班秀和,韋儒和
(廣西師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計科學(xué)學(xué)院,廣西 南寧 530001)
關(guān)于NA-內(nèi)射模
班秀和,韋儒和*
(廣西師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計科學(xué)學(xué)院,廣西 南寧 530001)
文章中引入了NA-內(nèi)射模的概念:稱M為NA-內(nèi)射模.如果對于任意模A的任意Noether子模B有B到模M的任意同態(tài)均可提升為A到M的同態(tài).文中給出了NA-內(nèi)射模的等價條件,得到了關(guān)于NA-內(nèi)射模的直積、直和等運算的若干結(jié)果,指出了NA-內(nèi)射模是內(nèi)射模的實質(zhì)性推廣,運用NA-內(nèi)射??坍嬃薔oether環(huán)和一類V-環(huán).
NA-內(nèi)射模;Noether環(huán);V-環(huán)
本文對內(nèi)射模進行了推廣,引入了NA-內(nèi)射模的概念,給出了NA-內(nèi)射模的等價條件,并指出了NA-內(nèi)射模是內(nèi)射模的實質(zhì)性推廣,得到了關(guān)于NA-內(nèi)射模的直積、直和等運算的若干結(jié)果,運用NA-內(nèi)射模刻畫了Noether環(huán)和一類V-環(huán).
本文的環(huán)都是有單位元的結(jié)合環(huán),并用R表示這樣的環(huán).模都是右酉模.我們將用符號B≤A,E(A),Soc(A)分別表示B是A的子模,A的內(nèi)射包,A的基座.文中未指出來源的基本概念和結(jié)果可以在文獻[1,2]中看到.
首先給出NA-內(nèi)射模的定義.
定義1 設(shè)A是任意模,B是A的任意Noether子模,若B到模M的任意同態(tài)均可提升為A到M的同態(tài),則稱M為NA-內(nèi)射模.
由定義知,NA-內(nèi)射模是內(nèi)射模.
稱模M為右極小內(nèi)射模,如果環(huán)R的任意極小右理想I到M的同態(tài)都可以提升為R到M的同態(tài)[3].顯然NA-內(nèi)射模是極小內(nèi)射模,因此NA-內(nèi)射模是介于內(nèi)射模和極小內(nèi)射模之間的一類模.
受文獻[4]的啟發(fā),我們給出下面的引理1.該引理在NA-內(nèi)射模的問題考慮中會很有用.
引理1M是NA-內(nèi)射模的充分必要條件,是M包含它的Noether子模的一個內(nèi)射包.
證明 必要性.設(shè)A是M的Noether子模,ι是A到M的包含映射,E(A) 是A的內(nèi)射包,ι'是A到E(A)的包含映射,則存在同態(tài)g:E(A) →M,使得ι=gι',但g在A上的限制g∣A=ι,且A在E(A)中本質(zhì),所以g是單的,故g(E(A))≤M是A的內(nèi)射包.
充分性.設(shè)B是任意模A的Noether子模,ι是B到A的嵌入,α是B到M的同態(tài),則由于α(B) ≤M是Noether的,所以由條件就有E(α(B) )≤M.這樣由E(α(B) )的內(nèi)射性就知存在同態(tài)β:A→E(α(B)),使得α=βι.將β看作是A到M的同態(tài),則知M是NA-內(nèi)射模.引理證畢.
推論1 設(shè)Q是內(nèi)射模,U是Q的Noether子模,則模M是NA-內(nèi)射模的充分必要條件,U到模M的任意同態(tài)均可提升為Q到M的同態(tài).
證明 必要性顯然.對于充分性,設(shè)A是M的Noether子模,E(A) 是A的內(nèi)射包,則由引理1的必要性證法可得,E(A)≤M,從而由引理1知,M是NA-內(nèi)射模.
定理1Πi∈IMi是NA-內(nèi)射模當且僅當Mi,i∈I是NA-內(nèi)射模.
證明 用內(nèi)射模相應(yīng)命題的證法即可得證(可參見文獻[1]或文獻[2]).
由定理1可知,NA-內(nèi)射模的有限直和仍是NA-內(nèi)射模,NA-內(nèi)射模的直和項仍是NA-內(nèi)射模.
定理2 NA-內(nèi)射模的任意直和仍是NA-內(nèi)射模.
證明 設(shè)Mi,i∈I,是NA-內(nèi)射模,A是⊕Mi,i∈I的Noether子模,則由A是Noether的可知,有I的有限子集I0,使得A?⊕Mi,i∈I0.由于I0有限,所以⊕Mi是NA-內(nèi)射模.于是由引理1知,A的內(nèi)射包E(A) ?⊕Mi,i∈I0,因此,E(A)?⊕Mi,i∈I.這樣再由引理1就有⊕Mi,i∈I是NA-內(nèi)射模. 證畢.
上面提到內(nèi)射模是NA-內(nèi)射模,而由定理2可知NA-內(nèi)射模不必是內(nèi)射模.
事實上,設(shè)K是域,R=Πi∈IKi,Ki=K,I是無限集.在R中以分量的方式定義如下的加法和乘法: 對于(ki) ,(kˊi) ∈R,ki,kˊi∈Ki,(ki) +(kˊi)= (ki+kˊi),(ki) (kˊi)= (kikˊi),易檢驗R是一個環(huán).設(shè)A=⊕i∈IKi,則顯然AR≤RR. 因Ki=K是域,所以Ki作為自身上的右模,都內(nèi)射.于是由文獻[1]的第5章的習(xí)題(11)知,AR是內(nèi)射模的直和,但AR不內(nèi)射.另一方面,由定理2知AR是NA-內(nèi)射模.
