陳陽，吳春富，馬桂芳

（龍巖學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，福建龍巖364000）

基于Matlab的線性二次高斯控制教學(xué)
——以旋翼飛行機(jī)器人的控制為例

陳陽，吳春富，馬桂芳

（龍巖學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，福建龍巖364000）

以基于線性二次高斯控制的旋翼飛行機(jī)器人的速度跟蹤穩(wěn)定控制為例，在Matlab軟件中進(jìn)行編程計(jì)算及仿真，將抽象的線性二次高斯控制問題具體化，并就代價函數(shù)參數(shù)矩陣的選擇對系統(tǒng)的控制響應(yīng)性能的影響進(jìn)行了分析.整個建模仿真過程能夠幫助學(xué)生理解和掌握線性二次高斯控制理論.

線性二次高斯；旋翼飛行機(jī)器人；計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)

在現(xiàn)代控制理論課程中，線性二次高斯（LQG）控制一般安排在該課程的最后教學(xué)環(huán)節(jié)中，其涉及了該課程前期的系統(tǒng)狀態(tài)空間描述、能控制、能觀性及穩(wěn)定性等理論，通過LQG控制技術(shù)的學(xué)習(xí)能夠?qū)F(xiàn)代控制理論教學(xué)內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來［1］.然而實(shí)際教學(xué)往往采用公式推導(dǎo)的方式開展理論教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生對這一現(xiàn)代控制技術(shù)理解不夠深入.特別是LQG控制技術(shù)中涉及的狀態(tài)空間方法有著實(shí)際工程背景，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣描述了被控對象的內(nèi)在聯(lián)系.在一些復(fù)雜系統(tǒng)的控制中，LQG控制技術(shù)設(shè)計(jì)的控制器能夠考慮到系統(tǒng)狀態(tài)之間的耦合關(guān)系，因此其在雷達(dá)天線的旋轉(zhuǎn)跟蹤控制［2］，船舶的運(yùn)動控制［3］，飛行器的飛行控制［4］,汽車懸架控制［5］等領(lǐng)域都得到應(yīng)用.基于LQG控制技術(shù)是一項(xiàng)與實(shí)際工程的模型系統(tǒng)密切相關(guān)的理論技術(shù)的考慮，如何幫助學(xué)生形象地理解并掌握LQG控制技術(shù)是教學(xué)中的難點(diǎn).

本文以實(shí)際科研過程中的旋翼飛行機(jī)器人水平面動力學(xué)模型的速度跟蹤穩(wěn)定控制為例，進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，由于旋翼飛行機(jī)器人與生俱來的動力學(xué)狀態(tài)耦合［6］，采用LQG控制技術(shù)能夠綜合考慮系統(tǒng)狀態(tài)間的聯(lián)系.本文將基于Matlab控制系統(tǒng)輔助設(shè)計(jì)軟件進(jìn)行LQG速度跟蹤穩(wěn)定控制器的設(shè)計(jì)、仿真與分析，并對LQG設(shè)計(jì)過程中涉及到的兩個關(guān)鍵權(quán)值矩陣對系統(tǒng)響應(yīng)性能的影響進(jìn)行分析，整個系統(tǒng)在Matlab的Simulink環(huán)境中進(jìn)行仿真，形象直觀，利于學(xué)生掌握線性二次高斯控制理論的各個環(huán)節(jié).

1 基于LQG技術(shù)的旋翼飛行機(jī)器人的姿態(tài)穩(wěn)定控制

1.1 旋翼飛行機(jī)器人水平面動力學(xué)模型描述

當(dāng)小型旋翼飛行機(jī)器人工作于懸?；虻退亠w行狀態(tài)下時，其動力學(xué)可分為耦合性可以忽略的兩個部分：一是作用于水平面的動力學(xué)，二是作用于垂直面的動力學(xué)，其中水平面的動力學(xué)主要由主旋翼產(chǎn)生的橫向與側(cè)向運(yùn)動構(gòu)成.此時旋翼飛行機(jī)器人用于控制律設(shè)計(jì)的水平面線性化模型的狀態(tài)空間表示形式如下式所示：

