☉浙江省湖州市第五中學(xué)教育集團(tuán)　計(jì)惠方

橢圓的共軛直徑的1個(gè)性質(zhì)的三點(diǎn)注記

☉浙江省湖州市第五中學(xué)教育集團(tuán)計(jì)惠方

《數(shù)學(xué)通訊》2015年第10期下半月（教師）刊登了張留杰、周明芝兩位老師通過(guò)對(duì)一道期末試題的研究，獲得了橢圓共軛直徑的一個(gè)性質(zhì)，拜讀兩位老師的文章，深受啟發(fā).為了說(shuō)明問(wèn)題，特將作者研究的試題和兩位老師的研究結(jié)果轉(zhuǎn)述如下：

題目（2015年1月北京市東城區(qū)高三期末試題）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為2，離心率為

（Ⅰ）求橢圓的方程；

文［1］作者根據(jù)直線(xiàn)l的斜率為恰好等于，定值5點(diǎn)P是橢圓C長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作斜率為的直線(xiàn)l，分別交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，則|PA|2+|PB|2=a2+b2.恰好是a2+b2，大膽猜想得出了如下結(jié)論.

結(jié)論1對(duì)于橢圓C

筆者通過(guò)對(duì)文章的仔細(xì)審讀和試題的深入研究，結(jié)合筆者撰寫(xiě)的文［2］，認(rèn)為有必要作如下三點(diǎn)補(bǔ)充.

一、研究變式，拓寬通道

一般情況下對(duì)一個(gè)問(wèn)題的研究，往往從橫向、縱向和逆向三個(gè)方面切入，這樣的研究更加豐富和飽滿(mǎn)且能保持問(wèn)題的本來(lái)面貌，下面的三個(gè)變式均是對(duì)文［1］的補(bǔ)充和對(duì)下面的研究的有效鋪墊.

證明：設(shè)P（0，t）（-1≤t≤1），直線(xiàn)為y=±1x+t，A（x，2

1y1），B（x2，y2）.由消去y，得2x2±4tx+4t2-4=0，Δ=所以

解：當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，顯然都不合題意.

設(shè)P（m，0）（-2≤m≤2），直線(xiàn)l：x=ty+m，A（x1，y1），B（x2，y2）.

二、整合變式，完善命題

通過(guò)對(duì)上面變式題組以及點(diǎn)P位置變化的研究，不難得出如下更為完善的結(jié)論：

圖1　

結(jié)論的充分性文［1］作者已經(jīng)給出了證明.下面我們來(lái)證明必要性，為了體現(xiàn)直線(xiàn)的參數(shù)方程對(duì)線(xiàn)段長(zhǎng)度問(wèn)題的特殊功效，特引入直線(xiàn)的參數(shù)方程給予證明.

證明：不妨設(shè)點(diǎn)P在橢圓C的長(zhǎng)軸上，若存在這樣的直線(xiàn)l，使|AP|2+|BP|2恒為定值，設(shè)直線(xiàn)l：參數(shù)，θ為直線(xiàn)l的傾斜角），

代人橢圓方程得

因?yàn)閨tA|2+|tB|2要與m無(wú)關(guān)，只需令b2cos2θ－a2sin2θ=0，得

注：點(diǎn)P在橢圓C的短軸上時(shí)，證法完全類(lèi)似.

三、“源頭”鋪墊，和諧拓展

接下來(lái)的問(wèn)題是若P為橢圓內(nèi)的任一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P任作一條弦AB，則|AP|2+|BP|2恒為定值的充要條件是否存在？為了搞清這個(gè)問(wèn)題，應(yīng)該回到問(wèn)題的“源頭”——圓中問(wèn)題進(jìn)行鋪墊和類(lèi)比.

圖2　

問(wèn)題1如圖2，設(shè)點(diǎn)P是⊙O內(nèi)的任一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)交⊙O于A，B兩點(diǎn)，則PA2+PB2恒為定值的充要條件是直線(xiàn)AB與過(guò)點(diǎn)P的直徑FD和它的共軛直徑EC所構(gòu)成的圓內(nèi)接正方形CDEF的邊互相平行.

證明：（充分性）不妨設(shè)AB∥CD，

AB與EC交于點(diǎn)Q，⊙O半徑為r.

