黃汝廣

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六談?dòng)摄Ｕ摽锤拍畹目刹僮餍?br/>——評(píng)陳波《思維魔方》，兼析“EPR悖論”及“圖靈停機(jī)問(wèn)題”

黃汝廣

針對(duì)陳波《思維魔方》的“希爾伯特超級(jí)旅館”部分進(jìn)行了簡(jiǎn)短評(píng)析，同時(shí)指出反證法必須滿足的四個(gè)基本要求，并通過(guò)分析“EPR悖論”及“圖靈停機(jī)問(wèn)題”，強(qiáng)調(diào)了排除隱性假設(shè)對(duì)反證法的重要性。

希爾伯特超級(jí)旅館；反證法；隱性假設(shè)；EPR悖論；圖靈停機(jī)問(wèn)題

陳波先生的《思維魔方——讓哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家糾結(jié)的悖論》是其學(xué)術(shù)專著《悖論研究》的一個(gè)通俗版本，被譽(yù)為“國(guó)內(nèi)第一本關(guān)于悖論的邏輯科普”［1］。悖論一直是一個(gè)很有趣的話題，然而“悖論雖然重要，但它們對(duì)于關(guān)于基礎(chǔ)的辯論的影響被夸大了?！保?］

《思維魔方》對(duì)康托爾的實(shí)無(wú)窮與對(duì)角線法贊譽(yù)有加，并分析了所謂的希爾伯特超級(jí)旅館。陳先生認(rèn)為，希爾伯特的解答，對(duì)應(yīng)了一些諸如“?0+n=?0”“?0+?0=?0”的算式，表明“普通算術(shù)的很多運(yùn)算對(duì)超窮數(shù)失效”，“在常識(shí)的眼光看來(lái)，無(wú)窮確實(shí)太怪異了！”比如按常識(shí)，“?0+n=?0”兩邊同時(shí)減去?0，結(jié)果是“n=0”！

事實(shí)上，在康托爾集合論中，“?0+n=?0”與數(shù)的運(yùn)算并無(wú)任何關(guān)系，它只不過(guò)是如下法則的一個(gè)方便記憶的“符號(hào)式簡(jiǎn)寫(xiě)”：一個(gè)無(wú)窮可數(shù)集增加有限個(gè)元素后，仍然是一個(gè)無(wú)窮可數(shù)集。然而，這個(gè)法則本質(zhì)上卻混淆了實(shí)無(wú)窮與潛無(wú)窮。比如：當(dāng)希爾伯特說(shuō)超級(jí)旅館住滿了旅客時(shí)，是實(shí)無(wú)窮；而當(dāng)他將已入住旅客依次后挪以空出前面的房間時(shí)，又是潛無(wú)窮了！

筆者曾論證，由于對(duì)角線法存在漏項(xiàng)問(wèn)題，康托爾關(guān)于（0，1）不可數(shù)的證明根本無(wú)效。實(shí)際上，即便不漏項(xiàng)，其證明仍然無(wú)效：按照實(shí)無(wú)窮觀，實(shí)施“一一對(duì)應(yīng)”操作之后，就不應(yīng)還有潛在未對(duì)應(yīng)的數(shù)，但對(duì)角線法偏偏構(gòu)造出了另外的“新”數(shù)，這顯然只能求助于潛無(wú)窮了；退一步，就算“新”數(shù)是實(shí)無(wú)窮的，但只要可數(shù)，根據(jù)“?0+?0=?0”，最終結(jié)果也必然可數(shù)！

在該書(shū)的“邏輯預(yù)備知識(shí)”一節(jié)，陳先生對(duì)歸謬式、反證式推理作了一些介紹，然而不夠詳盡。筆者認(rèn)為，從操作主義的觀點(diǎn)看，一個(gè)有效的歸謬法或反證法論證，應(yīng)符合下列要求：（1）排除一切隱性假設(shè)，保證想要否定的假設(shè)是唯一的；（2）推理過(guò)程有效，并能在有限步驟內(nèi)完成，或者符合完全歸納法；（3）矛盾和假設(shè)必須有邏輯關(guān)系，一旦否定假設(shè)，矛盾應(yīng)隨之消除；（4）矛盾的導(dǎo)出必須涉及不依賴于假設(shè)的事實(shí)（或原理、定理等）。只有滿足了以上條件，我們才好斷言矛盾的根源是在于“唯一假設(shè)”與“事實(shí)”不相容，并進(jìn)而根據(jù)矛盾律否定“唯一假設(shè)”。

