付夕聯(lián)，張玉峰，馮濱魯，譚成波，張耀明

（1.山東理工大學 理學院，山東 淄博 255049；2.中國礦業(yè)大學 理學院，江蘇 徐州 221116；3.濰坊學院 數(shù)學與信息科學學院，山東 濰坊 261061）

教育形態(tài)的數(shù)學知識系統(tǒng)的構成、特點及存在狀態(tài)

付夕聯(lián)1，張玉峰2，馮濱魯3，譚成波1，張耀明1

（1.山東理工大學 理學院，山東 淄博 255049；2.中國礦業(yè)大學 理學院，江蘇 徐州 221116；3.濰坊學院 數(shù)學與信息科學學院，山東 濰坊 261061）

數(shù)學知識是數(shù)學教師知識內容的基本要素，如何把數(shù)學知識轉化為教育形態(tài)的數(shù)學知識是教師組織教學的一個主要環(huán)節(jié)，也是課堂教學過程的關鍵；從數(shù)學的本體論和認識論、數(shù)學史以及數(shù)學方法論三個角度分析了課堂數(shù)學知識的必要構成要素；科學合理的課堂數(shù)學知識的選擇與設置是數(shù)學知識教育形態(tài)化的基礎與前提；作為教育形態(tài)的數(shù)學知識系統(tǒng)應具有整體性、過程性、層次性；在課堂教學過程中，教師應對教育形態(tài)的數(shù)學知識進行精心設計，使其體現(xiàn)出描述狀態(tài)、開放狀態(tài)和對話狀態(tài).

數(shù)學知識；教育形態(tài)；數(shù)學史；數(shù)學思想方法；數(shù)學哲學；數(shù)學文化

一、問題的提出

現(xiàn)行的數(shù)學教材的知識體系往往呈現(xiàn)出演繹型的知識結構，體現(xiàn)出從一般到特殊、從一個整體的質到另一個整體的質的特點。這也就是說，一旦有關定義或原理得到建立，其它的內容就完全建立在嚴格的邏輯推理之上，形成一種由邏輯鏈條連接起來的由定義、原理到性質、推論的機械程序。這就如同美國數(shù)學家戴維斯與赫什所指出的：“現(xiàn)在相當多的數(shù)學教科書具有一種神經質的、令人窒息的特征，書中系統(tǒng)地和頑強地追尋著一個固定的目的。這個目的一旦達到，人們不是感到興奮而是感到虎頭蛇尾。這種書沒有什么地方講這個目的為什么重要或如何重要，而是可能談到這個目的現(xiàn)在可成為達到別的更深入目的的出發(fā)點，……。如果你想責備，就責備歐幾里得吧，因為這種傾向在他那里就已經存在了?！盵1]在傳統(tǒng)教學過程中，正是受到這種教材的影響，教師自覺與不自覺地會形成一種灌輸式的教育態(tài)度和傾向，即把學生看成是一種可以開發(fā)和榨取的土地，大量地灌輸知識，其結果，學生只能呆讀死記而不善于思考，其自身的心理生態(tài)結構遭到嚴重破壞，最終失去了創(chuàng)造力。學生只了解到數(shù)學的嚴謹性，卻不能充分發(fā)揮其想象力；只學會了演繹推理，卻不能進行歸納試驗；只看到了數(shù)學理論的結果，卻不能洞察理論產生的過程。最終使學生對數(shù)學形成了這樣一種片面的理解，即在他（她）的全部數(shù)學學習過程中，嚴格性將成為數(shù)學的一切。

在數(shù)學教學過程中，數(shù)學知識應以怎樣一種形態(tài)呈現(xiàn)給學生就成為數(shù)學教育改革的一項重要內容。關于這一點，張奠宙先生在文[2]中指出數(shù)學具有3種形態(tài),即原始形態(tài)、學術形態(tài)和教育形態(tài)，教育數(shù)學應該是具有教育形態(tài)的數(shù)學，即通過教師的努力，啟發(fā)學生高效率地進行火熱的思考，把人類數(shù)千年的數(shù)學知識體系，使學生容易地接受。在文[3]中，張先生對于教育形態(tài)的數(shù)學又做了進一步的闡述，明確指出在數(shù)學教學過程中應反對“去數(shù)學化”的傾向，以本原問題驅動展現(xiàn)數(shù)學本質。體現(xiàn)數(shù)學本質應做到返璞歸真，平易近人，言之有理，感悟真情。利用數(shù)學史加深學生對數(shù)學本質的理解。文[2]和文[3]對數(shù)學教學改革的理論研究和實踐無疑有著重要的指導意義。此后又出現(xiàn)了一系列的相關文章[4]-[12],盡管這一系列的文章提出的問題、闡述的內容以及研究的方法有所不同，但卻有著共同的特點。主要體現(xiàn)在以下幾個方面：（1）在教學過程中起主導作用的教師是從學術形態(tài)的數(shù)學轉化為教育形態(tài)的數(shù)學的行為主體；（2）脫離了數(shù)學教學過程這一動態(tài)系統(tǒng)，靜態(tài)分析了數(shù)學教師的知識結構；（3）盡管對數(shù)學教師的知識構成成分的提法或名稱存在差異，但數(shù)學教師的知識無外乎是由數(shù)學知識、一般的教育教法知識、心理學知識、實踐性知識及其他知識構成的；（4）數(shù)學教師知識的構成成分對數(shù)學教學產生不同程度的影響。事實上由于教師知識的構成成分的作用不同，對數(shù)學教學過程產生不同程度的影響應該是顯而易見的問題；（5）對數(shù)學教師知識結構的優(yōu)化提出相應的建議；（6）部分文章指出了教學內容知識對數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展的意義。

