趙夢(mèng)飛

（山東東營(yíng)市一中）

高考解答題中三角函數(shù)的考查形式及應(yīng)對(duì)策略

趙夢(mèng)飛

（山東東營(yíng)市一中）

數(shù)學(xué)是決定高考分?jǐn)?shù)高低的重要科目，其中三角函數(shù)是高考的必考知識(shí)點(diǎn)，所占的分值大約在二十五分左右。通過(guò)對(duì)高考解答題中的三角函數(shù)的考查形式進(jìn)行研究，對(duì)主要形式進(jìn)行總結(jié)，結(jié)合高考真題的解題分析，從而了解解決三角函數(shù)的一般過(guò)程和主要做法。

三角函數(shù)；考查方式；應(yīng)對(duì)策略

一、三角函數(shù)在高考數(shù)學(xué)中的地位和重要性

數(shù)學(xué)作為高中一門(mén)比較困難的學(xué)科，三角函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的七大知識(shí)點(diǎn)之一，所占分值在二十五分左右，大多屬于中檔題，歷來(lái)是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)之一。因?yàn)楦呖荚囶}的滲透性、綜合性較強(qiáng)，在解答題中運(yùn)用到三角函數(shù)知識(shí)的也偏多，所以三角函數(shù)無(wú)疑成為高考得分的亮點(diǎn)之一。三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，和代數(shù)、向量、幾何等都有著密切關(guān)系，大多屬于中檔題，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)。

二、三角函數(shù)在高考中的考查形式和命題分析

（一）高考考查形式

綜合近幾年的高考真題和老師講的高考題型的知識(shí)點(diǎn)分布情況，三角函數(shù)的命題形式主要是填空題和簡(jiǎn)答題，分值在二十五分左右。而近年來(lái)，結(jié)合高考真題和試題分析，發(fā)現(xiàn)在解答題中三角函數(shù)的主要考查形式有三種：一是根據(jù)函數(shù)的解析式確定函數(shù)的性質(zhì)，比如奇偶性、周期性等；二是利用三角函數(shù)的邊角關(guān)系式解決三角形；三則是根據(jù)題目中給出的三角函數(shù)圖象來(lái)求出它的函數(shù)解析式和解決相應(yīng)的性質(zhì)類問(wèn)題。

（二）命題分析

根據(jù)近五年的高考分析，三角函數(shù)的命題趨于穩(wěn)定。命題的主要形式應(yīng)該有四種：

1.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)將是重要考點(diǎn)。三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答綜合題和實(shí)際應(yīng)用題的基礎(chǔ)，而且近年來(lái)高考增加了對(duì)三角變換的考查要求，那么對(duì)圖象和性質(zhì)的考查必定會(huì)加大考查力度。

2.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值仍是常考題型。化簡(jiǎn)求值一般出現(xiàn)在填空題或者簡(jiǎn)答題前兩問(wèn)中，屬于小題。其中必然滲透著較為簡(jiǎn)單的三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，考查考生的三角函數(shù)基本知識(shí)和基本簡(jiǎn)答技能。

3.考實(shí)際應(yīng)用題，建立三角模型。在新教材中增加了三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用，并且用“航海問(wèn)題”專門(mén)作為參考例題，要求考生利用三角模型和基本三角函數(shù)知識(shí)，解決實(shí)際問(wèn)題。考查考生數(shù)形結(jié)合思想和利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。

4.考綜合題，突出三角函數(shù)的性質(zhì)。近年來(lái)高考注重考查綜合題，結(jié)合各知識(shí)點(diǎn)的交匯處，綜合考查考生對(duì)三角函數(shù)恒等變換、化簡(jiǎn)求值、三角函數(shù)基本性質(zhì)和圖象的靈活運(yùn)用能力。這也是將來(lái)高考命題的一個(gè)重要趨勢(shì)。

三、三角函數(shù)簡(jiǎn)答題的應(yīng)對(duì)策略

1.靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題。三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)相對(duì)比較多，除了正余弦定理、倍角公式等，還涉及圖象、平移、平面向量的知識(shí)，需要綜合運(yùn)用。所以要構(gòu)建基本知識(shí)框架，尋找到解決問(wèn)題的主線，靈活運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)知識(shí)來(lái)解答。例如2015年福建文科高考數(shù)學(xué)第21題的第一問(wèn)：要求求出fx的最小正周期。此問(wèn)涉及二倍角公式和正余弦降冪公式，這些都是三角函數(shù)的基本知識(shí)。遇到這種題型，首先得對(duì)fx進(jìn)行化簡(jiǎn)至最簡(jiǎn)形式，進(jìn)而應(yīng)用基礎(chǔ)的周期公式求出周期。

2.善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題。解題應(yīng)該注重對(duì)癥下藥，結(jié)合數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用圖像等來(lái)解決問(wèn)題。很多題目都是通過(guò)圖像的平移、翻轉(zhuǎn)、延長(zhǎng)等形式轉(zhuǎn)化過(guò)來(lái)的，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能夠比較直觀地反映函數(shù)的一些基本性質(zhì)，特別是一些關(guān)于三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題。例如，2014年江蘇蘇州的模擬題中有一題就很有代表性：港口A在觀測(cè)站O的正東方向，OA=4 km。某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15度方向航行一段距離后到達(dá)B處時(shí)，此時(shí)從觀測(cè)站D處測(cè)得該船位于北偏東60度方向，則該船航行的距離（即AB的長(zhǎng)）為多少？在此題中，直接利用數(shù)形結(jié)合無(wú)法解決，應(yīng)該在BO上作出經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的垂線，將一個(gè)沒(méi)有特殊角的三角形AOB分成兩個(gè)直角三角形來(lái)方便解決問(wèn)題，然后再利用特殊角的基本三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)來(lái)解答。遇到三角模型類題型，運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等基本數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題，能夠更有效快速地解答

3.考慮知識(shí)點(diǎn)的交匯處解決問(wèn)題。三角函數(shù)之所以是高考的熱點(diǎn)和必考知識(shí)點(diǎn)，是因?yàn)槿呛瘮?shù)和數(shù)列、向量、幾何等都有著密切聯(lián)系，或許看起來(lái)比較復(fù)雜，但是知識(shí)卻有著交匯處。要建造知識(shí)框架，注意連續(xù)性解決問(wèn)題。任何兩個(gè)或幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)相交匯的問(wèn)題都會(huì)有清晰的脈絡(luò)，首先要看清楚問(wèn)題中到底涉及幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)。其次要明白每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的基本框架和內(nèi)容。最后在解題過(guò)程中弄明白最終的問(wèn)題是什么，就可以分清哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)只是問(wèn)題的載體，而哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解答的方法。

縱觀近幾年的高考形勢(shì)和命題走向，三角函數(shù)在高考中的分值比較高。它的考查方式主要以其性質(zhì)、圖象和正余弦定理，邊角關(guān)系式等為主。而解決此類問(wèn)題，主要在于基本概念、性質(zhì)的掌握公式定理的靈活運(yùn)用。

［1］王麗娜.高中三角函數(shù)高考試題分析及教學(xué)策略研究［D］.河北師范大學(xué)，2016.

［2］陳君.解讀高考題中的三角函數(shù)綜合題［J］.高中數(shù)學(xué)教與寫(xiě)，2011（6）.

·編輯 李建軍