陳廣濤，呂偉新，彭俊杰

(1.上海大學(xué) 計算機(jī)工程與科學(xué)學(xué)院，上海 200444；2.中科院上海高等研究院，上海 201210)

六輪機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)的幾何誘導(dǎo)迭代法研究

陳廣濤1，呂偉新2，彭俊杰1

(1.上海大學(xué) 計算機(jī)工程與科學(xué)學(xué)院，上海 200444；2.中科院上海高等研究院，上海 201210)

機(jī)器人控制對實時性要求高，其逆運(yùn)動學(xué)的快速求解是機(jī)器人控制領(lǐng)域的重要問題。在傳統(tǒng)的逆運(yùn)動學(xué)求解方法中，大多采用數(shù)值迭代的方法，該方法具有一定的通用性，但是該方法同時也有迭代收斂慢或者不收斂的問題。針對數(shù)值迭代法在機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)求解過程中遇到的運(yùn)算量大、收斂速度慢、結(jié)果唯一性難保證、無法確保實時性要求的問題，提出利用機(jī)器人機(jī)構(gòu)的幾何特點(diǎn)加速迭代收斂的方法。研究機(jī)構(gòu)的幾何特點(diǎn)，找出其表達(dá)參數(shù)，僅對必要的變量進(jìn)行迭代運(yùn)算，其他關(guān)節(jié)變量由機(jī)構(gòu)幾何特點(diǎn)獲得的解析式求得。在滿足實時性要求的前提下，該方法能以較少的迭代次數(shù)達(dá)到需要的求解精度。六輪機(jī)器人是廣泛研究的一種月球探測車模型，機(jī)構(gòu)較為復(fù)雜。針對該具體結(jié)構(gòu)的數(shù)值仿真表明，該方法快速有效。

機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)；迭代求解；幾何法誘導(dǎo)；搖臂式六輪探測車

0 引 言

機(jī)器人控制對實時性要求高，其逆運(yùn)動學(xué)的快速求解是機(jī)器人控制領(lǐng)域的重要問題[1]。有些機(jī)器人無法采用解析方法求解逆運(yùn)動學(xué)，采用數(shù)值解法就需要在給定時間內(nèi)穩(wěn)定收斂，這不但要盡量減少求解運(yùn)算量，還應(yīng)該排除算法中的嘗試性環(huán)節(jié)。

解析法計算效率高，是保證實時性的首選，然而應(yīng)用中有許多機(jī)構(gòu)無法得到解析解，只能借助數(shù)值方法求解，通過選擇關(guān)節(jié)變量初值，迭代逼近真實解。數(shù)值迭代法雖然能達(dá)到給定精度的運(yùn)動學(xué)方程逆解，但運(yùn)算量大、收斂速度與結(jié)果唯一性難保證、無法確保實時性要求[1-2]。最嚴(yán)重的問題是，迭代次數(shù)難以預(yù)料、計算結(jié)果具有不確定的多解性、不能確保收斂[3]。早已有人認(rèn)識到減少迭代參數(shù)的意義，例如，易科[4]采用構(gòu)造并求解僅含有一個關(guān)節(jié)參數(shù)的非線性方程方法，把逆解問題轉(zhuǎn)化為迭代求解這個角度的問題，再進(jìn)一步由解析式求得其他角度。雖然這類方法減少了計算量，但是仍然不能克服迭代是否收斂、是否存在多解的問題。

為此，文中提出一種利用機(jī)構(gòu)的幾何特點(diǎn)輔助迭代求解的方法，可避免多解問題、確?？焖偈諗?，從而解決機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)求解的實時性問題。由于涉及幾何方法的問題通用性不顯著，難以概括總結(jié)出通用法則，以一個被美國NASA等研究機(jī)構(gòu)廣為采用的搖臂式六輪探測車的機(jī)構(gòu)模型[5-11]為例，詳細(xì)介紹了該方法的基本原理，并給出其數(shù)字仿真結(jié)果。

1 搖臂式六輪車幾何模型

文獻(xiàn)[6]所給出的搖臂式六輪月球探測車結(jié)構(gòu)模型如圖1所示，主要由差動軸、主搖臂、副搖臂、車輪組成。其中差動軸中間的差動器使左右主搖臂相對于差動軸轉(zhuǎn)動的角度互為相反數(shù)[6]。

圖1 搖臂式六輪探測車結(jié)構(gòu)

