毛細(xì)上升公式的推導(dǎo)方法及其在方形毛細(xì)管中的應(yīng)用

趙留鵬 張樹(shù)永

(山東大學(xué)化學(xué)與化工學(xué)院，濟(jì)南250100)

毛細(xì)上升公式的推導(dǎo)方法及其在方形毛細(xì)管中的應(yīng)用

趙留鵬 張樹(shù)永*

(山東大學(xué)化學(xué)與化工學(xué)院，濟(jì)南250100)

歸納了文獻(xiàn)中導(dǎo)出圓形毛細(xì)管液柱上升高度計(jì)算公式的方法；明確指出了采用受力分析導(dǎo)出毛細(xì)上升高度公式時(shí)，對(duì)伸展力進(jìn)行簡(jiǎn)化處理的原理以及其中所隱含的基本假設(shè)；從流體力學(xué)角度對(duì)液柱上升速率和高度進(jìn)行了討論。分3種情況對(duì)液柱在方形毛細(xì)管中上升的現(xiàn)象進(jìn)行了系統(tǒng)分析，得出了一些重要的結(jié)論。

毛細(xì)管；毛細(xì)現(xiàn)象；附加壓力；方形毛細(xì)管

1 前言

液體在毛細(xì)管中上升或者下降的現(xiàn)象稱(chēng)為毛細(xì)現(xiàn)象。該現(xiàn)象很早就被人類(lèi)認(rèn)識(shí)并加以利用[1]。例如，農(nóng)民在干旱時(shí)鋤地以破壞土壤中的毛細(xì)管，減少水分蒸發(fā)以利保墑；運(yùn)輸平板玻璃時(shí)，在兩片玻璃間夾入紙片可以避免水汽凝結(jié)使玻璃粘在一起；在鵝毛筆和鋼筆的前端開(kāi)槽、在圓珠筆和簽字筆的筆尖形成環(huán)形縫隙，使液體沿毛細(xì)管均勻流出；利用毛細(xì)現(xiàn)象點(diǎn)亮油燈和酒精燈，甚至用于制造松煙墨；在化驗(yàn)時(shí)用毛細(xì)管采集血液樣本；在基因測(cè)序時(shí)用毛細(xì)管電泳進(jìn)行分離；利用毛細(xì)原理測(cè)量多孔固體的孔隙度和孔徑分布等。當(dāng)然，新建房屋的墻壁返潮、石窟藝術(shù)因返潮而致剝離損壞等，則是毛細(xì)現(xiàn)象給人們帶來(lái)的困擾。

雖然毛細(xì)現(xiàn)象很早即被人們關(guān)注和研究，但在以往的討論中，人們主要從內(nèi)外壓平衡的能量角度，對(duì)液體在圓形毛細(xì)管中的上升高度進(jìn)行討論，對(duì)毛細(xì)上升過(guò)程中液體的流動(dòng)以及方形毛細(xì)管中的毛細(xì)現(xiàn)象則很少涉及[2,3]。本文試圖從液體流動(dòng)角度說(shuō)明毛細(xì)上升的相關(guān)現(xiàn)象，對(duì)不同方法導(dǎo)出的毛細(xì)上升公式進(jìn)行評(píng)述，分析液體在方形毛細(xì)管中的行為，以增進(jìn)讀者對(duì)毛細(xì)現(xiàn)象的理解。

2 毛細(xì)上升公式的導(dǎo)出方法

2.1 基于壓力平衡導(dǎo)出

液體之所以能夠在毛細(xì)管中上升，與液體在親液毛細(xì)管中形成彎曲液面并產(chǎn)生附加壓力(Δp)有關(guān)。19世紀(jì)初，Young和Laplace[1]就導(dǎo)出了Δp與液面曲率半徑的關(guān)系：

式中，σ為液體的表面張力，r1和r2為彎曲液面在兩個(gè)方向上的曲率半徑。如果液面為球形的一部分，則r1=r2，式(1)可簡(jiǎn)化為：

如圖1所示，當(dāng)達(dá)到平衡時(shí)，處于同一水平液面高度的B和C兩點(diǎn)，其壓力應(yīng)相等，由此即可導(dǎo)出毛細(xì)上升公式為：

式中θ為接觸角，R是圓形毛細(xì)管的半徑，Δρ是液體與氣體的密度差，g是重力加速度。該方法是最常見(jiàn)的推導(dǎo)毛細(xì)上升公式的方法，為多數(shù)教材所采用，此處不作詳述。

