學(xué)習(xí)了“銳角三角函數(shù)”,我們知道了正切、正弦、余弦等三角函數(shù)的概念,和老師還一起探索了30°、45°、60°角的三角函數(shù)值.應(yīng)用探求這些值的方法,我們還能夠?qū)⑵綍r經(jīng)常遇到的15°、36°特殊角放到適當?shù)娜切沃?,求得它們的三角函?shù)值.
一、 求15°角的三角函數(shù)值
如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,不妨設(shè)∠A=15°,則∠ABC=75°.在∠ABC的內(nèi)部作∠ABD=15°,∠ABD的一邊BD交AC于點D,則∠BDC=30°,DB=DA.
根據(jù)“在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”,可以知道BD=2BC.
設(shè)BC=k,則BD=2k,AD=2k.
在Rt△DBC中,∠DCB=90°,
所以CD==k,
AC=AD+CD=(2+)k.
同樣的方法,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
AB==(+)k,
所以sinA==
=,
cosA==
=,
tanA===2-.
因此,我們可以得到15°角的三角函數(shù)值為:
sin15°=,
cos15°=,
tan15°=2-.
二、 求36°角的三角函數(shù)值
如圖2,在△ABC中,AC=BC,不妨設(shè)∠C=36°,則∠ABC=∠CAB=72°.作∠CAB的角平分線AD交BC與點D.
因此∠BAD=∠CAD=36°,則∠C=∠CAD,CD=AD.又∠ADB=∠ABC=72°,則AB=AD,所以CD=AD=AB.由圖形中的∠BAD=∠C=36°,∠B=∠B,根據(jù)三角形相似的條件,可以知道其中的△ABC∽△DBA,所以=,即AB2=BC·DB,則CD2=BC·DB.
由此,根據(jù)黃金分割點的定義知道點D就是線段BC的黃金分割點,
所以=,=.
設(shè)BC=2k,則CD=(-1)k,DB=(3-)k,AC=2k.
過點A作AH⊥BC,垂足為H.由AD=AB,可得DH=k,CH=CD+DH=k.
在Rt△ACH中,∠AHC=90°,
AH==k,
所以sinC==
=,
cosC===,
tanC==
=.
因此,我們可以得到36°角的三角函數(shù)值(利用計算器求得它們的近似值)為:
sin36°=≈0.587 7,
cos36°=≈0.809 0,
tan36°=
≈0.726 5.
通過對15°、36°特殊角三角函數(shù)值的求解,我感悟到解決數(shù)學(xué)問題時,不僅要記住數(shù)學(xué)概念,更重要的是抓住概念本身所隱含的方法和解題策略,同時還要聯(lián)系所學(xué)的數(shù)學(xué)知識靈活應(yīng)用,融會貫通.
王老師點評:張錦陽同學(xué)愛動腦筋,勤于思考,不停留于課本中介紹的30°、45°、60°角三角函數(shù)值的理解和掌握,能夠靈活應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識對平時常見的角度進行深入探討.他應(yīng)用三角函數(shù)概念本身隱含的化歸思想,將15°的特殊角放在直角三角形中,利用角度之間的關(guān)系構(gòu)造等腰三角形和30°角,進而求得15°的特殊角的三角函數(shù)值;將36°的特殊角放在黃金三角形中,利用角度之間的關(guān)系構(gòu)造相似三角形揭示邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系,并化歸為直角三角形,進而求得36°的特殊角的三角函數(shù)值.小作者對于自己目前無法化簡的二次根式還利用計算器求得近似值,更體現(xiàn)小作者解題的嚴謹性.
(指導(dǎo)教師:王競進)