其中，系統(tǒng)狀態(tài)向量x=[u v θ φ q p asbs]T，u與v分別為前向及側(cè)向線速度、θ與φ分別為俯角及滾轉(zhuǎn)角、q與p分別為俯仰角速率及滾轉(zhuǎn)角速率、as與bs為帶有伺服小翼的旋翼揮舞運(yùn)動在俯仰及滾轉(zhuǎn)通道的描述.系統(tǒng)控制向量u=[B1sA1s]T，B1s及A1s分別為俯仰及偏航通道的控制量.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A、控制矩陣B及觀測矩陣C分別為：

式（2）矩陣C中的I6×6為6階單位矩陣，O6×6為6行2列的零矩陣.對于式（1）及式（2）所示的線性時不變系統(tǒng)，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A的特征值為系統(tǒng)的極點(diǎn)，可以體現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性［1,7］.在Matlab中通過命令Eig函數(shù)可以求出矩陣的特征值及特征向量，通過分析特征值與特征向量可以分析系統(tǒng)的動力學(xué)特性［7］，包括穩(wěn)定性與否，每種模態(tài)的固有頻率、阻尼比，以及系統(tǒng)中每個狀態(tài)量對給定輸出的貢獻(xiàn)程度的大小.表1所示為旋翼飛行機(jī)器人水平面模型對應(yīng)的8個特征值，可以發(fā)現(xiàn)其中存在兩個包含正實(shí)部的特征根，此組特征值對應(yīng)旋翼飛行機(jī)器人的非穩(wěn)定模態(tài)，主要由前向及側(cè)向速度引起，可知系統(tǒng)不能長時間保持穩(wěn)定懸停狀態(tài)，這與實(shí)際情況相符.因此小型旋翼飛行機(jī)器人在懸停或低速飛行時，其在長周期模態(tài)下是不穩(wěn)定的.

表1 旋翼飛行機(jī)器人水平面模型的系統(tǒng)極點(diǎn)

1.2 基于LQG的速度姿態(tài)穩(wěn)定跟蹤控制

從上一節(jié)可以發(fā)現(xiàn)，旋翼飛行機(jī)器人的水平面動力學(xué)模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含一對非穩(wěn)定的特征根，因此需要控制器鎮(zhèn)定其中的非穩(wěn)定模態(tài)以保證飛行機(jī)器人的穩(wěn)定控制.另一方面，從旋翼飛行機(jī)器人的線性模型可以知道，水平面模型中的狀態(tài)量as及bs不能通過傳感器直接測量出來.實(shí)際工程中的LQG設(shè)計(jì)是通過將線性二次狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)器（LQR）與觀測器結(jié)合起來而完成的.一方面LQR技術(shù)將鎮(zhèn)定系統(tǒng)的非穩(wěn)定狀態(tài)，另一方面觀測器將估計(jì)系統(tǒng)中的非測量狀態(tài)，同時能夠很好地跟蹤參考線速度uref及vref.整個控制器設(shè)計(jì)依據(jù)分離原則，包括LQR設(shè)計(jì)及線性二次估計(jì)（LQE）設(shè)計(jì)兩部分.圖1所示為在Matlab/Simulink中搭建的基于LQG的飛行機(jī)器人速度跟蹤控制器仿真圖、其中的前饋環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)及反饋環(huán)節(jié)的參數(shù)由LQR設(shè)計(jì)，估計(jì)器由LQE設(shè)計(jì).

圖1 Matlab/Simulink中進(jìn)行LQG控制器仿真

1.2.1 LQR跟蹤控制器

LQR控制器考慮了系統(tǒng)本身的耦合特性以鎮(zhèn)定旋翼飛行機(jī)器人，同時控制器中的積分及前饋兩個環(huán)節(jié)是為了提高跟蹤精度及響應(yīng)速度.

為考慮系統(tǒng)對給定速度的跟蹤性能，將系統(tǒng)（1）增加性能輸出向量z如下：

參考指令r(t)與性能輸出z(t)之差表示為e=r-z，則e的積分為并定義新的狀態(tài)向量為x^=得到新的狀態(tài)方程為：

式（5）中Q是一半正定對稱矩陣，R為正定對稱矩陣.應(yīng)用最優(yōu)控制理論［1,7］可得優(yōu)化控制器如下：

式（6）中控制參數(shù)kx^及kr可通過Matlab中Lqr函數(shù)求得.

