto entropy; multi-objective particle swarm optimization

1001-2265(2016)12-0157-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.12.042

2016-02-23

江蘇省高校自然科學(xué)基金(14KJD510003)；國(guó)家自然科學(xué)基金(61540068)

應(yīng)明峰(1979—)，男，南京人，金陵科技學(xué)院副教授，研究方向?yàn)闄C(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制與優(yōu)化，(E-mail)ymf990@jit.edu.cn。

TH166;TG659

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