上述研究主要采用了矛盾分析法，立足于新陳代謝的歷史聯(lián)系；強調統(tǒng)一中的對立和差異，著重于數(shù)學教師教學內容知識的逐層分解，由此確定出教學內容知識的構成，對數(shù)學教師專業(yè)的發(fā)展無疑指明了方向。但文章中并沒有對數(shù)學教學內容知識的基本構成成分—數(shù)學知識做出具體的剖析，也沒涉及到在課堂教學中數(shù)學知識具有怎樣的特點、呈現(xiàn)怎樣的狀態(tài)這一關鍵性問題。下文在對數(shù)學知識的構成成分進行具體分析的基礎上，給出教育形態(tài)的數(shù)學知識系統(tǒng)的特點和存在狀態(tài)。

二、課堂數(shù)學知識構成成分的不同視角

1.從數(shù)學的本體論和認識論的角度看

數(shù)學教學實質上就是在一定觀念指導之下的數(shù)學活動，這里的觀念包括數(shù)學教師的數(shù)學觀、數(shù)學學習觀、數(shù)學教學觀,正確的教學觀與學習觀是建立在正確的數(shù)學觀基礎之上的。在數(shù)學教育中,許多問題都涉及到了數(shù)學的本體論與認識論,諸如數(shù)學知識是動態(tài)的，還是靜態(tài)的；是封閉的，還是開放的；其真理性是絕對的，還是相對的；學生在做數(shù)學時，在做什么？是唯靈論的，經驗主義的，還是心理學的；是形式主義的、直覺主義的，還是邏輯主義的等等,這就必然引出學生在學習數(shù)學時是一種主動的建構過程，還是被動的接受過程等一系列問題。 “沒有關于音律、諧和和結構的經驗，或者沒有形式、顏色和構圖的經驗，誰也不能對音樂或繪畫進行欣賞。而為了欣賞數(shù)學，真正地接觸其本體就更加重要?！弊杂X地繼承、滲透正確的數(shù)學觀，不僅可以使學習者從不自覺的、無意識的狀態(tài)過渡到自覺的狀態(tài)，而且還可以使學習者突破舊的思想觀念的束縛，引起認識上的飛躍，甚至導致重大的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新。因此“數(shù)學觀不只是‘學習’與‘數(shù)學表現(xiàn)’的中介因素，它本身亦可視作一種學習成果?！盵13]

2。從歷史的角度看

研究數(shù)學，既不能忽視邏輯主義的“理性地重建”的主張，也不能忽視歷史主義的“歷史地再現(xiàn)”的主張。數(shù)學知識是人類智慧的結晶，是長期積累而成的。英國數(shù)學家格萊舍（J。W.L.Glaisher, 1848—1928）有一段經典名言：“任何一種企圖將一個學科和它的歷史割裂開來，我確信，沒有哪一個學科比數(shù)學的損失更大?！盵14]影響數(shù)學發(fā)展的要素是多方面的，基于數(shù)學史對數(shù)學教育的作用，研究者認為，從數(shù)學史的角度看，課堂數(shù)學知識應涉及到以下內容：

（1）歷史背景

包括理論產生的社會背景、科學技術發(fā)展狀況以及當時的數(shù)學觀、哲學觀念等，這對學生正確認識數(shù)學與社會生活各方面的關系、激發(fā)學生學習的動力、培養(yǎng)學生正確的數(shù)學觀有著重要意義。

（2）歷史意義及科學價值

縱觀歷史，每個數(shù)學真理的獲取都閃耀著人類思想的光輝，具有重要的歷史意義和科學價值。例如，解析幾何的誕生、微積分的創(chuàng)立以及非歐幾何的出現(xiàn)等都引發(fā)了人們在觀念上的突破，使數(shù)學研究方法實現(xiàn)了革命性的變革。闡述數(shù)學理論或某一理論中概念的歷史意義或科學價值，有助于學生理解該理論或概念在數(shù)學學科中的地位及其在其他領域中的應用。

（3）演變及認知歷程

在概念的發(fā)展、完善的歷史演變過程中，數(shù)學概念的含義往往經過多次變化，這種變化在數(shù)學教育中也有所反映?！斑@在一定意義上正是歷史上思想困惑的邏輯‘重演’。因此考察數(shù)學概念的歷史演變過程，總結前人在理解這些數(shù)學概念演變時的經驗教訓，無疑對今天的數(shù)學教育有著重要的啟發(fā)意義。”[15]概念的歷史演變過程揭示了人類在數(shù)學思想方面的智力探險，由此厘清出數(shù)學家的思維模式和認知歷程，使學生認識到數(shù)學知識是邏輯與非邏輯、理性與非理性交互作用的結果，同時某些概念、某些理論演變過程的復雜性、曲折性也體現(xiàn)出了人類心智的局限性。因此，揭示知識的歷史演變過程，還能體現(xiàn)人性化特點。