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過(guò)點(diǎn)O作PG⊥AB于G.

由垂徑定理及等腰直角△OPQ，得

PG=QG=OG，BQ=PA，

故PA2+PB2=（AG－PG）2+（BG+QG）2=AG2+PG2+BG2+ PG2=AG2+OG2+BG2+OG2=2r2.（定值）

（必要性）過(guò)點(diǎn)O作PG⊥AB于G，則AG=BG，設(shè)PG=x，AB與EC交于點(diǎn)Q，

則PA2+PB2=（AG－x）2+（AG+x）2=2AG2+2x2=2（OA2－OG2）+2x2=2OA2+2（x2－OG2），因?yàn)榕c點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)，故x=OG，所以△OPQ為等腰直角三角形，即AB∥CD或AB∥DE.此時(shí)，PA2+PB2恒為定值2r2.

由于橢圓的對(duì)稱(chēng)性沒(méi)有圓的良好，因此文［1］的結(jié)論2中PA2+PB2依賴(lài)CD的方向，并不是真正意義上的恒為定值.因此若P為橢圓內(nèi)的任一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P任作一條弦AB，則|AP|2+|BP|2恒為定值是不可能的，但是根據(jù)問(wèn)題1我們?nèi)菀捉鉀Q下面的問(wèn)題：

圖3　

問(wèn)題2如圖3，F(xiàn)D和EC是圓O的共軛直徑，點(diǎn)P是其中一條直徑FD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P任作兩條直線(xiàn)，交圓O于點(diǎn)A1、B1和A2、B2，設(shè)圓O的半徑為r，則|PA1|2+|PB1|2+|PA2|2+ |PB2|2恒為定值（4r2）的充要條件為A1B1∥CD，或A2B2∥FC.

圖4　

問(wèn)題3如圖4，F(xiàn)D和EC是圓O的共軛直徑，點(diǎn)P、Q是其中一條直徑FD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P任作一直線(xiàn)，交圓O于點(diǎn)A1、B1，過(guò)Q任作一直線(xiàn)，交圓于點(diǎn)A2、B2，設(shè)圓O的半徑為r，則|PA1|2+|PB1|2+|QA2|2+|QB2|2恒為定值（4r2）的充要條件為A1B1∥CD，A2B2∥FC.

根據(jù)問(wèn)題2的類(lèi)比以及伸縮變換不改變平行性的性質(zhì)，容易得到：

命題2如圖5，設(shè)P為橢圓W：內(nèi)的任一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P任作兩條弦A1B1，A2B2則|PA1|2+ |PB1|2+|QA2|2+|QB2|2恒為定值（2a2+2b2）的充要條件為A1B1∥CD，A2B2∥FC

圖5　

此結(jié)論不依賴(lài)CD方向的約束，是真正意義上的定值，顯然更具本質(zhì)特征.充分性的證明參閱文［1］，必要性的證明留給讀者朋友們思考.另外，若A2B2過(guò)點(diǎn)Q，則顯然有如下結(jié)論：

圖6　

命題3如圖6，CD和MN是橢圓W的共軛直徑，點(diǎn)P、Q是其中一條直徑CD上Q的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P任作一直線(xiàn)，交橢圓于點(diǎn)A1、B1，過(guò)Q任作一直線(xiàn)，交橢圓于點(diǎn)A2、B2，橢圓的半長(zhǎng)軸為a，半短軸為b，則|PA1|2+|PB1|2+|QA2|2+|QB2|2恒為定值（2a2+2b2）的充要條件為A1B1∥CD，A2B2∥FC.

如果將P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至共軛直徑的端點(diǎn)，則顯然有如下推論：

推論如圖7，橢圓的共軛直徑（CE與DF）的任意端點(diǎn)（E）與另一條直徑（DF）的端點(diǎn)連接，所得的兩條弦（EF與ED）的平方和為定值2（a2+ b2），并且共軛半徑（OC與OD）的平方和為定值a2+b2.

圖7　

1.張留杰，周明芝.橢圓的共軛直徑的一個(gè)性質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)通訊（下），2015（10）.

2.王勇強(qiáng)，計(jì)惠方.一道浙江競(jìng)賽題證法的補(bǔ)充與引申［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（8）.Y