圖1 彎曲液面的曲率半徑(r)、毛細(xì)管半徑(R)及潤(rùn)濕角(θ)之間的關(guān)系

2.2 基于受力平衡導(dǎo)出

1995年，何濟(jì)洲[4]從受力平衡角度推導(dǎo)了毛細(xì)上升公式。他認(rèn)為，液體之所以能夠在毛細(xì)管中上升，是因?yàn)樵诠?、液、氣三相交界點(diǎn)受力不平衡。如圖2所示，作用于三相交界點(diǎn)的力有3個(gè)，分別是固/液界面張力(σs/l)、固/氣界面張力(σs/g)和液/氣界面張力(σl/g)。其中的f′與σl/gsinθ平衡，被稱(chēng)為附著力，體現(xiàn)了固體對(duì)液體的吸附作用。如果σs/l+σl/gcosθ＜σs/g，則交界點(diǎn)會(huì)受到一個(gè)向上的合力(F)，導(dǎo)致液體沿毛細(xì)管壁上升。何濟(jì)洲將F稱(chēng)為液面伸展力，并認(rèn)為F=σl/gcosθ。

圖2 在氣相、液相、固相三相交界點(diǎn)的受力情況分析

對(duì)于圓形毛細(xì)管，整個(gè)氣、液、固三相的交界為一邊長(zhǎng)為2πR的圓圈，其中R是毛細(xì)管的半徑，此時(shí)液面總受力為2πRF。通過(guò)合力F與液柱上升產(chǎn)生的重力mg相平衡可得：

即可導(dǎo)出式(3)。

通過(guò)受力平衡也可以導(dǎo)出式(3)的事實(shí)表明，F(xiàn)=σl/gcosθ的關(guān)系的確存在。但遺憾的是，論文作者并沒(méi)有給出F=σl/gcosθ存在的理由。而且，在做受力分析時(shí)只考慮σl/g而忽略σs/g和σs/l的做法顯然存在問(wèn)題；另外，何濟(jì)洲所定義的σl/g分力的方向也不正確。

如果考慮液體的密度較氣體大1000－3000倍，而親液固體表面很容易吸附一層液體分子使表面原本不均衡的力場(chǎng)(這是導(dǎo)致σs/g的根源)被平衡，故σs/l通常會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于σs/g，因此σs/l+σl/gcosθ=σs/g可以簡(jiǎn)化為σl/gcosθ=σs/g=F也就不足為奇了。遺憾的是，何濟(jì)洲的推導(dǎo)過(guò)程中沒(méi)有涉及彎曲液面，而眾所周知，如果沒(méi)有彎曲液面，即使存在液體與固體的親和作用，也不會(huì)導(dǎo)致毛細(xì)上升現(xiàn)象。

2.3 基于液體流動(dòng)導(dǎo)出

毛細(xì)管中的液面會(huì)受到向上的附加壓力(Δp)和向下的重力(mg)的共同影響，并因此形成彎曲液面。對(duì)于親液毛細(xì)管，Δp＞mg，故存在一個(gè)向上的合力(F=Δp－mg)。但隨著液柱的升高，Δp保持不變，而m卻不斷增加，導(dǎo)致液面所受合力F線性下降。因此，液柱在毛細(xì)管中的上升實(shí)際上是一個(gè)加速度逐漸下降的加速過(guò)程，而導(dǎo)致液柱減速并最后在平衡處停止的，則是液體流動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的粘滯阻力。這種粘滯阻力是由液體的內(nèi)摩擦力(內(nèi)聚力)以及液體在毛細(xì)管壁上層流所導(dǎo)致的阻力產(chǎn)生的。此時(shí)，液體上升速度(r)與時(shí)間(t)的關(guān)系符合圖3所示關(guān)系。

圖3 液體在毛細(xì)管中上升的流速r與時(shí)間t的關(guān)系

液體流動(dòng)時(shí)由于內(nèi)摩擦力的存在，會(huì)導(dǎo)致一定的壓頭損失(記為Hf)，則圖1中管內(nèi)B處的壓強(qiáng)(pB)為：

根據(jù)流體靜力學(xué)方程，達(dá)到平衡時(shí)，管內(nèi)液面下B點(diǎn)應(yīng)與處于同一水平面的C點(diǎn)壓強(qiáng)(即p0)相等：

將cosθ=R/r帶入上式即可導(dǎo)出液體在毛細(xì)管內(nèi)上升的高度h為：

由于達(dá)到最大上升高度時(shí)液體不再流動(dòng)，此時(shí)Hf=0[5]，式(7)可簡(jiǎn)化為式(3)。

3 方形毛細(xì)管的液面形狀及毛細(xì)上升公式

方形毛細(xì)管是一種特殊形狀的毛細(xì)管(圖4)，在毛細(xì)電泳方面已有較多應(yīng)用。目前有關(guān)方形毛細(xì)管的研究，主要集中在液體在毛細(xì)管中的流動(dòng)性質(zhì)，而對(duì)于方形毛細(xì)管中液面的形狀及其毛細(xì)現(xiàn)象，則缺乏討論。