用定理2可得到Noether環(huán)的一個特征.
定理3 R是Noether環(huán)的充分必要條件是每一NA-內(nèi)射模是內(nèi)射模.
必要性.用Baer法則即可得證.
充分性.設(shè)⊕i∈IQi是任意內(nèi)射模的直和,則由定理2,⊕i∈IQi是NA-內(nèi)射模,于是由條件,⊕i∈IQi是內(nèi)射的,所以R是Noether環(huán),定理證畢.
定理4 設(shè)R是環(huán),則有
1) Noether NA-內(nèi)射模是內(nèi)射模.
2) 有限余生成NA-內(nèi)射模是內(nèi)射模.
3) 若模M的Noether子模是NA-內(nèi)射模,則M的每一子模是NA-內(nèi)射模.
4) 若非Noether的有限生成模M的極大子模是NA-內(nèi)射模,則M是NA-內(nèi)射模.
證明1) 設(shè)M是Noether NA-內(nèi)射模,則由引理1知,M包含其自身的內(nèi)射包E(M),于是M=E(M),即M是內(nèi)射模.
2) 設(shè)M是有限余生成NA-內(nèi)射模,則Soc(M)是Noether的,因此由引理1就有E(Soc(M)) ≤M,但E(Soc(M)) 在M中本質(zhì),所以E(Soc(M)) =M,即M是內(nèi)射模.
3) 由1)和引理1即得.
4) 設(shè)A是M的Noether子模,則由于M是有限生成的,所以有M的極大子模L,使得A≤L,再由L是NA-內(nèi)射模和引理1即可得,M是NA-內(nèi)射模.定理證畢.
定理5 設(shè)I是全序集,Ai,i∈I是NA-內(nèi)射模,且對于i 證明 設(shè)L是B的Noether子模,則由于L是有限生成的,所以存在Ai,使得L≤Ai,于是由條件及引理1就有E(L) ≤Ai,所以E(L) ≤B.再由引理1即得B是NA-內(nèi)射模.定理證畢. 下面考慮每個模是NA-內(nèi)射模的環(huán). 定理6 設(shè)R是環(huán),則以下條件等價: 1)R是V-環(huán),且Noether模有非零基座. 2) 每個模是NA-內(nèi)射模. 3) 每個有限生成模是NA-內(nèi)射模. 4) 每個Noether模是NA-內(nèi)射模. 證明 1)→2).設(shè)A是任意模,B是A的任意Noether子模,則由條件B有非零基座,因此存在單模E1≤B.由于R是V-環(huán),所以E1是內(nèi)射的,故B=E1⊕C,若C為零則結(jié)論已成立,若C不為零,則C仍是Noether的和C的基座非零,因此存在內(nèi)射的單模E2≤C,使得C=E2⊕D. 由此得B= (E1⊕E2)⊕D.若D為零,則結(jié)論已成立.若D不為零,則D仍是Noether的和D的基座非零.反復(fù)重復(fù)上述過程并注意到B的Noether性,即可得到B是有限個內(nèi)射單模的直和,從而B是內(nèi)射的,即E(B)=B≤A,于是由引理1,A是NA-內(nèi)射模. 2)→3)→4)顯然. 4)→1)由條件,任意單模E是NA-內(nèi)射模,從而由定理4的1)知,E是內(nèi)射的,所以R是V-環(huán).其次設(shè)A是任意Noether模,B是A的任意子模,則B也是Noether的.這樣由條件B是NA-內(nèi)射模,從而由定理4的1)知,B是內(nèi)射模,所以B是A的直和項,所以A是半單的,于是A的基座非零. [1] 卡施 F. 模與環(huán)[M].北京:科學(xué)出版社,1994. [2] Anderson F W, Fuller K R. Rings and categories of modules[M]. New York: Springer-Verlag, 1974. [3] Nicholson W K, Yousif M F. Mininjective Rings[J]. Journal of algebra, 1997,187:548-578. [4] Ramamurthi V S. Rangaswamy K M. On finitely injective modules[J]. J Austral Math Soc, 1973,16:239-248. On NA-injective Modules BAN Xiu-he, WEI Ru-he (School of Mathematical and Statistics Sciences, Guangxi Teachers Education University, Nanning, 530023, China) The concept of NA-injective modules was introduced which was a generalization of injective module in this paper. Let B to be any Noetherian submodule of a right R-module A, M was called a NA-injective module if any homomorphism of B into M extends to one of A into M. Characterizations of NA-injective modules were given, some results concerning the direct products and the direct sums of NA-injective modules are obtained, a NA-injective module which is not injective is given. Noetherian rings, a class of V-rings, are characterized by NA-injective modules. NA-injective module; Noetherian ring; V-ring 2016-11-02 國家自然科學(xué)基金項目(11461010);廣西科技開發(fā)項目(1599005-2-13);廣西教育廳科研基金項目(KY2015ZD075). * 班秀和(1962—),男,廣西平果人,碩士,主要從事環(huán)論方面的研究. O153.3 A 1009-2102(2016)04-0005-03