（4）數(shù)學家的生平及成長經歷

現(xiàn)行數(shù)學教材這種演繹型的數(shù)學形態(tài)的知識結構中，數(shù)學家的風格被完美化了，所以就隱去了他們成功路上的奮斗與努力、曲折與艱辛這些人性化的方面。榜樣的力量是無窮的，在漫長的歷史發(fā)展中，出現(xiàn)了許多有關數(shù)學家可歌可泣、可嘆可贊的事跡。數(shù)學家在艱苦環(huán)境中那種頑強拼搏、刻苦鉆研的精神以及不畏權威、敢于向傳統(tǒng)思想觀念進行挑戰(zhàn)的勇氣，激勵著一代又一代的年輕人。在教學過程中，適時地介紹數(shù)學家所走過的路和他們對數(shù)學的貢獻，不僅豐富了課堂教學內容，而且活躍了課堂教學氣氛，對學生學習數(shù)學的積極性有著巨大的促進作用。

（5）數(shù)學家的科學素養(yǎng)及品質

數(shù)學家的科學素養(yǎng)及品質主要包括：理性化的哲學素養(yǎng)，深厚的文學底蘊；謙遜和嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度；追求嚴格化、統(tǒng)一化和一般化的數(shù)學信念；懷疑、批判的創(chuàng)新精神、合理繼承前人成果的包容精神以及與他人合作的團隊精神；對數(shù)學簡潔美、和諧美、對稱美、統(tǒng)一美以及奇異美的審美追求；發(fā)現(xiàn)并扶持青年數(shù)學家成長的高貴品質。

3.從數(shù)學方法論的角度看

數(shù)學方法論在我國的深入研究對數(shù)學教育及其改革產生了極其深遠的意義。特別對教學內容的選擇與組織產生了重大影響。在教學過程中,數(shù)學思想方法與實際的數(shù)學活動是密切相關的,這里數(shù)學活動主要體現(xiàn)在兩個方面,即問題解決和基本理論的生成與應用。數(shù)學思想方法寓于問題解決和基本理論的形成過程之中,脫離問題和基本理論學習思想方法是空洞的、抽象的；反之，沒有思想方法的指導，問題解決和基本理論的形成與應用的過程就失去了方向，是僵死的、孤立的、封閉的過程，缺少應有的活力。因此,問題、基本理論和數(shù)學思想方法便構成了課堂教學內容的基本要素。

（1）問題

在現(xiàn)代數(shù)學教育中，問題解決能力的培養(yǎng)已被認為是數(shù)學教育的一個基本目標。問題的提出可以為學生的數(shù)學學習提供重要的動力，而通過問題的解決則使他們感到數(shù)學學習又是一種有意義的活動。在課堂教學過程中，如何很好地協(xié)調教學對象、教學過程與教學目標之間的關系，問題則成為主要的媒介?！敖虒W目標需要問題來展現(xiàn)、教學過程需要問題來活化、教學對象需要問題來觸動。離開問題，數(shù)學教學設計僅定位于單純的靜態(tài)系統(tǒng)、易使目標設計缺乏操作性、過程設計缺乏互動性、評價與監(jiān)控設計缺乏指導性?！盵16]正是由于問題及其解決在數(shù)學教育中的重要地位，作為教育形態(tài)的數(shù)學知識系統(tǒng)，問題就成為不可缺少的一部分關鍵內容。根據(jù)傳統(tǒng)教學存在的不足，課堂教學過程中的數(shù)學問題應特別注重以下幾類：

銜接性問題 “數(shù)學科學是一個不可分割的有機整體，它的生命力正在于各個部分之間的聯(lián)系。盡管數(shù)學知識千差萬別，我們仍然清楚地意識到：在作為整體的數(shù)學中，使用著相同的邏輯工具，存在著概念的親緣關系?！盵17]數(shù)學概念的成長是連續(xù)的，新的數(shù)學概念扎根于舊的概念之中。但是，數(shù)學的學習過程卻不是一個連續(xù)而是間斷的過程。有意義學習的實質就是新舊知識建立聯(lián)系，這種聯(lián)系的過程也就是新舊知識相互作用的過程。這正是由于學生的學習具有適應性的特征所決定的。作為數(shù)學知識的聯(lián)系不僅要注重諸如概念的包含關系、生成關系、對應關系、對偶關系等等，更要強調知識之間在思想方法上的聯(lián)系，如一般化、特殊化的關系，研究對象的聯(lián)系，研究方法的聯(lián)系。正是借助于思想方法上的聯(lián)系，去設置相應的銜接性問題，這類問題對于前后知識的過渡起到承上啟下的作用。