建立的空間坐標(biāo)系如圖2、3所示。

圖2 搖臂式六輪探測車空間姿態(tài)

定義左右主搖臂之間的差動角度分別α和-α，左右副搖臂相對其主搖臂的轉(zhuǎn)角分別為β和γ。定義差動軸坐標(biāo)系OD-XDYDZD相對于空間絕對坐標(biāo)系OO-XOYOZO的前向傾角為θx，側(cè)向傾角為θy，如圖3所示。可知，關(guān)節(jié)角{θx,θy,α,β,γ}確定后，各車輪的相對空間坐標(biāo)隨之確定，反之亦然[6]。

圖3 差動軸坐標(biāo)系與空間絕對坐標(biāo)系相對關(guān)系

應(yīng)用中感興趣的是其6個輪心的相對高度與關(guān)節(jié)變量的關(guān)系，以便主動地適應(yīng)月球的起伏地面。因此，其逆運(yùn)動學(xué)求解問題就是如何從6個輪心的相對高度(即6個輪心在絕對空間坐標(biāo)系ZO軸上的分量)得知關(guān)節(jié)變量{θx,θy,α,β,γ}。為此，以6個輪心等高的狀態(tài)作為初始狀態(tài)，并始終把最低的輪心高度設(shè)為零[7]。

2 利用幾何特征引導(dǎo)迭代過程

2.1 幾何特征分析及關(guān)系方程建立

文獻(xiàn)[6]給出的探測車結(jié)構(gòu)尺寸如圖4所示。

圖4 搖臂式六輪探測車結(jié)構(gòu)尺寸

若是以常規(guī)方式建立探測車的運(yùn)動學(xué)方程，得到的是多個矩陣相乘而形成的復(fù)雜方程組，難以簡化處理[6]。

利用圖2所示幾何關(guān)系易得到以下關(guān)系式：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Z0=Z1-L01sin(φ-ξ)cosθy

(8)

那么，容易通過中間變量表示所求關(guān)節(jié)變量：

(9)

(10)

其中，ξ0為初始狀態(tài)，即6個輪心在同一高度時ξ應(yīng)該取得的值。

2.2 幾何特征引導(dǎo)迭代過程

之所以選擇θy作為迭代變量，首先是因為這樣做可以把復(fù)雜的空間幾何問題簡化為平面上的問題，通過XDZD平面上的幾何關(guān)系直接得到θx,α,β,γ的解析表達(dá)式。更重要的是，能夠根據(jù)θy的幾何意義直觀地判斷迭代必然收斂于一個唯一值，避免了丟失可能解和盲目探索可能解的問題。因此，選擇適當(dāng)?shù)牡兞渴钦T導(dǎo)迭代過程簡化計算逆解問題的關(guān)鍵[12]。

利用幾何關(guān)系輔助迭代求解逆運(yùn)動學(xué)方法的思想是：找出機(jī)構(gòu)運(yùn)動過程中一個確定的幾何規(guī)律，利用該規(guī)律誘導(dǎo)迭代過程，避開不利方向，將描述該規(guī)律的參數(shù)選作迭代變量；采用盡可能少的變量表示其他關(guān)節(jié)變量，僅對必要的變量進(jìn)行迭代運(yùn)算，其他間接變量或關(guān)節(jié)變量均由解析式求得[13]。

本例中θy≠0是造成計算困難的關(guān)鍵，而且它在引導(dǎo)方向上只有一個可能解，就只可能收斂于一點(diǎn)。由于每次更新都相當(dāng)于修正了前一次假設(shè)的誤差，因此能夠保證足夠的收斂速度。