1.2.2 LQE設(shè)計(jì)

考慮線性系統(tǒng)模型式（1）包含擾動的形式如下：

式（7）中w為過程噪聲，v為觀測噪聲，并假設(shè)為互不相干的零均值高斯白噪聲，且協(xié)方差矩陣分別為Qf及Rf.則可得優(yōu)化估計(jì)器為：

式（8）中估計(jì)增益kf可通過Matlab中Lqe函數(shù)求得.

2 Matlab中仿真實(shí)驗(yàn)分析

在使用LQG技術(shù)進(jìn)行速度姿態(tài)穩(wěn)定跟蹤控制時，從式（6）可知，矩陣Q及R分別是一個4維及2維的對稱方陣，為了簡化計(jì)算，實(shí)際中分別取Q及R為對角矩陣，根據(jù)LQR相關(guān)優(yōu)化理論可知，大致有當(dāng)Q陣中某一元素的權(quán)值增大時，與其對應(yīng)的狀態(tài)量的動態(tài)響應(yīng)過程好轉(zhuǎn)，系統(tǒng)快速性得到明顯提高，但相應(yīng)地引入一些振蕩；當(dāng)R中某一元素權(quán)值增大時，被控量幅值顯著減小，對應(yīng)的動態(tài)性能有所改善，但不顯著.故首先通過在Matlab上針對不同Q、R下通過編程進(jìn)行控制器計(jì)算，而后在Matlab中的Simulink環(huán)境中進(jìn)行仿真，最后對比相關(guān)性能選取一組較為合適取值下的控制器參數(shù).解算LQE估計(jì)器時涉及的Qf及Rf分別取為：Qf=0.001I8×8，Rf=0.001I6×6.

圖2 Q=diag(0.3,0.6,0.018,0.036)，R=diag(15,10)下速度跟蹤響應(yīng)

圖3 Q=diag(0.3,0.75,0.015,0.0375)，R=diag(15,20)下速度跟蹤響應(yīng)

圖4 Q=diag(0.3,0.6,0.0075,0.015)，R=diag(20,10)下速度跟蹤響應(yīng)

圖5 Q=diag(4,3,0.16,0.12)，R=diag(37.5,50)下速度跟蹤響應(yīng)

圖2～5所示為不同Q、R下，基于擴(kuò)展LQG控制器的前向及側(cè)向目標(biāo)速度跟蹤響應(yīng)圖，可以發(fā)現(xiàn)4種Q、R取值情況下，速度跟蹤響應(yīng)曲線都有一定程度的超調(diào)，但最后都回歸到了穩(wěn)態(tài)，實(shí)際上前饋部分的引入在加快系統(tǒng)響應(yīng)的同時，另一方面也引入了一定的超調(diào)，盡管如此，通過調(diào)節(jié)Q、R值，能夠在超調(diào)與響應(yīng)時間之間得到一個折衷的選擇.為進(jìn)一步比較上述四種不同Q、R取值情況下的控制系統(tǒng)響應(yīng)性能，定義三個性能指標(biāo)，一是階躍響應(yīng)上升時間為：系統(tǒng)響應(yīng)從0%到最終值95%所需的時間；二為最大超調(diào)量：（系統(tǒng)階躍響應(yīng)最大值—系統(tǒng)階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)終值）/系統(tǒng)階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)終值；三為系統(tǒng)階躍響應(yīng)與設(shè)定值之間的均方差；表2展示了不同Q、R取值情況下橫向及側(cè)向速度的跟蹤性能.

表2 不同Q、R取值情況下橫向及側(cè)向速度的跟蹤性能比較

表3 旋翼飛行機(jī)器人增廣水平面模型鎮(zhèn)定后的極點(diǎn)

