廣義逆及其在線性方程組中的應(yīng)用

陳保周

摘 要：現(xiàn)實(shí)生活中，很多現(xiàn)實(shí)問題最終都可以轉(zhuǎn)化成線性方程組的求解問題，如何求解線性方程組的解成為解決很多問題的關(guān)鍵。線性代數(shù)課程中可以解決系數(shù)矩陣為可逆方陣的線性方程組的解的問題，而對于系數(shù)矩陣不是方陣或者不可逆的時(shí)候，是沒有很好的方法的。本文首先給出了一般矩陣廣義逆的概念。然后利用矩陣的廣義逆指出了線性方程組解的存在條件，并給出了具體的求解步驟，最后列舉了具體的求解實(shí)例。本文的研究對于一般線性方程組的求解問題具有一定的指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：矩陣；廣義逆矩陣；線性方程組；最小二乘解

一、引言

現(xiàn)實(shí)生活中，很多現(xiàn)實(shí)問題最終都可以轉(zhuǎn)化成線性方程組的求解問題，如何求解線性方程組的解成為解決很多問題的關(guān)鍵。線性代數(shù)課程中對于相容線性方程組 ，如果矩陣 是方陣且可逆，那么線性方程組的解。對于不相容的方程組我們通常稱為無解。無解的線性方程組是很乏味且沒有實(shí)際意義的。但事實(shí)上，在很多實(shí)際問題中，如數(shù)據(jù)處理、多元分析、最優(yōu)化理論、現(xiàn)代控制理論、網(wǎng)絡(luò)理論等學(xué)科中，我們所遇到的方程組往往是不相容的方程組。所以，我們就在想當(dāng)一個(gè)方程組的系數(shù)矩陣不是方陣或者不可逆的時(shí)候，是不是也存在類似的解的表達(dá)形式呢？對于這類問題，E.H.Moore于1920年在美國數(shù)學(xué)會(huì)上提出了他的廣義逆矩陣的一個(gè)論文摘要。論文發(fā)表在他死后的1935年。直到1955年，R.Penrose發(fā)表了和E.H.Moore等價(jià)的廣義逆矩陣?yán)碚?，同年Rao提出了更一般的廣義逆矩陣的概念。廣義逆矩陣的出現(xiàn)，不僅從理論上還從實(shí)際應(yīng)用上使得線性方程組的理論更加系統(tǒng)化，為線性方程組的求解問題提供了更廣闊的思路。當(dāng)一個(gè)方程組的系數(shù)矩陣不是方陣或者不可逆的時(shí)候，我們不能求得的解，而可以利用廣義逆矩陣求得 使得 最小，當(dāng)為歐式范數(shù)時(shí)，這樣的解稱為線性方程組的最小二乘解。這就是本文將要討論的問題。

二、相關(guān)定義與定理

定義1 設(shè) 是行最大秩的 階實(shí)矩陣 ，如果存在一個(gè)階矩陣 ，當(dāng)右乘后得到一個(gè) 階單位陣I，即 則叫做的右逆，

記作 （1）

一般來說，右逆 可用下面的方法來計(jì)算，因?yàn)槭?滿秩的方陣，故有 （2）

比較式（1） 和（2），可得 （3）

定義2 設(shè)是列最大秩的實(shí)矩陣，如果存在一個(gè)階矩陣，當(dāng)左乘后得到一個(gè) 階單位陣，即 （4）

則 叫做的左逆，記做 ，這就是說，有 （5）

同理可得計(jì)算的公式是 （6）

這里值得指出的是，對于行（或列）最大秩的階矩陣，和是不可能同時(shí)存在的。顯然，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，同時(shí)存在，并且就等于普通的逆矩陣 。

定義3 設(shè)復(fù)矩陣，若有一個(gè)矩陣，滿足：

及 （AX）H=AX，

則稱為的最小二乘廣義逆，記作

定理1 不相容方程組AX=b有最小二乘解

， （7）

其中是的最小二乘廣義逆.

證明 設(shè)是的一個(gè)最小二乘廣義逆，，于是對任意的恒有，

所以，是不相容方程組Ax=b的最小二乘解.

必須注意，矛盾方程組（不相容方程組）的最小二乘解導(dǎo)致的誤差平方和（即在最小二乘意義下）是唯一的，但是，最小二乘解可以不惟一。為此，有下面的定理。

定理2 不相容方程組Ax=b的最小二乘解可表示為

， （8）

其中是任意列向量.

證明 先證（8）式中的確為最小二乘解.因?yàn)槭茿x=b的最小二乘解，所以取最小值，而，所以，

也取最小值，即為最小二乘解.

再證Ax=b的任一個(gè)最小二乘解必可表示成（8）式的形式.事實(shí)上，類似于定理1的證明有

從而有，即，這說明 為齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)解，所以，

，即 ，

其中是任意列向量.

如定理2所述，不相容方程組的最小二乘解不是唯一的，而由前面章節(jié)知道最小二乘廣義逆也不是唯一的，并且，最小二乘廣義逆的通式與最小二乘解的通式（8）形式上有類似之處。

三、實(shí)例分析

在最小二乘解、曲線擬合和多元線性回歸分析中常常要計(jì)算不相容方程組的最小二乘解.廣義逆矩陣的理論使得求不相容方程組最小二乘解的方法簡單化、標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)范化了.整個(gè)求解過程的關(guān)鍵在于求出的最小二乘廣義逆，而用不著先求誤差平方和，再利用極值條件，最后求解一個(gè)新的方程組等一系列煩瑣的步驟。

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