緊扣概念 把握實(shí)質(zhì)

王亞

蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)沒(méi)有給出“坡角”和“坡度”的具體概念，僅僅是在第113頁(yè)問(wèn)題1中給出了斜坡的坡角和坡度i的意義.

如圖1所示，斜坡AB的坡角就是其與水平線的夾角∠A，斜坡AB的坡度i=tanA.

不妨過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AC，垂足為C，在Rt△ABC中，∠C=90°，有tanA=，因此，i=tanA=.根據(jù)三角函數(shù)的概念，我們不難發(fā)現(xiàn)：在斜坡的坡角、坡度i和斜坡的鉛直高度、水平寬度之間存在著如下的密切聯(lián)系.

1. 斜坡AB的坡度i越大，斜坡的坡角A就越大，其坡面AB就越陡；斜坡AB的坡度i越小，斜坡的坡角A就越小，其坡面AB就越平緩.

2. 斜坡的水平寬度一定時(shí)，鉛直高度越高，則斜坡的坡角A就越大，斜坡AB的坡度i越大，其坡面AB就越陡；斜坡的水平寬度一定時(shí)，鉛直高度越低，則斜坡的坡角A就越小，斜坡AB的坡度i越小，其坡面AB就越平緩.

解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，把握其隱含的本質(zhì)特征，建立直角三角形的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用三角函數(shù)加以解答.現(xiàn)舉例加以說(shuō)明，以期幫助同學(xué)們?cè)谟龅酱祟?lèi)問(wèn)題時(shí)掃除障礙.

例1 （2015·濟(jì)寧）如圖2，斜面AC的坡度（CD與AD的比）為1∶2，AC=3米，坡頂有一旗桿BC，旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶相連，若AB=10米，則旗桿BC的高度為（ ）.

A. 5米 B. 6米

C. 8米 D. （3+）米

【解析】由斜面AC的坡度為1∶2知CD與AD的比為1∶2，可設(shè)CD=a，則AD=2a，因此，在Rt△ADC中，由勾股定理得a2+（2a）2=（3）2，解得a=3. 又在Rt△ABD中，設(shè)BC=x，則BD=3+x，AD=6，根據(jù)勾股定理得62+（3+x）2=102，解得x=5，所以本題選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)解決與坡度、坡角相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解坡度的概念，把握其實(shí)質(zhì)建立直角三角形并利用勾股定理建立方程求得結(jié)果.

例2 （2015·十堰）如圖3，小華站在河岸上的G點(diǎn)，看見(jiàn)河里有一小船沿垂直于岸邊的方向劃過(guò)來(lái).此時(shí)，測(cè)得小船C的俯角是∠FDC=30°，若小華的眼睛與地面的距離是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直線，迎水坡的坡度i=4∶3，坡長(zhǎng)AB=8米，點(diǎn)A，B，C，D，F(xiàn)，G在同一個(gè)平面上，則此時(shí)小船C到岸邊的距離CA的長(zhǎng)為_(kāi)______米.（結(jié)果保留根號(hào)）

【分析】由條件，我們可以先構(gòu)造Rt△ABE和Rt△CDH，然后根據(jù)坡度分別計(jì)算出AE和BE的長(zhǎng)，從而求出AH和DH的長(zhǎng).最后在Rt△CDH中，利用tan30°的三角函數(shù)求出CH的長(zhǎng)，再減去AH的長(zhǎng)即可求出小船C到岸邊的距離CA的長(zhǎng).

解：延長(zhǎng)DG，交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AH，垂足為點(diǎn)E，則DH⊥CH，垂足為H.

在Rt△ABE中，i=4∶3，即=，

設(shè)BE=4x，AE=3x，則AB=5x，

由AB=8，得x=，

∴BE==GH，AE=，

∴DH=DG+GH=1.6+=8，

AH=+0.7=.

∵∠FDC=30°，∴∠C=30°，

在Rt△CDH中，∠DHC=90°，tan∠C=，

∴=，∴CH=8，

∴AC=CH-AH=8-.

【點(diǎn)評(píng)】本題以河岸迎水坡的坡度為問(wèn)題背景，考查了同學(xué)們對(duì)坡度概念的理解，解答本題的關(guān)鍵在于構(gòu)建直角三角形，應(yīng)用圖形中隱含的線段之間的比值、三角函數(shù)和勾股定理，建立方程解決問(wèn)題.

例3 如圖4，某市防洪指揮部發(fā)現(xiàn)江邊一處長(zhǎng)400米，高8米，背水坡的坡角為45°的防洪大堤（橫截面為梯形ABCD）急需加固.經(jīng)調(diào)查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：背水坡面用土石進(jìn)行加固，并使上底加寬2米，加固后，背水坡EF的坡度i=1∶2.

（1） 求加固后壩底增加的寬度AF的長(zhǎng)；

（2） 求完成這項(xiàng)工程需要土石多少立方米？

【分析】（1） 由于梯形ABCD的兩底是平行的，則點(diǎn)D、E到底邊AB的距離是相等的，不妨分別過(guò)點(diǎn)E、點(diǎn)D作AB的垂線，設(shè)垂足為G、H.因而，在Rt△EFG中，可以根據(jù)坡面的鉛直高度（即壩高）及坡比，求出FG的長(zhǎng)，同理可在Rt△ADH中求出AH的長(zhǎng)，再由AF=FG+GH-AH求出AF的長(zhǎng).

（2） 梯形AFED的面積乘以壩長(zhǎng)即為所需的土石的體積.根據(jù)（1）中求得的線段長(zhǎng)度，可以先求得梯形AFED的面積，再求得這項(xiàng)工程需要土石的立方米數(shù).

解：（1） 分別過(guò)點(diǎn)E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，

∵四邊形ABCD是梯形，且AB∥CD，

∴DH平行且等于EG，

∴四邊形EGHD是矩形，∴ED=GH.

在Rt△ADH中，∠AHD=90°，∠DAH=45°，

∴AH=DH=8（米），

在Rt△FGE中，i=1∶2=，

∴FG=2EG=16（米），

∴AF=FG+GH-AH=16+2-8=10（米）.

（2） 加寬部分的體積V=S梯形AFED×壩長(zhǎng)=×（2+10）×8×400=19 200（立方米）.

答：（1） 加固后壩底增加的寬度AF為10米；（2） 完成這項(xiàng)工程需要土石19 200立方米.

【點(diǎn)評(píng)】本題以某市防洪指揮部專家組制定的加固方案所需土石的立方數(shù)為問(wèn)題背景，考查同學(xué)們能否靈活應(yīng)用坡度的概念，把握問(wèn)題的實(shí)際本質(zhì)，構(gòu)建直角三角形，應(yīng)用三角函數(shù)化歸數(shù)學(xué)問(wèn)題，使得問(wèn)題迎刃而解.

（作者單位：江蘇省建湖縣匯文實(shí)驗(yàn)初中教育集團(tuán)匯文校區(qū)）