3 數(shù)值仿真與分析

分別用常規(guī)數(shù)值求解法和文中提出的幾何輔助誘導(dǎo)迭代的數(shù)值法對文獻(xiàn)[6]中的機(jī)構(gòu)實例進(jìn)行求解，以驗證算法的有效性。其常規(guī)數(shù)值求解采用Matlab的fsolve函數(shù)對6元非線性方程組進(jìn)行迭代求解，細(xì)節(jié)見文獻(xiàn)[6]。經(jīng)對比發(fā)現(xiàn)，在所涉及表達(dá)式上，常規(guī)法求逆解的運(yùn)算量明顯比幾何誘導(dǎo)法大，需要消耗更多的時間。再從迭代次數(shù)和時間消耗方面對比分析兩種算法。為此選擇了關(guān)節(jié)變量{θx,θy,α,β,γ}的三組不同值,通過正運(yùn)動學(xué)方程求得其對應(yīng)的6個輪心的高度值，然后反過來利用輪心高度作為所求逆解的已知值來求取關(guān)節(jié)變量，觀察結(jié)果與事先選定的關(guān)節(jié)變量理想值的一致性[14]。為避免所用初值不同造成的影響，三組計算的迭代初值統(tǒng)一選為{θx,θy,α,β,γ}={0,0,0,0,0}，而幾何誘導(dǎo)法的迭代初值也選用θy=0，兩種算法計算結(jié)果所允許的誤差均為ω=1×10-4。測試采用主頻為2.0GHz，內(nèi)存為2.0GB的WindowsXP系統(tǒng)MATLAB平臺。實驗數(shù)據(jù)如表1所示,其中求逆解計算所消耗的時間采用10 000次計算后的平均值。

表1 實驗結(jié)果對比

由實驗數(shù)據(jù)可以看出：幾何誘導(dǎo)法的迭代次數(shù)遠(yuǎn)小于常規(guī)逆解法，所耗費(fèi)的時間是常規(guī)逆解法的幾千分之一甚至更少，特別地，當(dāng)θy=0時，幾何誘導(dǎo)法僅迭代1次即得到理想值?？梢?，在迭代次數(shù)與計算耗時方面，幾何誘導(dǎo)法都明顯優(yōu)于常規(guī)逆解法。

4 結(jié)束語

運(yùn)動方程的常規(guī)逆解法直接從機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)方程出發(fā)，采用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行多元迭代，求解非線性方程組[14]；而幾何誘導(dǎo)法充分挖掘利用機(jī)器人機(jī)構(gòu)的幾何特點(diǎn)[12]，采用盡可能少的關(guān)節(jié)變量表示其他關(guān)節(jié)變量，僅對必要的關(guān)節(jié)變量或某一中間變量進(jìn)行迭代求解[15]，在同樣的運(yùn)算精度要求下減少了迭代次數(shù)，單次迭代運(yùn)算量也大為減少，極大地縮短了求解時間，并且避免了一般多元非線性方程組迭代方法中致命的收斂性問題，能更好地滿足機(jī)器人控制的實時性和準(zhǔn)確性要求。

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Exploration of Geometric Inducing Method in Numerical Iteration for Six-wheeled Robot Inverse Kinematics

CHEN Guang-tao1,Lü Wei-xin2,PENG Jun-jie1

(1.School of Computer Engineering and Sciences,Shanghai University,Shanghai 200444,China;2.Shanghai Advanced Research Institute,Chinese Academy of Sciences,Shanghai 201210,China)

The automatic control of robot has a higher requirement of real-time,and it is important for automatic control to get the solution of robot inverse kinematics.In the traditional method,the solution by numerical iteration is always used,which is universal,but with the problems of slow convergence or non-convergence.Numerical iteration applied to robot inverse kinematics solution may bring the disadvantage of heavy calculation,slow convergence,the unique result not to guarantee,and good real-time performance not to determine.Therefore,a method using the geometric characteristics of robot mechanism is demonstrated to accelerate iteration convergence.It tries to find the parameters describing the geometric characteristics of mechanism studied,and need merely calculation of the iteration of key variables,while the other variables can be obtained by the analytic formula figured out by the geometric characteristics of mechanism.Applying the method can achieve the required precision by less number of iterations on the premise of meeting the real-time performance.Six-wheeled is a model of robot rover which has extensive research and complex mechanism.Numerical simulation of concrete mechanism shows the availability and high efficiency of the method.

robot inverse kinematics;iterative solution;geometric induction;six-wheeled rocker rover

2016-01-07

2016-04-19

時間：2016-11-21

國家自然科學(xué)基金資助項目(61572305)

陳廣濤(1988-)，男，碩士，研究方向為機(jī)器人、機(jī)器視覺；呂偉新，博士，教授，研究方向為機(jī)器人學(xué)、自動化、機(jī)器視覺等；彭俊杰，博士，副教授，CCF會員，研究方向為云計算、嵌入式系統(tǒng)等。

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1450.TP.20161121.1633.018.html

TP301

A

1673-629X(2016)12-0041-04

10.3969/j.issn.1673-629X.2016.12.009