鞏固性問題 即有助于知識系統(tǒng)內的概念、原理、公式的理解、鞏固、深化的問題。這類問題的選擇應具有這樣的特點：第一，具有一定的激勵性，即問題應適應學生當前的知識水平且具有一定的難度，又能激發(fā)學生探求證解問題的興趣；第二，具有一定的普遍性，即問題反映出某類問題的共性，解決這樣的問題不僅有助于鞏固、深化學生學過的知識，而且還可以獲得有關思想方法的啟示；第三，具有一定程度的綜合性，即寓不同的相關概念、定理或公式于同一問題之中，既可以培養(yǎng)學生綜合運用知識解決問題的能力，又可以達到知識系統(tǒng)化的目的；第四，具有一定的開放性，首先，面對這樣的問題，學生可以從不同角度運用不同的知識、不同的方法去完成問題的解答，由此拓展學生的知識面和思維空間。其次，借助于特殊化或一般化方法可以對已有問題進行不同角度的推廣，從而得到更有價值的問題，有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性能力。

應用性問題 “數(shù)學教學之根本目的應當是培養(yǎng)和提高學生處理實際問題的能力，為他們提供應用于其他學科的推理方法，而并不是單純地為了給學生提供某種求解具體問題的工具?！盵18]數(shù)學與我們的現(xiàn)實生活的聯(lián)系愈來愈密切，體現(xiàn)出其廣泛的應用價值,因此培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識就具有重要的現(xiàn)實意義。而實際問題的解決則是培養(yǎng)學生數(shù)學應用意識的有效途徑。作為實際問題的設置應滿足：（1）問題與學生的實際生活密切相關，這類問題很容易引起學生的興趣，激發(fā)學生探求問題解答方法的強烈欲望；（2）問題中應包含著豐富的數(shù)學信息，使學生認識到數(shù)學無處不在，真正地認識到數(shù)學的應用價值；（3）問題的解決過程中應體現(xiàn)出重要的數(shù)學模型思想，由此可以提高學生解決問題的綜合能力。

（2）基本理論

基本理論包括基本概念、基本原理和推論?；靖拍钍菙?shù)學理論體系邏輯建構的起點，是數(shù)學理論體系中的細胞—包含著整體的一切矛盾的“胚芽”，確定了基本概念，整個理論知識的內容由“潛”到“顯”邏輯地展現(xiàn)出來?；驹碇饕ㄟ\算規(guī)律、基本定理和重要公式，對整個理論體系具有統(tǒng)治和支配作用?；靖拍詈突驹淼某橄筮^程遵循著從特殊到一般的認識過程，是相應理論體系中的初級抽象，舍棄了許多特殊的規(guī)定性，因此，它們并非是相應數(shù)學理論體系中的最終抽象，還存在多種反映不同屬性的推廣，即推論。推論的選擇應滿足以下幾點：首先，應是基本概念、基本原理的必要補充與延伸，從而對理解、鞏固和深化基本概念和基本原理具有積極的意義；其次，應是前后知識聯(lián)系的橋梁，有助于完善或協(xié)調理論體系中的知識；第三，具有較強的應用性；第四，在推論的證明過程中，使學習者獲得重要的方法論啟迪。

（3）數(shù)學思想方法

“數(shù)學作為人類思想的表達，反映了積極的愿望，沉思的推理，以及對于美的完善的向往。它的基本要素是邏輯和直覺，分析和構造，一般性與個性。盡管不同的傳統(tǒng)強調不同的方面，然而正是這些矛盾之間的相互作用以及使之綜合的斗爭注入了數(shù)學科學教育的生命和極大的效果?！盵19]如果說數(shù)學知識是思維的結果,那么數(shù)學思想方法則是在相關背景問題的基礎上形成這一結果的觀念和具體的程序化的操作方法。數(shù)學方法主要包括學科內的具體方法、一般的數(shù)學方法和哲學層面方法。思想則是在知識的形成過程中，對知識、思維以及數(shù)學方法的掌握和認知過程中的高度抽象和概括，是對數(shù)學學科或整個理論體系的宏觀把握和內在精神實質的領悟?！皵?shù)學思想方法產生于數(shù)學活動特別是數(shù)學問題解決的實踐，成熟于對數(shù)學活動實踐過程的反思和總結，鞏固于蘊含同一數(shù)學思想方法的問題解決訓練中，發(fā)展于相互聯(lián)系的過程?！盵20]數(shù)學思想方法的教學是數(shù)學教育的最基本的需求。

上述課堂數(shù)學知識的構成中既包含了體現(xiàn)數(shù)學真、善、美這些客觀內容的數(shù)學概念、原理、推論和思想方法，又涉及到了數(shù)學觀、數(shù)學家的科學素養(yǎng)、人格品質、認知歷程、審美追求、思維模式、價值判斷等動態(tài)的、更深層創(chuàng)造性因素。數(shù)學課堂教學內容的選擇與人類整個知識體系的演變是密不可分的，課堂數(shù)學知識與數(shù)學史、數(shù)學哲學應融為一體的。數(shù)學史不僅能告訴人們數(shù)學思想的邏輯和歷史行程，而且還有助于理解數(shù)學學科的社會角色和人文主義?！叭鄙僬軐W的指導，數(shù)學史變成了盲目的歷史；不理睬數(shù)學史上最引人入勝的現(xiàn)象，數(shù)理哲學變成了空洞的哲學”[21]。以數(shù)學史提供豐富生動的素材為基礎，數(shù)學哲學架起連接數(shù)學與人文的橋梁就成為可能。從數(shù)學文化學的角度分析，數(shù)學觀、數(shù)學思想方法以及數(shù)學家的科學素養(yǎng)、人格品質等各要素交互作用，為理論知識的形成創(chuàng)造了一個良好的文化環(huán)境,在這樣的文化環(huán)境中進行教學具有重要意義。因此，科學合理的課堂數(shù)學知識的選擇與設置是數(shù)學知識教育形態(tài)化的基礎與前提。事實上，數(shù)學教師是否具有數(shù)學哲學、數(shù)學方法論、數(shù)學史、數(shù)學文化等知識儲備已成為高效數(shù)學教學行為的內因之一。[22]

