τ-C11模的直和分解*

李煜彥

(隴南師范高等?？茖W(xué)校數(shù)信與信息科學(xué)學(xué)院,742500,甘肅省隴南市)

0 引言及預(yù)備知識

本文中的撓理論均指遺傳撓理論,環(huán)是有單位元的結(jié)合環(huán),模指酉右R-模.設(shè)M是模,稱L是M的τ-全不變子模,如果L是M的全不變子模且L∈Dτ(M).稱L是M的τ-基本子模,如果L是M基本子模且L∈Dτ(M).用L≤M,L≤τ-dM,L≤τ-eM和L?τ-dM分別表示L是M的子模,τ-稠密子模,τ-基本子模和τ-全不變子模.稱M是C11模,如果對M的任意子模L,存在M的直和項(xiàng)K,使得K是L在M中的補(bǔ).稱M是τ-C1模,如果對M的任意τ-稠密子模N,存在M的直和項(xiàng)K,使得N≤τ-eK.稱M是τ-FI-extending模,如果對M的任意τ-全不變子模N,存在M的直和項(xiàng)K,使得N≤τ-eK.

定義1[10]令Zτ(M)={m∈M|ann(m)≤τ-eRR}={m∈M|?L≤τ-eRR,mL=0}.稱Zτ(M)是M的τ-奇異子模.若Zτ(M)=M,則稱M是τ-奇異模.若Zτ(M)=0,則稱M是τ-非奇模.

由文獻(xiàn)[10]知,Zτ(M)滿足如下等式

Zτ(M)=Z(M)∩τ(M)=τ(Z(M))=Z(τ(M)).

類似還可以定義N″,N?,…等.易知N′,N″,…可以表示為

N′={m∈M|(N:m)≤τ-eR},N″={m∈M|(N′:m)≤τ-eR},…….

引理1[10]設(shè)M是模,N≤M.若M是τ-非奇異模,則以下成立:

(1)N≤τ-eN′;

(3)N′是M的包含N的最小τ-閉子模;(特別地,N′是N的τ-閉包)

(4)N″=N′;

(5)N=N′當(dāng)且僅當(dāng)N是M的τ-閉子模;

(6) 若Ni(i∈I)是M的τ-閉子模,則∩INi是M的τ-閉子模.

定義1[13]稱M是τ-C11模,如果M滿足下列等價(jià)條件之一:

(1)對任意N≤τ-dM,存在M的直和項(xiàng)K,使得K是N在M中的τ-補(bǔ);

(2)對任意N≤τ-dM,存在M的直和項(xiàng)K,使得K∩N=0,且K⊕N≤τ-eM.

由文獻(xiàn)[12，13],如下遞推關(guān)系成立:

M是τ-C1模?M是τ-C11模?M是τ-FI-extending模.

1 主要結(jié)論

下面結(jié)論說明τ-C11模的有限直和仍是τ-C11模.

命題1 設(shè)M=M1⊕M2,若M1和M2是τ-C11模,則M是τ-C11模.

由命題1易得如下結(jié)論.

命題2 設(shè)M=M1⊕M2,其中M1?τ-dM.則M是τ-C11模當(dāng)且僅當(dāng)M1和M2是τ-C11模.

證明必要性.先證M1是τ-C11模.設(shè)N1≤τ-dM1,則N1≤τ-dM.故存在M的直和項(xiàng)K,使得N1∩K=0,N1⊕K≤τ-eM.且存在L≤M,使得M=L⊕K.易知,M1∩K是M1的直和項(xiàng).又

且N1⊕(M1∩K)=M1∩(N1⊕K)≤eM1,故N1⊕(M1∩K)≤τ-eM1.從而M1是τ-C11模.

充分性.由命題1得證.

下面給出τ-C11模的一個(gè)等價(jià)刻畫.

證明充分性.由命題2和命題3得證.

定理2 設(shè)M是模,N?τ-dM.若M是τ-C11模,則存在M1,M2≤M,使得M=M1⊕M2,其中N≤τ-eM1.進(jìn)而,以下結(jié)論成立:

(3) 若M1?M,則M1和M2是τ-C11模;

證明因?yàn)镸是τ-C11模,所以M是τ-FI-extending模,故存在M1和M2,使得N≤τ-eM1,M=M1⊕M2.

由命題2的證明過程知,Ki(i=1,2)是τ-C11模.從而由定理1知，(1)和(2)成立.

(3) 由命題2易證.