尺度依賴的Reddy型碳納米管功能梯度板的自由振動模型

賀 丹，門 亮

(沈陽航空航天大學 遼寧省飛行器復合材料結構分析與仿真重點實驗室，沈陽 110136)

尺度依賴的Reddy型碳納米管功能梯度板的自由振動模型

賀 丹，門 亮

(沈陽航空航天大學 遼寧省飛行器復合材料結構分析與仿真重點實驗室，沈陽 110136)

基于一種新的修正偶應力理論建立了微觀尺度下碳納米管增強型復合材料功能梯度板的自由振動模型。基于三階剪切理論和哈密頓原理推演了該板模型的運動微分方程及邊界條件，并以四邊簡支方板為例給出了板自由振動基頻的解析解。研究了碳納米管分布類型、碳納米管體積分數、板尺寸等參數對板自由振動基頻的影響。算例結果表明：模型能夠有效地捕捉到尺度效應，且板的尺寸越小尺度效應越明顯；碳納米管的分布形式和碳納米管體積分數對板基有顯著影響。

修正偶應力理論；碳納米管；功能梯度材料；自由振動；尺度效應

諸多試驗[1-3]證實，金屬材料、復合材料以及高分子有機材料在微觀尺度下表現出比宏觀尺度更高的剛度，即尺度效應。傳統(tǒng)的連續(xù)介質力學無法解釋尺度效應，因此人們建立了廣義連續(xù)介質力學理論，其中主要包括應變梯度理論[4]和偶應力理論[5]。廣義連續(xù)介質力學理論在本構關系中引入若干個尺度參數用于解釋尺度效應，因此能夠適用于微觀尺度下對材料力學行為的預測，同時也能適用于宏觀尺度下對材料性能的描述。

材料尺度參數是材料本身固有的常數，其數值需要依賴于試驗進行測定。值得注意的是，對于同一種材料在應變梯度理論和偶應力理論下其尺度參數是不同的[6]。確定材料尺度參數相當困難，很多學者在探索含有較少尺度參數的理論上投入了很多時間和精力，并取得了很多成果。相對于應變梯度理論，Yang等[7]人提出的修正偶應力理論中只含一個尺度參數，非常便于工程應用，基于該理論人們建立了一系列的考慮尺度效應的板、梁模型[8-11]，但是，修正偶應力理論只適用于各向同性材料。近年來，陳萬吉等[12]提出了一種新的修正偶應力理論，該理論將使微尺度各向同性材料的研究推廣到各向異性材料。

碳納米管具有優(yōu)異的力學性能，是作為復合材料增強相的優(yōu)質選擇。通過變化碳納米管分布形式，能夠形成具有良好力學性能的碳納米管增強型復合功能梯度材料(FG-CNTRC)。隨著微/納米機電技術的發(fā)展，FG-CNTRC已經作為制造微、納米級別的傳感器、制動器以及顯微鏡等[13-15]的材料被廣泛應用。對于微觀尺度下的FG-CNTRC板，通過實驗確定它的力學性質非常困難，近年來，通過數值分析模擬的方法[16-19]研究FG-CNTRC板的力學性能引起了越來越多學者的關注。

K.M.Liew等[20]人基于有限元法研究了宏觀尺度下FG-CNTRC板彎曲及自由振動。Rokni H[21]和Shahriari B[22]等人基于應變梯度理論分別研究了微觀尺度下FG-CNTRC梁和板的自由振動的尺度效應。但是，目前為止，在偶應力理論體系下，對屬于各向性異性材料性質的微觀尺度下FG-CNTRC板的研究極少。

基于新修正偶應力理論建立了FG-CNTRC板自由振動模型?；诠茴D原理推導了運動微分方程，并以四邊簡支方板為例探討了板尺寸、碳納米管分布類型和體積分數等參數對FG-CNTRC板自振基頻的影響。算例結果表明，本文建立的模型能夠解釋微觀尺度下FG-CNTRC板的尺度效應問題。

1 新修正偶應力理論

新修正偶應力理論由陳萬吉等[12]人首次提出。應變εij和曲率χij分別定義如式(1)所示。

(1)

本構關系定義如式(2)所示。

(2)

其中：δij是克羅內克符號，λ和G為Lame常數，u和ω分別為平動位移和轉動位移，li是材料尺度參數，εij、σij、χij和mij分別為應變、應力、曲率和偶應力。

2 新修正偶應力理論下FG-CNTRC板模型

2.1 位移方程

采用三階剪切理論，FG-CNTRC板位移方程[23]如式(3)所示。

(3)

轉動位移如式(4)所示。

ωi=1/2eijkuk,j

(4)

由式(3)和(4)得到FG-CNTRC板轉動位移方程如式(5)所示。

(5)

2.2 FG-CNTRC板的應變分量和曲率分量

將式(5)代入式(1)中得到應變分量如式(6)所示。

(6)

將式(5)代入式(1)中得到曲率分量如式(7)所示。

(7)

其中：

2.3 FG-CNTRC板的本構關系

本構關系如式(8)所示。

σ=Qε

(8)

式中σ和ε分別為應力張量和應變張量，如式(9)所示。

(9)

其中：Q11=E11/(1-υ12υ21),Q12=υ21E11/(1-υ12υ21),Q22=E22(1-υ12υ21),Q33=G12,Q44=G13,Q55=G23,Q66=G13,Q77=G23,G12=G13=G23。lb和lm分別為碳納米管和基體材料的尺度參數。E11和E22為FG-CNTRC板彈性模量，G12、G13、G23為板剪切模量，υ12和υ21為泊松比，由式(10)得到[20]。

(10)