作為課堂數(shù)學知識就其構成要素而言具有客觀性，這是由數(shù)學學科的性質決定的；而對其構成要素的選擇而言則又具有主觀性，這是由學生的知識背景和接受能力所決定的。按照系統(tǒng)的原則和方法，對于基本理論的學習，既要厘清這些內容的建立和發(fā)展的來龍去脈，又要把握其內在的結構和外部的聯(lián)系，從它們與上述其他各要素的所有真實關系的總和中去認識和理解。因此，如何把上述要素構成的課堂數(shù)學知識優(yōu)化組織成具有一定結構和功能的教育形態(tài)化的知識系統(tǒng)就成為關鍵。教育形態(tài)的數(shù)學知識無論從特點、狀態(tài)都不同于課本中的數(shù)學知識。

三、教育形態(tài)的數(shù)學知識系統(tǒng)的特點

教學過程是一個由多個相互聯(lián)系、相互依存的子系統(tǒng)構成的復雜系統(tǒng)，按照生態(tài)學的觀點，生命的繁衍生長是靠不同物種之間的共生和互生來支撐的。生態(tài)學強調多樣性的統(tǒng)一，生態(tài)系統(tǒng)中生物與環(huán)境之間、生物各個種群之間，通過能量流動、物質循環(huán)和信息傳遞，相互間達到高度適應、協(xié)調和統(tǒng)一的狀態(tài)。因此，課堂數(shù)學知識應該與教學過程中其他諸如實踐、認知、意識、情感、心理等各系統(tǒng)密切地結合起來。使教育形態(tài)的數(shù)學知識系統(tǒng)具有如下的特點。

1.整體性

我們之所以強調數(shù)學知識系統(tǒng)的整體性，因為數(shù)學知識反映的客觀對象具有系統(tǒng)的整體性,這種整體性又體現(xiàn)出兩個方面，即知識的綜合性和統(tǒng)一性.

（1）綜合性

這里所說的綜合性不是上述各要素的簡單疊加，而是根據(jù)各要素應有的內在聯(lián)系使它們有機地結合在一起，融合成一個具有一定結構的、發(fā)揮（整體）最佳教育功能的知識系統(tǒng)。因此，整合數(shù)學知識的過程實際上就是綜合的過程，具體的應以問題提出為起點，理論知識為載體，以理論知識的引入、抽象、概括、推導過程為嵌入點，使上述各要素與理論知識有機地結合在一起，形成以抽象過程、推導過程為主要聯(lián)系橋梁的網(wǎng)狀知識體系。數(shù)學知識的這種綜合性決定了學生可以運用綜合的認識方法從整體上把握認識對象，即不是著眼于知識的一個方面或某一部分，而是注重知識與知識之間的內在聯(lián)系，注重數(shù)學知識系統(tǒng)的整體結構。從生態(tài)角度看，數(shù)學知識的這種重組、綜合彈性化的設計是恢復課程內容之間的生態(tài)關系、在教材內構建完整知識生態(tài)系統(tǒng)的重要途徑，也是數(shù)學課堂回歸自然、數(shù)學教學過程多向互動、動態(tài)生成的基礎。

（2）統(tǒng)一性

所謂數(shù)學知識的統(tǒng)一性，一方面是指各種不同概念、原理或運算方法在更高層次上達到統(tǒng)一，即統(tǒng)一于某一結構或某一觀點，在高觀點下去理解具體的數(shù)學內容。如在線性代數(shù)中就存在3種不同的推理模式：某種程度上直接給出對象并在心中努力描繪的綜合—幾何模式；由公式可以直接進行計算的分析—算術模式；由一組性質定義進行思考的分析—結構模式。另一方面，上述各要素結合的最終目的就是讓學生進行“火熱的思考”，讓學生從不同的角度更全面地理解鞏固、深化所學過的知識。因此，作為數(shù)學史、數(shù)學哲學與數(shù)學文化層面等內容的選擇，其深度與廣度應與課程目標、教學目的、學科發(fā)展以及學生既有的文化背景相協(xié)調、相一致。關于這一點文[23]給出了指導性建議：第一，數(shù)學文化必須與數(shù)學課程的總體目標相協(xié)調、相一致。理想的課程設計應該是融知識與文化于一體的。第二，數(shù)學文化應該體現(xiàn)出對于數(shù)學前進方向和數(shù)學思想方法的一種傾向、一種引導和一種歸結，而不僅僅是事實的陳述與歷史的發(fā)現(xiàn)。第三，數(shù)學文化應該與學習者的既有文化系統(tǒng)做一個很好的切合。

