一花一葉一世界一思一悟一禪通
——對一道解析幾何題的探究與啟示

☉江蘇省南京市東山外國語學(xué)校高中部 郭俊

一花一葉一世界一思一悟一禪通
——對一道解析幾何題的探究與啟示

☉江蘇省南京市東山外國語學(xué)校高中部 郭俊

一道好的例題往往意境深遠(yuǎn)、蘊(yùn)含著很多探究的素材，具有較大的再生能力與發(fā)展的空間.因此，我們在選題評講時不能只看表面，要多角度地考慮問題，使思維呈現(xiàn)輻射狀展開，開闊視野，拓展思維，多方位引導(dǎo)學(xué)生對試題進(jìn)行剖析、探究，立足于問題的本質(zhì)，最終提高學(xué)生的思維能力.下面本文從一道例題出發(fā)，層層深入探究，以求進(jìn)行全方位的審視與研究，旨在通過這道題的剖析收獲一片，達(dá)到“一花一葉一世界，一思一悟一禪通”的境界，使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不斷走向高效，現(xiàn)整理如下，供讀者參考！

（Ⅰ）求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程；

（Ⅱ）若過點(diǎn)H（0，h）（h>1）的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點(diǎn)，且l1⊥l2，求h的值.

一、重視細(xì)節(jié)闖難關(guān)

分析：對于這道題目絕大多數(shù)學(xué)生在解答（1）時分析條件不仔細(xì)，運(yùn)算中推理不嚴(yán)謹(jǐn)，沒能發(fā)現(xiàn)曲線的限制條件，找出方程中變量的取值范圍，造成所求的軌跡不具備完整性，也就不能排出橢圓的四個頂點(diǎn)，也就引起第（2）問解答錯誤.對優(yōu)秀學(xué)生的訪談可知也是由于沒有正確地求得曲線的范圍，引起了第（2）問的失誤.由此可見，在教學(xué)中只注重求軌跡方程的解題技巧，而不重視對本質(zhì)的揭示是一個普遍存在的嚴(yán)重問題，必須引起我們的警示和反思.下面通過詳細(xì)的解題過程來分析：

圖1

直線A1P的方程是

直線A2Q的方程是

將l1:y=kx+h代入+y2=1，整理得（1+2k2）x2+4khx+ 2h2-2=0.

若l1與橢圓相切，則Δ=16k2h2-4（1+2k2）（2h2-2）=0，即1+2k2=h2；

同理，若l2與橢圓相切，則

由l1、l2與軌跡E都只有一個交點(diǎn)包含以下四種情況：

（1）l1、l2都與橢圓相切，即1+2k2=h2，且1+2·=h2，消去h2得=k2，即k2=1，從而h2=1+2k2=3，即h=；

（2）l1過點(diǎn)A（1-，0），而l2與橢圓相切，則k·（-）+h=0，1+2·=h2，得

（3）l2過點(diǎn)，而l與橢圓相切，則-·

1+h=0，1+2k2=h2，得

（4）l1過點(diǎn)A（1-，0），而l2過點(diǎn)A（2，0），則k·

通過上面的解題過程分析，現(xiàn)在我們來分析解答中的一些細(xì)節(jié)問題：（1）交軌問題是否一定要解方程求交點(diǎn)？通過聯(lián)立①②的方程組，可以得到如何消去參數(shù)x1、y1？這有一定難度，部分考生會卡在此步.如果變形得到，再化簡便得到軌跡E的方程，總的來說，其實(shí)還是考查常規(guī)的相關(guān)點(diǎn)法（即代入法）.（2）解方程用到的是加減消元法，但如果我們采用乘法，由①×②可以不解方程，更快地得到結(jié)果.這種“設(shè)而不求”，體現(xiàn)了更高的數(shù)學(xué)思想與方法技巧，可見我們在引導(dǎo)學(xué)生分析時不能只注重解法，要探究其本質(zhì).解題分析時最好還補(bǔ)充這個例子：橢圓的長軸為是AA，12P是橢圓上的任一點(diǎn)，求A1P與A2P的垂線的交點(diǎn)Q的軌跡.如法炮制，不解方程容易得到軌跡方程為，還是一個橢圓（如圖2）.