2.4 FG-CNTRC板分布類型

FG-CNTRC板有4種類型[20]：UDCNTRC、FG-VCNTRC、FG-XCNTRC和FG-OCNTRC,如圖1所示。

圖1 碳納米管在基體中的分布

碳納米管沿厚度方向體積分數表達式如式(11)所示。

(11)

3 FG-CNTRC板哈密頓原理

哈密頓原理如式(12)所示。

(12)

式中U為應變勢能，W為外力做功，T為動能，t1、t2為時間，分別如式(13)-(15)所示。

(13)

(14)

(15)

ρ為板的密度如式(16)所示。

ρ=VCNTρCNT+Vmρm

(16)

由以上關系可得到FG-CNTRC板的運動微分方程如式(17)所示。

(17)

以及邊界條件如式(18)所示。

(18)

其中：

{NxNyNxyNxzNyzMxMyMxyYxYyYxyYyx}T=

4 FG-CNTRC板的算例分析

本節(jié)對四邊簡支的方板進行自由振動分析。事實上，碳納米管的尺度參數要遠遠大于基體的尺度參數lm，為便于工程應用，可近似認為lm=0。

對四邊簡支的FG-CNTRC板邊界條件如式(19)所示。

(19)

滿足全部邊界條件的位移函數如式(20)所示。

(20)

其中，α=π/a，β=π/b。u00、v00、ψx0、ψy0、w0為待定系數，ω為待求頻率。 令全部外界載荷為零，將式(20)代入(17)得到

([K]-ω2[M]){U}=0

(21)

其中：{U}={u00v00ψx0ψy0w0}T，[K]和[M]分別為剛度矩陣和質量矩陣。對式(21)求廣義特征值便可得到板自由振動頻率。

給定FG-CNTRC板材料常數及碳納米管的效率參數如表1和表2[20]所示。

圖2～圖5分別給出4種分布類型下，碳納米管體積分數取0.11、0.14和0.17時，本文模型和經典理論下FG-CNTRC板的無量綱自振頻率。4個圖中present為本文模型的結果，classical為經典理論結果。橫坐標為板厚與尺度參數的比值，由于尺度參數固定，比值越大說明板的尺寸越大，縱坐標為無量綱頻率。由圖2～圖5可知，采用本文模型所預測的板自由振動頻率總是大于經典理論預測的結果，且板的幾何尺寸越小，2種理論之間的差別就越明顯，而當板的尺寸足夠大時，2種理論的結果趨于一致，說明本文模型能夠有效地描述尺度效應帶給結構的剛度增強現象；進一步研究發(fā)現，碳納米管的體積分數的變化對板自振頻率有顯著影響，體積分數越高，板自由振動頻率越大。這是由于碳納米管的彈性模量遠遠大于基體材料的彈性模量，故而碳納米管能夠增加結構的剛度，且體積分數越高，對結構剛度增強越明顯；另外，對比圖2～圖5可知，碳納米管的分布形式對板的自振頻率有直接影響。在本文給定的幾種分布類型中FG-X分布板自由振動基頻最大,這是因為FG-X型分布方式在板的上下表面碳納米管的密度較大，使碳納米管對結構的剛度起主要作用，從而使板的剛度大于其他幾種分布類型。這與實際工程上工字型梁具有較大的剛度的現象相一致。

表1 FG-CNTRC板的材料常數

表2 碳納米管的效率參數

圖2 UD型分布無量綱頻率

圖3 FG-V型分布無量綱頻率

圖4 FG-X型分布無量綱頻率

圖5 FG-O型分布無量綱頻率

5 結論

本文首次將各向異性的新修正偶應力理論應用到考慮橫向三階剪切變形的FG-CNTRC板模型中，建立了微觀尺度下各向異性FG-CNTRC板的本構方程，基于哈密頓原理推導了板的運動微分方程及邊界條件，并以四邊簡支方板為例給出了不同碳納米管分布類型、碳納米管體積分數、板尺寸等參數下板自振頻率的解析解。算例結果表明：本文模型能夠有效地捕捉到微觀尺度下板的尺度效應，且板的尺寸越小，尺度效應越明顯；碳納米管體積分數的增加能夠提高結構的剛度，從而使板自振頻率增大；碳納米管分布形式對板的剛度有直接影響。在本文研究的4種分布類型FG-CNTRC板中，FG-X型分布剛度最大，其次為UD型分布，FG-O型分布剛度最小。

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(責任編輯：劉劃 英文審校：趙歡)

A size-dependent free vibration model of carbon nanotubes functionally graded Reddy plates

HE Dan,MEN Liang

(Key Laboratory of Liaoning Province for Composite Structural Analysis of Aerocraft and Simulation,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136，China)

A free vibration model of anisotropic functionally graded carbon nanotube reinforced composite plate was established based on the new modified couple stress theory.The motion differential equations and boundary conditions were derived based on the third-order shear deformation theory and Hamiton principle.A simply supported plate was taken to be an illustrative example and analytical solution.The effects of distributions,volume fraction of the carbon nanotubes and size of the plate on fundamental frequencies of free vibration were investigated.Numerical results show that the present model can effectively capture the scale effect.The smaller the geometrical size,the more obvious is the scale effect.The distributions and volume fraction of carbon naotubes have remarkable effects on the fundamental frequencies.

modified couple stress theory;carbon nanotubes;functionally graded materials;free vibration;scale effect

2016-10-28

國家自然科學基金(項目編號：11572204)

賀 丹(1979-)，男,遼寧沈陽人，副教授，博士，主要研究方向：微細觀復合材料力學、結構優(yōu)化，E-mail:Danhe@sau.edu.cn。

2095-1248(2016)06-0008-07

O343.8

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2016.06.002

航空宇航工程