2.層次性

教育形態(tài)的數(shù)學知識系統(tǒng)之所以具有層次性就是因為其反映的客觀世界本身具有層次性，從橫向看，無限空間內無數(shù)宇宙同時并存，展現(xiàn)為具有無限多的質；從縱向看，具有無限多樣的質的物體則按照一定的質量限度和空間限度分成無限的物質結構層次。這就必然導致現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系具有層次性。另一方面，人類對數(shù)學對象的認識是由一系列的抽象過程構成的。教育形態(tài)的數(shù)學知識的層次性應突出強調數(shù)學知識的抽象層次，可以分為兩條線索，一條是依據(jù)數(shù)學知識歷史演變過程而確定的抽象層次，另一條則是由數(shù)學教材邏輯順序體現(xiàn)出的抽象層次，這與數(shù)學教材的演繹型知識結是構協(xié)調一致的。研究者認為采取歷史與邏輯相結合的方法是最有效的。在此基礎上可把數(shù)學知識化分為四個層次：第一層次即為數(shù)學教材中表層知識即前面提到的問題及理論知識；第二層次則是隱含在問題解決或理論知識及其抽象過程中思想方法，數(shù)學中的抽象可分為廣義抽象、強抽象和弱抽象，主要體現(xiàn)出特殊化思想和一般化思想，這些思想往往成為知識相互轉化、相互聯(lián)系的橋梁，是優(yōu)化知識結構的有效工具。第三層次則是指數(shù)學發(fā)現(xiàn)、數(shù)學創(chuàng)造過程中思維層面的知識。傳統(tǒng)的數(shù)學教學過程實質上就是一種唯理性教育過程，整個教學過程的組織與展開，有一整套相互配合的概括性原則和由這些規(guī)則在特定情況下的應用規(guī)則所規(guī)定的。這種唯理性教育的理智控制，遏制了學生的自發(fā)性、創(chuàng)造性和個人的主動性，學生很少有發(fā)揚主動精神和進行獨立判斷的余地，毫無自由可言。數(shù)學學科的教育應該是一種完整教育，既要傳授理性知識、培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和邏輯實踐能力，又要重視培養(yǎng)學生的形成目的和動機能力、靈感和直覺能力、猜測能力、情感體驗能力等非理性精神能力，以及意向、情感、意志、信念、信仰等非理性精神力量。第四層次是數(shù)學精神與文化的教學層次.任何一門學科教育的最終目的都是培養(yǎng)學生完滿的人格教育，“人格是個體的各種內在力量較為穩(wěn)固持久的組織系統(tǒng)。這些內在力量不僅僅是指人的理性精神力量，而且還包括人的各種非理性精神力量，是二者的有機組合和整合所形成的一種持久的力量，人的這種持久性力量有助于個人對各種情景作出反應，并進而形成個體較為一致性的行為?！盵24]這一層次的內容重在促進學生心智、個性、觀念、精神等協(xié)調的發(fā)展。

3.過程性

數(shù)學知識之所以呈現(xiàn)出過程性，其一是由于數(shù)學是從量的側面探索和研究客觀世界的，作為數(shù)學研究對象的背景、源泉的客觀世界和客觀事物的存在是一個過程；其二數(shù)學知識又屬于認識的范疇，作為過程，人的認識能力是至上的，但作為任何一個現(xiàn)實狀態(tài)，它又是非至上的，這就構成了認識能力自身的矛盾性，人的認識就是在這種矛盾的不斷出現(xiàn)、不斷被克服的過程中前進的。正是這種矛盾性導致了數(shù)學知識的過程性，數(shù)學知識無疑是抽象思維的產物。馬克思指出：“在人類認識過程中存在著兩條方向相反的道路，在第一條道路上，完整的表象蒸發(fā)為抽象的規(guī)定；在第二條道路上，抽象的規(guī)定在思維的過程中導致具體的再現(xiàn)。”[25]這也就是說，在這兩條相互連結的道路上，認識開始由感性的具體表象通過思維活動分析出各種單向的、孤立的抽象規(guī)定；爾后，這些單向的、孤立的抽象規(guī)定又在思維的行動中被連結起來，綜合成思維的具體再現(xiàn)出來。數(shù)學知識的這種過程性又與其抽象（歷史的或邏輯的）的層次性是密切相關的，作為教育形態(tài)的數(shù)學知識，應該在強調數(shù)學知識的抽象層次的基礎上，注重知識的歷史演變過程，突出數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)過程，使整個教育形態(tài)的數(shù)學知識系統(tǒng)體現(xiàn)出動態(tài)性。

四、教育形態(tài)的數(shù)學知識的存在狀態(tài)

