左學(xué)武 毛自森 丁健

摘要：本文從二維平面的截距式直線方程的證明思想，聯(lián)想到三維空間中平面的截距式方程，從兩種不同的角度揭示了截距式公式形成的緣由，深化對截距式幾何意義的理解。同時(shí)，呈現(xiàn)出從低維空間概念向高維空間拓展的“類比聯(lián)想”式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

關(guān)鍵詞：截距式;相似性;等積法

中圖分類號：G642.41 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2016）07-0169-02

一、引言

伴隨著“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代的到來，對于教育教學(xué)課題的研究出現(xiàn)了多元化的思考，這其中很多學(xué)者開始關(guān)注新的網(wǎng)絡(luò)平臺，如MOOC，SPOC等資源平臺的建設(shè)和發(fā)展應(yīng)用問題，的確這是一個(gè)全新的挑戰(zhàn)，然而，受到新模式的沖擊，傳統(tǒng)教學(xué)，特別是基礎(chǔ)學(xué)科中最重要的思維能力培養(yǎng)出現(xiàn)了一定的弱化，如數(shù)理學(xué)科體現(xiàn)更多的就是對于創(chuàng)新思維能力根基的培養(yǎng)，這需要我們不能只注重于形式的多樣，更要夯實(shí)能力的基石，近年來，我們一直關(guān)注于如何“還原”數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，這是一種思維能力的訓(xùn)練和養(yǎng)成，我們開始關(guān)注如何在特殊中需找一般的規(guī)律，如何將規(guī)律進(jìn)行科學(xué)的總結(jié)和歸納，進(jìn)而升華為成熟的理論或拓展應(yīng)用，我們堅(jiān)信這些能力的培養(yǎng)必須融入到課程教學(xué)之中。

截距式方程[1]是我們在中學(xué)經(jīng)常運(yùn)用的解析幾何方法，但是當(dāng)時(shí)大多數(shù)同學(xué)并不知道它的推導(dǎo)過程，尤其是“1”的意義，更是同學(xué)們疑惑的地方。一直以來，“從簡單做起”[2]的數(shù)學(xué)思想貫穿著整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)，本文首先分析了二維平面的截距式直線方程，并由此聯(lián)想到三維空間中截距式平面方程。希望通過“簡化問題”的數(shù)學(xué)思想幫助大家認(rèn)識問題的本質(zhì)，同時(shí)利用“類比聯(lián)想”的數(shù)學(xué)方法升華問題的表征。

透過不同的解題視角，揭示不同的思維模式，啟發(fā)大家在解題過程中要注重多角度思考問題、結(jié)合發(fā)散思維拓寬視野。

二、從相似性的視角探究截距式

數(shù)學(xué)問題的解決應(yīng)該遵循從簡單做起的原則，所以不妨先從二維平面直角坐標(biāo)系入手。

如圖（1）所示，D點(diǎn)和E點(diǎn)為C點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的投影，顯然有△BDC∶△BOA，即 = ，

其中DC=x，BD=b-y，OA=a且OB=b，

代入得， =

化簡可知， + =1，

得證。

拓展到三維空間坐標(biāo)系中，截距式將不再表示一條直線，而是一個(gè)平面。如下頁圖（2）由△EFD∶△EOC得

= = = =1- ，

同理得 = ， =

且與二維平面中結(jié)論所得 + =1，

兩式聯(lián)立解得 + = ，

代入上式消去

+ + =1。

三、以等積法的觀點(diǎn)推導(dǎo)截距式

截距式的數(shù)學(xué)表達(dá)形式 + =1類似于 + =1，很容易令人聯(lián)想到等積法。對等積法，尤其式中“1”的理解，對于數(shù)學(xué)思維有極大的啟發(fā)作用。

如圖（3）所示：

S =S +S 且S = ab，S = bx，

S = ay，

聯(lián)立有 ab= ay+ bx，

化簡得 + =1。

同理類比到三維空間里，如圖（4）有

V =V +V +V 且V = abc，

V = abz，V = acy，V = bcx，

聯(lián)立得abc=abz+acy+bcx，

化簡得 + + =1。

四、小結(jié)

由二維到三維，由簡單到復(fù)雜，本文從兩種不同的角度揭示出截距式公式形成的緣由，深化同學(xué)們對截距式幾何意義的理解。同時(shí)，本文在兩個(gè)角度的逐層遞進(jìn)中，呈現(xiàn)出一種從低維空間概念向高維空間概念拓展的“類比聯(lián)想”式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

本文在截距式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)出的“簡化問題”和“類比”思想，對大學(xué)生的思維方式轉(zhuǎn)變和有效學(xué)習(xí)具有啟迪性的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊）[M].第六版.北京：高等教育出版，2007.

[2]王在華，姚澤清.理解與發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法漫談[M].北京：科學(xué)出版社，2011.