圖4 商品化的方形毛細(xì)管

圖5給出了方形管的3種情況。假設(shè)管長(zhǎng)為a，寬為b。如果a=b則為正方形管。

圖5(A)是方形管邊長(zhǎng)a和b都很大的情況。此時(shí)，雖然由于固體對(duì)液體的親和性會(huì)導(dǎo)致液體沿固體表面爬升，但由于整個(gè)液氣界面都處于水平狀態(tài)，故無(wú)法產(chǎn)生附加壓力，液面不上升。

通過(guò)對(duì)圖5(A)的討論我們不難發(fā)現(xiàn)，在2.2節(jié)的討論中，如果忽略是否形成彎曲液面而只討論氣液固三相交點(diǎn)的受力情況，是不能解釋毛細(xì)上升現(xiàn)象的。故2.2節(jié)的討論隱含了一個(gè)前提假設(shè)：毛細(xì)管半徑足夠小，能夠形成彎曲液面且彎曲液面為一球形曲面的一部分。

圖5(B)是邊長(zhǎng)a很大、無(wú)法形成彎曲液面，而b較小、可以形成彎曲液面的情況。此時(shí)，液面在邊長(zhǎng)a上呈現(xiàn)為水平表面，在b邊上則形成彎曲液面。這種情況相當(dāng)于彼此緊貼的兩塊平板玻璃，也可以理解為一系列毛細(xì)管并列在一起的情況。此時(shí)的液面是一個(gè)向下彎曲的弧面，如圖5(B)上方所示。如果弧面呈現(xiàn)半圓形，則r1=b/2而r2=∞。采用Young-Laplace方程，可以預(yù)測(cè)液體在該薄層毛細(xì)管中上升的高度應(yīng)與半徑為b的圓形毛細(xì)管相同。實(shí)驗(yàn)也證明了這一點(diǎn)。

采用何濟(jì)洲提出的方法，可以較容易地解決該情況下液體上升高度的計(jì)算問(wèn)題。當(dāng)前，處理時(shí)也隱含著b很小可以形成彎曲液面的假設(shè)。

圖5(C)是邊長(zhǎng)a和b均較小，均可構(gòu)成彎曲液面的情況。顯然，a和b的邊長(zhǎng)越小，液面彎曲的程度也就越大。此時(shí)的液面非球面，而是類(lèi)似雞蛋托的形狀。這與液體在棱處受兩側(cè)固體吸引，上升的高度特別大有關(guān)。由于此時(shí)液面的形狀非常復(fù)雜，并不能用2個(gè)方向相曲率半徑不同的橢球面來(lái)描述，故Young-Laplace方程不再適用，無(wú)法籍由壓力平衡導(dǎo)出毛細(xì)上升公式。

圖53 種方形管的液面情況

采用何濟(jì)洲提出的方法，在假設(shè)任一邊上的液面為半圓時(shí)，則總邊長(zhǎng)=4πr=2πa，則作用于邊長(zhǎng)上的伸展力為2πaσl/gcosθ，應(yīng)該與液柱的重力a2hΔρg相當(dāng)，故有：

式(8)表明，液體在正方形毛細(xì)管中上升的高度比圓形毛細(xì)管、薄層毛細(xì)管要大π倍。而何濟(jì)洲將伸展力的作用線長(zhǎng)度定義為邊長(zhǎng)a，則可得到與式(3)相同的結(jié)果。式(3)和式(8)究竟哪一個(gè)正確，只能由實(shí)驗(yàn)來(lái)確定。

4 方形毛細(xì)管毛細(xì)上升高度的實(shí)驗(yàn)研究

我們采用最常見(jiàn)的3種液體水、丙酮和乙醇進(jìn)行測(cè)試。3種液體的基本物理性質(zhì)以及采用式(3)預(yù)測(cè)的在內(nèi)徑0.5 mm的毛細(xì)管中上升的高度列于表1中。計(jì)算時(shí)先假設(shè)完全潤(rùn)濕，θ=0。

表13 種液體的表面張力(σ)、密度(ρ)及根據(jù)式(3)預(yù)測(cè)的毛細(xì)上升高度(h)

我們購(gòu)置了長(zhǎng)度為15 cm、內(nèi)徑為0.5 mm的圓形毛細(xì)管和內(nèi)邊長(zhǎng)為0.5 mm的方形毛細(xì)管進(jìn)行測(cè)試。為了保證毛細(xì)管內(nèi)壁清潔，我們采用以下3種方法進(jìn)行了清洗處理：

