☉江蘇省清江中學(xué)　黃保球

多樣化思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

☉江蘇省清江中學(xué)黃保球

高中數(shù)學(xué)是一門(mén)非常重要且頗具難度的學(xué)科，其高度的抽象性要求學(xué)生具備很高的邏輯思維能力才能較好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).高中數(shù)學(xué)的解題過(guò)程也往往是非常復(fù)雜的，需要學(xué)生根據(jù)解題思路應(yīng)用不同的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.所以，為了幫助高中生快速有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題的能力，教師應(yīng)當(dāng)在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，貫徹多樣化的思想，培養(yǎng)學(xué)生掌握、運(yùn)用多種實(shí)用數(shù)學(xué)思想方法的解題習(xí)慣.

一、巧用變量代換

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)以及微積分的求解是一個(gè)重點(diǎn)部分，但是大量、復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式常常會(huì)讓學(xué)生感到難以找到思路，解題找不到良好的辦法，學(xué)生對(duì)這部分的學(xué)習(xí)自然無(wú)法順利展開(kāi).在進(jìn)行這一部分的教學(xué)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用變量代換法來(lái)進(jìn)行解題.應(yīng)用變量代換法，可以用簡(jiǎn)單的變量代換一個(gè)復(fù)雜的式子，將原本復(fù)雜的方程式變得簡(jiǎn)單明了，然后再進(jìn)行解題就會(huì)十分簡(jiǎn)單.導(dǎo)數(shù)題主要有三類(lèi)比較難，分別是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解以及積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解.這三種導(dǎo)數(shù)的求解，都需要反復(fù)地變換函數(shù)等式的形式，學(xué)生在解題時(shí)難度很大，而應(yīng)用變量代換法可以簡(jiǎn)化題中復(fù)雜的函數(shù)等式，再進(jìn)行等式的變化就比較簡(jiǎn)單了，求解導(dǎo)數(shù)的過(guò)程也會(huì)大大簡(jiǎn)化.相應(yīng)地，在導(dǎo)數(shù)題目中應(yīng)用變量代換法解題也有幾類(lèi).其一，復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解題中的變量代換.其二，積分函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解中的變量代換.

在函數(shù)題中應(yīng)用變量代換法時(shí)，函數(shù)題的一般題型是給出與函數(shù)相關(guān)的一些等式，讓學(xué)生求函數(shù)的數(shù)值，根據(jù)題的難度不同，題干給出的函數(shù)等式的數(shù)量和形式也不同，學(xué)生在應(yīng)對(duì)復(fù)雜程度過(guò)高的函數(shù)等式時(shí)，基本難以找到思路，應(yīng)用變量代換法，可以明顯降低函數(shù)等式的復(fù)雜程度，然后再進(jìn)行解題就非常容易了.例如，題型一，假如題干給出的函數(shù)等式為f′（lnx）=1－x，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式.這種題目，我們直接求并不好求，可以應(yīng)用變量代換法，將式中的lnx用t代替，這樣題目中的等式就會(huì)變成關(guān)于t的式子，然后就能得到f（x）的表達(dá)式.題型二，題目給出的函數(shù)等式為f的表達(dá)式.我們可以用t替代x即使我們不能求解出x，但我們可以通過(guò)變換等式右邊，將原等式變成關(guān)于t的函數(shù)，然后將t換成x，就能夠求出f（x）的表達(dá)式.題型三，題目給出的函數(shù)等式為，求解f（x）（x≠0），求函數(shù)f（x）的表達(dá)式.對(duì)于這道題，我們需要進(jìn)行較為復(fù)雜變量代換，首先要用代換x，代入原來(lái)的等式中后，可以得到，然后與原來(lái)的等式聯(lián)立，就可以解出）的表達(dá)式，最后化簡(jiǎn)后得到f（x）的表達(dá)式.

在積分函數(shù)部分的解題中，應(yīng)用變量代換法，需要將原本復(fù)雜的積分式代換成相對(duì)比較簡(jiǎn)單的變量式，然后再應(yīng)用積分計(jì)算公式就可以進(jìn)行求解.在積分函數(shù)習(xí)題中應(yīng)用變量代換法可以分為變量倒代換法、根式變量代換法以及算式變量代換法等解題方法.對(duì)于變量倒代換法，應(yīng)用時(shí)需要滿(mǎn)足一定的條件，即積分式中分母中的自變量的次數(shù)之差大于1.例如，對(duì)積分式積分的求解.對(duì)于這一積分的求解過(guò)程，首先用代換x，然后代入原式中，可以得到ln|x|+c.根式變量代換法，是指用單獨(dú)的字母（比如u）代換積分式中出現(xiàn)的無(wú)理根式然后進(jìn)行積分的計(jì)算.例如，在計(jì)算運(yùn)用根式變量代換法，首先令u=然后就可以得到x=u2，進(jìn)而求出x關(guān)于u的導(dǎo)數(shù)為x′=2u，把它代入原式中，可以計(jì)算出，積分為22ln（1++c.算式變量代換法，在積分式中出現(xiàn)類(lèi)似ax+b的算式時(shí)，可以用u來(lái)代替原式中的ax+b，然后在進(jìn)行積分的計(jì)算.例如，在求解dx的積分時(shí)，可以先用u替換式中的x-3，然后用u表示出x，就可以計(jì)算出原式的積分值為