教育形態(tài)的數(shù)學知識系統(tǒng)的整體性揭示了數(shù)學知識與其他學科如數(shù)學史、數(shù)學哲學之間的聯(lián)系，它的層次性和過程性體現(xiàn)出數(shù)學知識的動態(tài)性?？陀^上為學生提供了一個具有生命力的、能夠走向學生的學習客體。在課堂教學過程中，如何通過這一客體與學生的動力結構系統(tǒng)相互作用，發(fā)揮其最大的教育功能，還應該對這一客體進行恰當?shù)脑O計，形成適宜學習者的存在狀態(tài)。設計的核心應著力于以下幾個方面：第一，注重問題的選擇與設置。一切思維是從問題開始的，沒有問題，就沒有質疑?！百|疑是科學研究的始點，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，離不開對學生質疑思維的激發(fā)和保護。在我國，質疑思維是重要的，但質疑精神更重要?！盵26]

在各類問題中，銜接性問題的設計是關鍵，正是通過合理的銜接性問題的巧妙設計，引發(fā)學生的質疑，由此導致知識的生惑點。第二，在分析學習者的知識背景、審美觀念、愛好和情趣的基礎上，按照知識內在的聯(lián)系、美的規(guī)律，并結合數(shù)學家在數(shù)學研究創(chuàng)造過程中的心路歷程，充分暴露數(shù)學知識生態(tài)的“孕育、生長”過程，重新創(chuàng)造和恢復知識的活力。對學生而言，這種重新創(chuàng)造知識的活動就是課堂學習的核心。這是因為“人只有在創(chuàng)造文化的活動中才能成為真正意義上的人，也只有在文化活動中，人才能獲得真正的‘自由’?！盵27]第三，以數(shù)學知識的形成過程為載體，突出數(shù)學觀念、思想、方法的抽象與概括，厘清數(shù)學家進行數(shù)學研究的科學態(tài)度、信念品質、價值判斷和審美追求，加強數(shù)學人文精神的理解與感悟。文化因素是數(shù)學課堂教學過程中最具有吸引力的一部分內容，是調動學生學習情感因素最直接、最有效的動因。以此驅動教學使學習者的情感、意志、品質以及感知、思維、想象得到廣泛的熏陶，拓展學習者的精神空間，實現(xiàn)精神超越，促進學習者的認知結構的形成與發(fā)展，完美學習者人格品質。具體地，教育形態(tài)的數(shù)學知識系統(tǒng)體現(xiàn)出如下的存在狀態(tài)。

1.描述狀態(tài)

傳統(tǒng)數(shù)學教材中的基本概念、基本原理以及公式、法則是借助于判斷式的數(shù)學語言進行闡釋的。由數(shù)學符號、數(shù)學術語和經過加工的自然語言構成的數(shù)學語言是數(shù)學抽象的產物，是表達數(shù)學抽象與數(shù)學概括內容的媒介，也是展現(xiàn)數(shù)學知識、數(shù)學證明的基本工具，是課堂教學過程中師生交流的基本方式。數(shù)學語言具有確定性、簡潔性的特點，同時也具有抽象性的特點，數(shù)學語言的抽象性往往會導致學生識別、理解、轉換、構造、操作、組織以及表達等方面的語言障礙。[28]也恰恰是這種抽象的數(shù)學對象的形式化表示或課堂上形式化分析往往成為數(shù)學是枯燥的源泉。因此，純粹的判斷式的數(shù)學語言表述的數(shù)學知識難免缺少靈氣、缺少親和力，無法給學生掌控自己的行為提供有效的借鑒，更難以召喚學生作為課堂教學過程中的主體而主動參與其中。判斷式的闡釋是思維的結果；描述性的闡釋則意味著思維的開始。處于描述狀態(tài)的數(shù)學知識既是啟發(fā)學生想象力的動力，又是學生進行創(chuàng)造性活動的基礎。因此，數(shù)學知識從判斷式的闡釋狀態(tài)轉化為描述性的闡釋狀態(tài)是數(shù)學知識教育形態(tài)化不可缺少的一個重要環(huán)節(jié)。

教育形態(tài)的數(shù)學知識的描述性從語言的角度應體現(xiàn)出生動、準確、精煉、形象直觀；從知識的角度來看，體現(xiàn)出知識自然的融合性、豐富性，揭示出新舊知識的聯(lián)系，展現(xiàn)出清晰而又合理的網(wǎng)絡知識結構；從思維的角度來看則又體現(xiàn)出重要的化歸思想，即借助于數(shù)學中極其豐富的對立統(tǒng)一關系以及類比關系，如正與負、變與不變、曲與直、有限與無限、特殊與一般等，化抽象為具體、化繁為簡、化難為易、化未知為已知、化不熟悉為熟悉；從效果來看，這種描述性則要體現(xiàn)出親和性、激勵性、啟發(fā)性。由此可以使學生的行為價值判斷具體化，更具有可操作性，因而可以成為學生學習行為的指南。

2.開放狀態(tài)

