一類特殊球面螺旋線弧長的求解＊

嚴李健，龐珊珊，牟金平，林炯毅

（臺州學院 數(shù)學與信息工程學院，浙江 臨海 317000）

一類特殊球面螺旋線弧長的求解＊

嚴李健，龐珊珊，牟金平＊，林炯毅

（臺州學院 數(shù)學與信息工程學院，浙江 臨海 317000）

根據(jù)微分幾何基本理論，定義出一類特殊的球面螺旋線，針對該球面螺旋線弧長不可積的問題進行探討與研究，證明了這類對于給定參數(shù)的球面螺旋線弧長存在上下界. 通過引入第二類橢圓積分基本理論并結合微機計算的方法，提供了一種近似求解球面螺旋線弧長的公式.

球面螺旋線；第二類橢圓積分；Matlab求解

球面螺旋線是空間中一種形態(tài)優(yōu)美的曲線，其幾何性質在機械工程［1］、電子科學與技術［2］、化學工程與技術［3］和工藝品生產(chǎn)加工［4］等方面都有著廣泛的應用.目前，人們對一般螺旋線的研究已相當?shù)某墒?然而，球作為最美的幾何體之一，針對球面螺旋線的研究卻是少之又少，尤其球面螺旋線上的曲線段是不能用弧長公式來直接求解的，這給球面螺旋線的深入研究帶來很大的不便.為此，本文根據(jù)微分幾何基本理論，定義了一類特殊的球面螺旋線，并對其弧長的求解方法進行研究，得出了一般性的結論.

1 符號與概念的介紹

設球面的參數(shù)方程為［5］

其中R是球面半徑.

為了便于討論，本文定義一類特殊形式的球面螺旋線.設θ=2mφ，其中m為球面螺旋線的旋轉圈數(shù)，可得關于參數(shù)φ的球面螺旋線方程為

事實上，球面螺旋線的弧長是不易求解的.因此，對該類特殊球面螺旋線弧長求解的研究就顯得十分重要了.為此，利用第二類橢圓積分的基本理論，本文將通過對球面螺旋線的弧長用分段擬合的方式進行求解.

2 第二類橢圓積分基本理論

歷史上，橢圓積分來自于求橢圓的弧長［6］. 第二類橢圓積分的標準形式為

其中k為橢圓的離心率，0

通常，稱（2.1）式為第二類不完全橢圓積分，其原函數(shù)無法用初等函數(shù)的形式表達，但可以展開為無窮級數(shù).將（2.1）式的被積函數(shù)按二項式定理展開，并逐項積分可得：

3 基于第二類橢圓積分的球面螺旋線弧長的求解

進行初等變換［8］，令（3.1）式中的，得

當θ=m時，有

文獻［9］給出了橢圓周長的公式為

其中a為橢圓的長半軸，e為橢圓的離心率.通過比較（3.3）式與（3.4）式，我們可以得到以下命題:命題1 球面螺旋線弧長的問題可以轉換為求橢圓的弧長問題.

由（2.2）式和（3.3）式，得

經(jīng)過上面的推導，可以將球面螺旋線的曲線長表示為冪級數(shù)的形式.這是一個準確的球面螺旋線的弧長公式，但實際計算時不易求解.因此，求球面螺旋線的弧長可以通過微機進行求解.

4 球面螺旋線弧長的近似計算公式

通過以上斂散性的判別，容易得出球面螺旋線的弧長s（π）存在且唯一.為了界定s（π）的值，我們首先給出如下結論.

定理1 對于（1.1）式類型的球面螺旋線，只要給定參數(shù)m和R，就有

證明：

令（4.2）式中的t=2m，化簡得

得證.

命題2 球面螺旋線弧長的表達式為

其中α、β為待定的參數(shù).

要確定參數(shù)α、β的值，根據(jù)最小二乘原理，使誤差的平方和達到最小，定義每一項估計值的誤差為δm=Sm-sm（m=1，2，……，p，p∈N+），即

其中Sm表示（3.5）式中，螺旋圈數(shù)為m時，s（π）的值；sm表示（4.3）式中，螺旋圈數(shù)為m時，S的值.

運用MATLAB編程可得，到當p取不同正整數(shù)時，各參數(shù)所對應的值如表1所示.

表格1 不同螺旋圈數(shù)下各參數(shù)的值

從表格中我們可以發(fā)現(xiàn)，當螺旋圈數(shù)較低時，即當P≤10時，可以用公式來近似計算.

圖1 球面半徑R=1時，球面螺旋曲線長與旋轉圈數(shù)之間的關系

當螺旋的圈數(shù)較高時，即p＞10時，橢圓的離心率趨向于1，且變化很小，為此得到一個較高螺旋下弧長的近似計算公式.

分析可得，

綜合比較（4.4）式與（4.5）式，得球面螺旋線（1.1）式的近似求解公式為

5 結束語

本文根據(jù)微分幾何的基本理論，對一類特殊的球面螺旋線弧長問題進行了研究，證明了對于給定參數(shù)的球面螺旋線的弧長存在上下界，并給出了其近似求解的公式.

作為一種形態(tài)規(guī)則、變化均勻的曲線，球面螺旋線還有許多其他的問題值得探討，如對其它球面螺旋線的弧長進行求解時，可以通過分段擬合的方式進行精確計算，以此得到進一步的結果，而這將是下一步的研究內(nèi)容.

［1］武斌功.球面螺旋天線的CAD/CAM一體化技術［J］.中國機械工程，2003，14（18）:1548-1550.

［2］夏冬玉，張厚，耿方志，等.寬帶圓極化球面螺旋天線研究［J］.空軍工程大學學報·自然科學版，2007（2）:60-62.

［3］王汝林.球面螺旋線盤梯的設計計算［J］.齊魯石油化工，1986（3）:15-17.

［4］劉光銘.關于球面等角螺線的加工工藝問題［J］.國防科技大學學報，1981（1）:1-3. ［5］梅向明，黃敬之.微分幾何（第4版）［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［6］王竹溪，郭敦仁.特殊函數(shù)概論［M］.北京：北京大學出版社，2000：520-559.

［7］牛亞華.項名達的橢圓求周術研究［J］.內(nèi)蒙古師大學報:自然科學漢文版，1990（3）:53-60.

［8］過家春，張慶國，章林忠，等．基于第二類橢圓積分的橢圓弧長公式變換與應用［J］.數(shù)學的實踐與認識，2011，41（24）:210-216．

［9］花向東.橢圓周長的近似計算［J］.林區(qū)教學，2005（2）:51-51.

Solution of one Special Spherical Helix Arc Length

YAN Lijian，PANG Shanshan，MOU Jinping*，LIN Jiongyi

（School of Mathematics and Information Engineering,Taizhou University,Linhai 317000,Zhejiang,China）

App lying the relevant theory of differential geometry,defining a special spherical helix,the problem of not integrable of spherical spiral arc length is discussed. It is proved that there exist the upper and low er bounds of a given spherical spiral arc length. By introducing theory of the second kind elliptic integral and combining w ith the computer calculation method,it provides a solution way for a spherical helix arc length.

Spherical Helix;Elliptic integral of second kind;Com puter calculation

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2016.06.001

（責任編輯：耿繼祥）

2016-09-18；

2016-11-16

臺州學院校立學生科研項目（16xs13）；浙江省大學生于科技創(chuàng)新項目（2015R43006）。

簡介：牟金平（1974- ），男，浙江黃巖人，講師，博士，主要從事復雜系統(tǒng)的建模與分析研究。