二、活用類(lèi)比思想

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，類(lèi)比思想主要應(yīng)用于微積分、線(xiàn)面垂直以及幫助學(xué)生理解公式中.其中，微積分是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大難關(guān)，在微積分解題教學(xué)中應(yīng)用類(lèi)比思想，首先教師要為學(xué)生明確微積分相關(guān)的理論知識(shí)，在這部分的教學(xué)中，可以先讓學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的四則運(yùn)算中的逆運(yùn)算關(guān)系，然后再介紹微積分的相關(guān)知識(shí)，就會(huì)讓學(xué)生了解兩者之間的相似性，相應(yīng)的，積分其實(shí)就是微分的逆運(yùn)算，并沒(méi)有什么復(fù)雜的地方，然后在積分的解題過(guò)程中，只要牢記這一點(diǎn)，結(jié)合微分就可以很輕易地進(jìn)行解題.其二，線(xiàn)面垂直定理的相關(guān)解題.學(xué)生在剛接觸線(xiàn)面垂直定理時(shí)，一定會(huì)存在困惑，因?yàn)榫€(xiàn)面垂直定理和之前的很多內(nèi)容都不同，這是無(wú)法直接舉出實(shí)驗(yàn)來(lái)證明的，無(wú)法正確理解定理內(nèi)容，學(xué)生在相關(guān)問(wèn)題的求解中自然無(wú)法很好地應(yīng)用.對(duì)此，教師在線(xiàn)面垂直定理解題教學(xué)中，可以應(yīng)用類(lèi)比思想，先從線(xiàn)線(xiàn)垂直講起，然后結(jié)合兩相交直線(xiàn)確定一個(gè)平面，就可幫助學(xué)生快速理解線(xiàn)面垂直定理.其三，對(duì)于公式定理等的教學(xué).教師在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，需要用到許多公式和定理，這就要求學(xué)生能夠理解并靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)公式.和數(shù)學(xué)的抽象性一致，公式往往也非常難以理解，學(xué)生要想牢固掌握，需要明白其本質(zhì)含義.對(duì)此，教師可以應(yīng)用類(lèi)比思想，把新舊的公式和定理聯(lián)系起來(lái)，在解題過(guò)程中，將新舊公式定理的應(yīng)用方法相類(lèi)比，就能幫助學(xué)生快速掌握.

三、注意分類(lèi)討論

除了上面的變量代換、類(lèi)比思想兩種數(shù)學(xué)思想和方法，分類(lèi)討論也是高中數(shù)學(xué)中非常常用的一種數(shù)學(xué)思想，特別是在函數(shù)部分的內(nèi)容，更是有很多的應(yīng)用.分類(lèi)討論在函數(shù)解題中的應(yīng)用主要有四個(gè)方面.最基本的，是根據(jù)函數(shù)概念進(jìn)行分類(lèi)討論，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域以及指數(shù)函數(shù)是其中的代表.例如，設(shè)0＜x＜1，a＞0，且a不等于1，試比較|loga（1-x）|與|loga（1+x）|.在這題的求解中，我們需要用到分類(lèi)討論思想，首先令s=|loga（1-x）|-|loga（1+x）|，然后根據(jù)a的取值不同，進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，s＞0，當(dāng)a＞1時(shí)，s＜0，可以得出前者大于后者.其二，對(duì)于函數(shù)圖形的分類(lèi)討論.在函數(shù)問(wèn)題中，函數(shù)圖形的位置可能會(huì)存在很多.例如，在平面中有一曲線(xiàn)y2=2x，設(shè)點(diǎn)M（m，0），m∈R，曲線(xiàn)到點(diǎn)A的最短距離為f（m），求f（m）的表達(dá)式.解題時(shí)，設(shè)曲線(xiàn)上一點(diǎn)N（x，y），可得|MN|=［x-（m-1）］2+ 2m-1，當(dāng)m-1≥0時(shí)，|MN|min=2m-1，當(dāng)m-1＜0時(shí)，|MN|min= a2，可以得出f（a）=

其三，問(wèn)題中可能會(huì)出現(xiàn)具有不確定性的條件，這時(shí)需要用到分類(lèi)討論.例如，等差數(shù)列a1，a2，…an，n≥4，各項(xiàng)都不為零，且公差d不為0，在不改變順序的情況下去除某一項(xiàng)可得到等比數(shù)列，求當(dāng)n=4時(shí)，值.解題過(guò)程如下：n=4，如果刪除a1，a4，那么d=0，舍如果刪除a，那么可算出-4，；如果刪除a，可算出=1，所以，23有兩個(gè)結(jié)果，-4或1.其四，對(duì)于二次函數(shù)的分類(lèi)討論.二次函數(shù)解題過(guò)程中的分類(lèi)討論，可以分為三種，其一是動(dòng)軸定區(qū)間的分類(lèi)討論，其二是定軸動(dòng)區(qū)間的分類(lèi)討論，最后一個(gè)是動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間的分類(lèi)討論.這三種類(lèi)型的題目需要考慮二次函數(shù)圖形的對(duì)稱(chēng)軸、以及區(qū)間，然后根據(jù)題中所給的具體條件，進(jìn)行分類(lèi)討論，求出結(jié)果.

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要將變量代換、類(lèi)比思想、反思解題以及分類(lèi)討論這四個(gè)數(shù)學(xué)思想和解題方法教授給學(xué)生.運(yùn)用變量代換，可以簡(jiǎn)化代數(shù)式，方便計(jì)算；運(yùn)用類(lèi)比思想，可以加深知識(shí)理解，加快解題；運(yùn)用反思解題，可以增強(qiáng)學(xué)生的解題能力；運(yùn)用分類(lèi)討論，可以增強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).還有其他很多的數(shù)學(xué)思想和方法，教師要在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中向?qū)W生傳授多樣化的思想，提高學(xué)生的解題能力.Y