圖2

二、翩翩起舞相伴隨

通過對上面的“優(yōu)美解”，我們在分析過程中還應(yīng)挖掘到：“點(diǎn)P（x1、y1），Q（x1、-y1）關(guān)于x軸對稱”，“點(diǎn)H（0，h）在y軸上，根據(jù)對稱性可知l1和l2與y軸的夾角都是45°”，雖然“優(yōu)美”欺騙了學(xué)生，但是作為老師的我們“充分利用對稱性”造成了不完美，但若把這兩個害群之馬“收編”回一個完整的橢圓中，卻又可以有更多發(fā)現(xiàn)，這也算是一種“補(bǔ)美”吧.從中可以發(fā)現(xiàn)挖掘：雙曲線-y2=1與橢圓+y2=1相映成趣，如圖3，這樣就考慮一個類似的問題：已知橢圓+y2=1的左右頂點(diǎn)分別是A1、A2，PQ為與A1A2垂直的弦.求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程.通過前面的方法可求得直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程是雙曲線-y2= 1，這樣就完全類似上述方法可得一般性的結(jié)論：（1）如圖4，雙曲線=1的頂點(diǎn)分別是A1、A2，弦PQ⊥A1A2，則直線A1P與 A2Q 交點(diǎn)的軌跡是橢圓=1（.2）如圖5，橢圓=1的左右頂點(diǎn)分別是A1、A2，弦PQ⊥A1A2，則直線A1P與 A2Q 交點(diǎn)的軌跡是雙曲線=1；當(dāng)a＝b時，雙曲線為等軸雙曲線，橢圓變?yōu)閳A，結(jié)論仍成立.因此點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x1，-y1）關(guān)于x軸對稱，因此點(diǎn)P是主動點(diǎn)，交點(diǎn)E是被動點(diǎn).如果引入伴隨曲線的概念，可知橢圓的伴隨曲線是雙曲線，雙曲線的伴隨曲線是橢圓.

圖3

圖4

圖5

這時想起龐龍的《兩只蝴蝶》：“我和你纏纏綿綿翩翩飛，飛越這紅塵永相隨……”

雙曲線與橢圓就像翩翩起舞、形影不離的蝴蝶；更像肝膽相照、情同兩手的朋友.因此我們結(jié)合題目條件再深入探究發(fā)現(xiàn)：橢圓的長軸頂點(diǎn)分別是A1、A2，P是雙曲線上的動點(diǎn)，直線A1P與A2P分別與橢圓C1交于點(diǎn)E、T，則直線ET⊥x軸；E是橢圓C1上的動點(diǎn)，A1E與A2E分別與雙曲線C2交于點(diǎn)P、Q，則直線PQ⊥x軸.從中可發(fā)現(xiàn)：這是美妙和諧的對偶，你中有我、我中有你，多么像息息相關(guān)、比翼雙飛的情侶！

三、以美導(dǎo)真啟新篇

數(shù)學(xué)家波利亞曾形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們在成堆地生長，找到一個以后，你就應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能附近就有好幾個.”因此問題解決后應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生從解決的問題出發(fā)，運(yùn)用類比、聯(lián)想、特殊化和一般化的思維方法，派生出一些常規(guī)問題和開放性的問題，使問題“成片開發(fā)”.我們再從上面的解答過程來分析，只需再深入就可以注意到：結(jié)果中出現(xiàn)了1，，這個特殊的數(shù)列，這僅是巧合嗎？通過探究可發(fā)現(xiàn)：（1，0）是橢圓的焦點(diǎn)，（，0）是橢圓的頂點(diǎn)，（，0）是雙曲線的焦點(diǎn)，其中是否隱藏了更深的奧秘？又怎能不令人浮想聯(lián)翩，產(chǎn)生窺探到底的欲望！通過探究并用幾何畫板演示可得.

探究1：過點(diǎn)H（0，h）的兩條直線l1和l2與橢圓mx2+ ny2＝1都只有一個交點(diǎn)，且l1⊥l2，求h的值.

解析：點(diǎn)H（0，h）在y軸上，根據(jù)對稱性可知l1和l2與y軸的夾角都是45°，不妨設(shè)l1的方程是y＝x+h，代入橢圓方程mx2+ny2＝1，得mx2+n（x+h）2＝1，即（m+n）x2+2nhx+nh2-1＝0.