(1)依次用水、乙醇清洗，然后干燥備用；

(2)用鉻酸洗液清洗，然后沖洗干凈，干燥備用；

(3)先用鉻酸洗液清洗，然后在馬弗爐中300°C下煅燒4 h，再冷卻至室溫備用。

具體的測(cè)量結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 內(nèi)徑0.5 mm的圓形毛細(xì)管的毛細(xì)上升測(cè)量結(jié)果

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，3種液體在毛細(xì)管中的上升高度均低于理論預(yù)測(cè)值。而且經(jīng)過(guò)不同清洗處理后，毛細(xì)上升高度沒(méi)有明顯變化(變化率均未超過(guò)4%)，說(shuō)明毛細(xì)管的內(nèi)壁比較潔凈。我們將毛細(xì)上升的實(shí)際高度低于理論預(yù)期的現(xiàn)象歸咎于潤(rùn)濕角的不同。根據(jù)表2數(shù)據(jù)的平均值，可以得出水、丙酮、乙醇在該毛細(xì)管中的潤(rùn)濕角，結(jié)果見(jiàn)表3。顯然，乙醇在該毛細(xì)管表面的潤(rùn)濕效果最好。

由于方形毛細(xì)管中的液面形狀十分復(fù)雜，無(wú)法精確計(jì)算。故我們采用3種方法進(jìn)行近似處理：(a)采用球面近似，并將邊長(zhǎng)作為球面的直徑，由此預(yù)測(cè)毛細(xì)上升高度為h1；(b)采用球面近似，以方形毛細(xì)管的對(duì)角線作為直徑，由此預(yù)測(cè)毛細(xì)上升的高度為h2；(c)采用式(8)預(yù)測(cè)毛細(xì)上升高度h3。所得預(yù)測(cè)高度列于表3中。計(jì)算時(shí)代入表3所列的潤(rùn)濕角。

3種液體在內(nèi)邊長(zhǎng)為0.5 mm的方形毛細(xì)管中的上升高度實(shí)測(cè)值列于表4中。

表33 種液體潤(rùn)濕角(θ)及預(yù)測(cè)毛細(xì)上升高度

表4顯示，經(jīng)不同洗滌處理后，3種液體在方形毛細(xì)管中的上升高度沒(méi)有顯著變化(偏差小于8%)，取平均值分別為5.50 cm，1.97 cm和1.97 cm。與表3所列的理論預(yù)測(cè)值相比可知，水在方形毛細(xì)管中上升高度與按照式(8)預(yù)期的結(jié)果(h3)比較一致，而遠(yuǎn)高于采用式(3)預(yù)測(cè)的高度(h1和h2)。這表明采用球面近似處理水在方形毛細(xì)管中的上升高度存在很大誤差。但對(duì)丙酮和乙醇而言，其實(shí)際上升高度與假設(shè)球面和邊長(zhǎng)等于球面直徑時(shí)通過(guò)式(3)計(jì)算的結(jié)果接近。

表4 內(nèi)邊長(zhǎng)0.5 mm的方形毛細(xì)管的毛細(xì)上升測(cè)量結(jié)果

上述結(jié)果表明，水和丙酮、乙醇在方形毛細(xì)管中的表現(xiàn)存在較大差異。我們認(rèn)為，這可能是由于水的表面張力大，使水沿方形毛細(xì)管的4個(gè)棱上升得特別明顯，導(dǎo)致液面嚴(yán)重偏離球面；而對(duì)于丙酮和乙醇兩種表面張力較小的液體，液體沿4個(gè)棱上升不明顯，液面比較接近球面。

[1]印永嘉,奚正楷,張樹(shù)永.物理化學(xué)簡(jiǎn)明教程.第4版.北京:高等教育出版社,2007:290.

[2]沈繁宜,馮菊芬,劉文吉.北京林業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),1997,19(4),34.

[3]嚴(yán)子浚.大學(xué)物理,1996,15(10),31.

[4]何濟(jì)洲.南昌大學(xué)學(xué)報(bào)(工科版),1995,17(2),80.

[5]傅獻(xiàn)彩,沈文霞,姚天揚(yáng).物理化學(xué).第5版.北京:高等教育出版社,2006:321.

Equation Deduction for Capillary Rise and the Application in Square Capillary

ZHAO Liu-PengZHANG Shu-Yong*
(School of Chemistry and Chemical Engineering,Shandong University,Jinan 250100,P.R.China)

The two main reported approaches for deducing the capillary rise equation were summarized. The simplification principle and the assumption for force analysis approach were explained.By taking the hydrodynamics,the flow rate and the height of liquid in capillary were further discussed.For liquid rise in square capillary,three situations were analyzed with some important conclusions reached.

Capillary;Capillary phenomenon;Additional pressure;Square capillary

*通訊作者，Email:syzhang@sdu.edu.cn

10.3866/PKU.DXHX201604031

www.dxhx.pku.edu.cn

G64；O647.6