從表2可以看出，不同Q、R取值下得到的控制器對前向及側(cè)向目標(biāo)速度的跟蹤性能在三個指標(biāo)上具有差異性，從系統(tǒng)的響應(yīng)速度上來說，矩陣Q上的值越大，對應(yīng)目標(biāo)速度跟蹤響應(yīng)越快，但是從表中對比可以發(fā)現(xiàn)，控制系統(tǒng)對目標(biāo)速度的響應(yīng)時間、超調(diào)量及跟蹤精度不可能所有都達(dá)到最優(yōu)，亦即當(dāng)最大超調(diào)量為小時，系統(tǒng)的上升時間未必為短，如此，在實(shí)際控制器參數(shù)選擇時，需要進(jìn)行一個折衷的考慮，根據(jù)上表可以發(fā)現(xiàn)，不同參數(shù)下得到的控制器對目標(biāo)前向速度的響應(yīng)時間在1.861～2.087 s之間，對目標(biāo)側(cè)向速度的響應(yīng)時間在1.488～1.622 s之間，當(dāng)飛行機(jī)器人工作于懸停及低速飛行狀態(tài)時，可以認(rèn)為此長度的響應(yīng)時間對飛行機(jī)器人的飛行影響不大，因此上升時間的指標(biāo)不作為實(shí)際控制器設(shè)計(jì)的一個重要指標(biāo).考察最大超調(diào)量及速度跟蹤均方差兩個指標(biāo)時，發(fā)現(xiàn)基于第三種Q、R參數(shù)下所得到的控制器產(chǎn)生的響應(yīng)性能相對較優(yōu)（超調(diào)與MSE均較?。?，故選擇此情況下得到的控制器用以實(shí)現(xiàn)水平面模型的速度姿態(tài)穩(wěn)定跟蹤控制.表3所示為第三種參數(shù)下旋翼飛行機(jī)器人增廣水平面模型鎮(zhèn)定后的極點(diǎn)，相比較于表1，可發(fā)現(xiàn)非穩(wěn)定極點(diǎn)得到了鎮(zhèn)定.

3 結(jié)論

本文針對線性二次高斯控制問題，以實(shí)際科研中涉及的旋翼飛行機(jī)器人的水平動力學(xué)速度跟蹤穩(wěn)定控制為例，利用Matlab語言編程，分析了模型的穩(wěn)定性，而后求解速度姿態(tài)穩(wěn)定控制器，并針對LQG中涉及的參數(shù)矩陣的不同取值進(jìn)行了仿真分析，在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)了把抽象現(xiàn)代控制理論知識具體化和形象化，加深了學(xué)生對相關(guān)概念的理解，提高了學(xué)生應(yīng)用Matlab解決控制問題的能力.

［1］俞立.現(xiàn)代控制理論[M].清華大學(xué)出版社,2007.

［2］Gawronski W.Modeling and Control of Antennas and Telescopes[M].Netherlands:Springer,2008.

［3］Zhang G,Li P.Augmented LQG Method for Optimal Control of Ship Shaft-Generator[J].Journal of Convergence Information Technology,2013,8(1):362-372.

［4］Minh L D,Ha C.Modeling and Control of Quadrotor MAV using Vision-based Measurement[C].International Forum on Strategic Technology,2010:70-75.

［5］劉海生.Simulik在汽車主動懸架LQG控制仿真中的應(yīng)用[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造,2008(8):106-107.

［6］Cai G,Chen B M,Dong X,et al.Design and Implementation of a Robust and Nonlinear Flight Control System for an Unmanned Helicopter[J].Mechatronics,2011,21(5):803-820.

［7］鄭大鐘.線性系統(tǒng)理論[M].北京：清華大學(xué)出版社，2012.

Teaching Linear Quadratic Gaussian Control Based on Matlab——A Case Study of the Stability Control of a Rotor Flying Robot

CHEN Yang,WU Chun-fu,MA Gui-fang
（1.School of Mechanical and Electrical Engineering，Longyan University，Longyan 364000,Fujian，China）

The velocity tracking control of the rotor flying robot based on the Linear quadratic Gaussian(LQG) technique was taken as an example which was programmed and simulated in MATLAB.The abstract linear quadratic Gaussian control problem was specific,and the parameter matrix of the cost function which will influence the system's control response performance was analyzed.The processing of the modeling and simulation can help students to understand and master the linear quadratic Gaussian control theory.

linear quadratic Gaussian;rotor flying robot;computer-aid instruction

G642.0

A

1007-5348（2016）12-0078-06

（責(zé)任編輯：邵曉軍）

2016-07-06

福建省中青年教師教育科研項(xiàng)目（JA15492）；龍巖學(xué)院2014年教改項(xiàng)目（2014JY38）.

陳陽（1985-），男，福建龍巖人，龍巖學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院講師；研究方向：飛行機(jī)器人導(dǎo)航制導(dǎo)與控制.