因?yàn)閘1與橢圓相切，所以Δ=4n2h2-4（m+n）（nh2-1）= 0，化簡得，于是在橢圓=中，h2a2+b2，四個點(diǎn)連成的正方形剛好與橢圓外切，四個點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心為半徑的圓上.這就再次展現(xiàn)了一種對稱美，通過這個特殊化的細(xì)節(jié)與部分無意間昭示了整體的更多隱秘.我們可探究到：橢圓的兩條切線剛好是正方形所在直線，這是特殊的，能不能去掉這種特殊要求？

首先回到最對稱的曲線——圓中，易知圓x2+y2＝r2的相互垂直的兩條切線的交點(diǎn)E的軌跡還是圓，方程是x2+ y2＝2r2.對于橢圓呢？

探究2：求證：橢圓C1的相互垂直的兩條切線的交點(diǎn)T的軌跡是以點(diǎn)O為圓心為半徑的圓.

證明：如圖6，設(shè)交點(diǎn)T（x0，y0），當(dāng)過點(diǎn)E的切線l1不垂直于x軸時，其方程為y-y0＝k（x-x0），k為斜率，代入橢圓方程，得（a2k2+b2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2［（y0-kx0）2-b2］＝0.

圖6

因?yàn)閘1與橢圓相切，所以Δ＝a4k2（y0-kx0）2-（a2k2+b2）a2·［（y0-kx0）2-b2］＝0，化成關(guān)于k的二次方程（a2-）k2+ 2x0y0k+b2-＝0.

因?yàn)辄c(diǎn)T在橢圓外，且過點(diǎn)T的切線不垂直于x軸，

所以方程恒有兩個根，就是兩條切線的斜率k1、k2.

因?yàn)閮蓷l切線相互垂直，所以k1k2＝-1，所以b2-＝ -（a2-x2

0）.

以x、y代替x0，y0，得到x2+y2＝a2+b2.

當(dāng)過點(diǎn)T的一條切線垂直于x軸時，和它垂直的另一條切線必垂直于y軸，它們的交點(diǎn)為（a，b），（-a，b），（a，-b），（-a，-b），仍滿足x2+y2＝a2+b2.

反之，若點(diǎn)T（x1，y1）是圓x2+y2＝a2+b2上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)T可作橢圓C1的兩條切線l1和l2.

當(dāng)l1、l2中有一條無斜率時，易證l1⊥l2；

當(dāng)l1、l2都有斜率時，由Δ＝0整理得（a2-）k2+2x1y1k+ b2-＝0，該方程的兩個根就是兩條切線的斜率k1、k2，而+＝a2+b2，故k1k2＝-1，所以l1⊥l2.

現(xiàn)在來看一個有趣的問題：已知長軸長為2a，短軸長為2b的橢圓在直角坐標(biāo)平面的第一象限內(nèi)移動，使它始終與兩坐標(biāo)軸相切.試求橢圓中心P的軌跡.

此問題若靜止地從固定坐標(biāo)軸的角度分析是有困難的.但將兩坐標(biāo)軸看成橢圓的動切線移動，問題就變?yōu)椤扒髾E圓的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡”問題.利用探究2的結(jié)果：不論切線如何移動，其交點(diǎn)與原點(diǎn)的距離始終等于■a2+b2，由此可見原問題的橢圓中心P的軌跡為圓弧.通過進(jìn)一步探究繼續(xù)可得：

探究3：設(shè)橢圓+=1的兩條切線的夾角為定值α，當(dāng)α≠90°時，求兩條切線的交點(diǎn)T的軌跡.（所求軌跡方程是（x2+y2-a2-b2）2tan2α=4b2x2+4a2y2-4a2b2）

探究5：拋物線y2＝4ax的兩條切線PA、PB的夾角為定值α?xí)r，求交點(diǎn)P的軌跡.