系統(tǒng)的開放狀態(tài)是指系統(tǒng)總存在于一定的環(huán)境之中，并且與作為環(huán)境的其他系統(tǒng)進行著物質、能量、信息的交換，在這種交換過程中，系統(tǒng)經歷著從低級到高級、從簡單到復雜，從無序到有序不斷優(yōu)化的動態(tài)發(fā)展過程。如前所述，教育形態(tài)的數(shù)學知識系統(tǒng)的構成要素既具有客觀性，又具有主觀性，是客觀與主觀的統(tǒng)一體。作為系統(tǒng)，結構決定要素，要素對結構具有選擇性。教育形態(tài)的數(shù)學知識系統(tǒng)具有相對靜止的穩(wěn)定結構，但在課堂教學中，它又處于動態(tài)的演化發(fā)展過程中。因此，教育形態(tài)的數(shù)學知識系統(tǒng)的開放性首先是指該系統(tǒng)能夠與學生的認知系統(tǒng)、意識系統(tǒng)、情感系統(tǒng)、心理系統(tǒng)等進行信息交流；其次，在教學過程中，為了更好實現(xiàn)教學目標，根據(jù)實際需求，系統(tǒng)內的要素可以隨時進行調整，達到多元化開放的效果?；跀?shù)學在自然科學和社會科學的廣泛應用，該系統(tǒng)還可以輻射到學習者熟知的文學、藝術、音樂、建筑、軍事、經濟、生命、法律等各個領域，由此可以為課堂對話提供極其豐富的信息資源。

3.對話狀態(tài)

教育形態(tài)的數(shù)學知識系統(tǒng)的綜合性為課堂教學引發(fā)對話提供了客觀基礎。無論從數(shù)學哲學、數(shù)學真理、數(shù)學史的角度看，還是從數(shù)學語言、數(shù)學概念以及數(shù)學證明等層面分析都揭示出數(shù)學具有對話特征。而描述性狀態(tài)的數(shù)學知識又使其向對話狀態(tài)轉化成為可能?！皩υ挕痹馐侵溉伺c人之間以語言為中介的談話，作為一項教學原則，這里的“對話”已超出了語言本身的界限，它體現(xiàn)的是教學過程中的一種精神和理念，是對話雙方各自向對方敞開精神和彼此接納，是一種真正意義上的精神平等與溝通，是心靈與心靈的交流與碰撞，是對傳統(tǒng)教學中“學生主體說”、“教師主導說”、“課堂講授論”的根本超越。

各種才能、智力都有其發(fā)展的情感環(huán)境作支撐，情感是人對客觀世界的一種特殊的反應形式，是主體對客體是否符合自己的需要的態(tài)度、感受、體驗等心理狀態(tài)。積極健康的情感，良好的情感環(huán)境可以激發(fā)學生的創(chuàng)造性思維，是學生進行創(chuàng)造性學習活動不可缺少的因素。學生的情感在很大程度上決定著學生學習活動能量的強弱，影響調節(jié)學習活動的速度和持續(xù)時間的長短。在教學過程中，學習者對其所接受內容的感覺都有一個潛意識化、本能化或相關意識麻木的變化趨勢，使其在對話初期的新鮮感、好奇感慢慢淡化。因此，在對話過程中，首先體現(xiàn)出教師所解說的語言、思想與學習者的感覺、接受水平的一致性、相適應性；其次，通過對話適時地調整學習者的情緒，刺激他（她）們理智的熱情，開放他（她）們的心靈，由此激發(fā)學生積極參與對話的強烈愿望；第三，通過對話，引發(fā)學習者自由想象，使學習者真正體驗到成功獲取新知識的愉悅感。事實證明，這種愉悅感會誘使學習者尋找新的問題，進行新一輪的探索，以期享受之前激情得以釋放的滋味，形成良性循環(huán)；第四，打破傳統(tǒng)教學過程中單一的教學模式，采取靈活多樣的教學方法，實施多元對話。既要突出教師與學生之間的對話，又要強調學生與學生、學生與上述的知識系統(tǒng)以及學生與自身的對話，多渠道地彰顯學生的個性，體現(xiàn)出多主體、多層次、多角度的對話狀態(tài)，使得數(shù)學課堂教學真正地走向民主，成為師生互動的多邊活動。

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Constitution,Features and Forms of State
of Mathematics Knowledge in the Form of Education

FU Xi-lian1，ZHANG Yu-feng2，F(xiàn)ENG Bin-lu3，TAN Cheng-bo1，ZHANG Yao-ming1

(1.Shandong University of Technology,Zibo 255049,China；2.China University of Mining and Technology,Xuzhou 221116,China；3.Weifang University，Weifang 261061, China)

Mathematics knowledge is the basic elements in the contents taught by mathematics teachers,It is the key point in the teaching process how to transfer mathematics knowledge to contents in educational forms;This artide analyzed the necessary elements of mathematics knowledge on class from three angles of mathematical ontology and epistemology,history of mathematics and methodology of mathematics;The scientific and reasonable selection and setting of the mathematics knowledge is the foundation and premise of the mathematic knowledge education formation;As a form of education,mathematics knowledge system should have features of entirety, process and hierarchy;In the course of classroom,mathematics knowledge in the form of education should be designed tomade it showthe state ofdescription,open and dialog.

mathematics knowledge;educational state;mathematics history;methodology;philosophy of mathematics;mathematics culture.

G424

A

1671-4288(2016)05-0001-08

責任編輯：王家忠

2016-09-01

中國礦業(yè)大學重點培育教改項目（項目編號：2015CG04）

付夕聯(lián)（1964-），男，山東平度人，山東理工大學教授，主要從事數(shù)學方法論與數(shù)學教育研究。