四、鑒古知今備高考

俗話說：經(jīng)驗(yàn)豐富的人讀書用兩只眼睛，一只眼睛看到紙面上的話，另一只眼睛看到紙的背面.作為高考前線的數(shù)學(xué)教師，同樣也要一只眼睛看到好題，另一只眼睛看到背面，才能真正做到鑒古知今，繼往開來.如下+=1題：給定橢圓C：（a＞b＞0），稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為r=的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個焦點(diǎn)為F（，0），其短軸上的一個端點(diǎn)到F的距離為（.Ⅰ）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；（Ⅱ）P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l1、l2，使得l1、l2與橢圓C都只有一個交點(diǎn)，且l1、l2分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M、N.（1）當(dāng)P為“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時，求l1、l2的方程；（2）求證：|MN|為定值.

其實(shí)上，探究2與探究4得到的結(jié)果是前輩數(shù)學(xué)家早已得到的，它們的軌跡分別稱為橢圓、雙曲線的準(zhǔn)圓，也稱蒙日圓（蒙日，Monge，法國著名數(shù)學(xué)家，他提出一個難題：畫一個圓，使其與三個已知圓正交.這是歷史上最有名的100個初等數(shù)學(xué)難題之一）.

從中也可以看出高考（或模擬）試題總有意無意地從經(jīng)典的解析幾何問題中尋找命題靈感，

五、對今后教學(xué)的啟示

歷年來解析幾何問題一直是高考“重頭戲”，一般情況下它的解答方法靈活多變且運(yùn)算能力要求高，特別是在利用代數(shù)方法求解的過程中，往往會出現(xiàn)“過程冗長、運(yùn)算煩瑣”，而令我們“望而生畏、不戰(zhàn)而退”.因此，我們在平時解決解析幾何問題時就要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“找路”、學(xué)會探究.正所謂“水本無華，相蕩而成漣漪，石本無火，相擊而發(fā)靈火.”因此在進(jìn)行解析幾何解題教學(xué)的過程中不要讓自己的精彩講解扼殺了屬于學(xué)生的一切.要以探究為徑，不斷啟發(fā)點(diǎn)燃學(xué)生的思維火發(fā)，暴露學(xué)生的思維過程，展示學(xué)生的思維成果，放手大膽地讓學(xué)生去進(jìn)行探究，把原本屬于學(xué)生的時間還給學(xué)生，讓他們來探究、來領(lǐng)悟.［1］比如本文從一道例題出發(fā)，通過猜想、驗(yàn)證和代數(shù)證明，將結(jié)論進(jìn)行層層推進(jìn)，形成了一個統(tǒng)一結(jié)論，這樣對學(xué)生思維的培養(yǎng)是高效的，因此教師在平時的教學(xué)中要注意以下幾點(diǎn)：（1）教師要善于捕捉探究資源，教師在教學(xué)中要用“研究者的眼光”去思考問題，將教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行“再創(chuàng)造”，要有敏銳的觀察力，使探究性教學(xué)成為常態(tài)教學(xué)；（2）教師要學(xué)會綜合歸納.對于相互聯(lián)系的問題，教師不僅要學(xué)會從不同側(cè)面分析，更要在不同側(cè)面分析的基礎(chǔ)上，學(xué)會綜合，從整體上得到共性，否則，遇題做題，不經(jīng)過創(chuàng)造，難以達(dá)到一般的認(rèn)識，對該類問題的認(rèn)識只能是停留在表面程度上；（3）做數(shù)學(xué)研究不要輕易放棄自己的每個小小發(fā)現(xiàn)，通過類似研究的方式進(jìn)行深度探究，或許它會給辛勤的數(shù)學(xué)研究者一個意想不到的驚喜.

總之，解析幾何的教學(xué)如山如水，“一山一水一世界，一思一悟一禪通”.在這個過程中如果始終能以學(xué)生的思考、領(lǐng)悟?yàn)橹骶€，不斷以禪意踐行“解題教學(xué)”之旅，引導(dǎo)學(xué)生守住“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”的耐性，不斷引領(lǐng)學(xué)生在解題中向悟法、得法、觸類旁通、完善認(rèn)知等方面靠攏，才可以讓學(xué)生抵達(dá)“驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的最高境界.這樣的教學(xué)讓學(xué)生獲得的不僅僅是知識，更重要的是擁有智慧！

1.林生.從一到高考題的開發(fā)與利用管窺解題教學(xué)［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2013（12）.F