關(guān)于假設(shè)“唯一”的重要性，在著名的“EPR悖論”中體現(xiàn)的最為充分。按照馬克斯·雅默《量子力學(xué)的哲學(xué)》的分析，“EPR悖論”的論證包含了四個(gè)前提假設(shè)［3］：（1）物理實(shí)在性判據(jù)；（2）理論完備性條件；（3）量子力學(xué)的有效性；（4）相互作用的定域性。那么邏輯上講可以否定上述任何一個(gè)假設(shè)，但結(jié)果就是愛(ài)因斯坦和玻爾兩人各說(shuō)各話。

我們知道，愛(ài)因斯坦對(duì)量子力學(xué)的幾率解釋很不滿意，他不相信上帝在擲骰子。其實(shí)在“EPR悖論”之前，愛(ài)因斯坦主要是想挑戰(zhàn)量子力學(xué)的有效性，但都被玻爾一一化解了，不得已，才承認(rèn)其有效性，轉(zhuǎn)而否定完備性：認(rèn)為量子力學(xué)的幾率描述，是由于漏了一個(gè)未知的隱變量，而考慮隱變量的完備理論將給出確定性描述。

實(shí)際上，“EPR悖論”的關(guān)鍵是愛(ài)因斯坦認(rèn)為量子糾纏態(tài)不合理［4］，然而量子糾纏態(tài)又是量子力學(xué)的必然推論，因此在邏輯上，或許更應(yīng)該否定其有效性，而不是完備性。不然，所謂的不完備就只是指適用范圍不夠大，并不是相對(duì)于隱變量理論而言的。

要談?wù)摲醋C法，“圖靈停機(jī)問(wèn)題”當(dāng)然是不可回避的，依據(jù)張?jiān)佘S《數(shù)理邏輯》，其論證如下［5］：

“假設(shè)停機(jī)問(wèn)題可解，則存在能行過(guò)程H，對(duì)任意程序Pe與輸入X，H能判斷Pe對(duì)輸入X是否停機(jī)，設(shè)當(dāng)Pe對(duì)輸入X停機(jī)時(shí)有H（Pe，X）=1，當(dāng)Pe對(duì)輸入X不停機(jī)時(shí)有H（Pe，X）=0。利用H定義過(guò)程F：對(duì)任意自然數(shù)n，若H（Pe，n）=1，則F（n）=H（Pe，n）+1；若H（Pe，n）=0，則F（n）= 0。因?yàn)檫^(guò)程H是能行的，所以過(guò)程F也是能行的，設(shè)計(jì)算F的程序編號(hào)為e0，則F可表示為Pe0，即對(duì)任意n均有F（n）=Pe0（n）。接下來(lái)考察程序Pe0對(duì)輸入e0的情況：若停機(jī)，則H（Pe0，e0）=1，從而F（e0）=Pe0（e0）+1≠Pe0（e0）；若不停機(jī)，則Pe0（e0）無(wú)定義，而由H（Pe0，e0）=0，卻得F（e0）=0≠Pe0（e0）。上述矛盾表明，停機(jī)問(wèn)題是不可解的?！?/p>

首先，既然“若H（Pe，n）=1，則F（n）=H（Pe，n）+1”，為什么不把H（Pe，n）=1代入，從而得出F（n）=1？（這里1和0是表示狀態(tài)，故只能按布爾代數(shù)計(jì)算。）實(shí)際上，在筆者看來(lái)，拿“若H（Pe，n）=1，則F（n）=1”來(lái)對(duì)應(yīng)“若H（Pe，n）=0，則F（n）= 0”，是再自然不過(guò)的事。

簡(jiǎn)而言之，上述定義不過(guò)就是F（n）=H（Pe，n）而已；但如此一來(lái)，“若停機(jī)，則H（Pe0，e0）=1，從而F（e0）=Pe0（e0）+1≠Pe0（e0）”這個(gè)所謂的矛盾就不存在了！至于“若不停機(jī)，則Pe0（e0）無(wú)定義，而由H（Pe0，e0）=0，卻得F（e0）=0≠Pe0（e0）”這個(gè)所謂的矛盾，筆者認(rèn)為很讓人費(fèi)解：因?yàn)榘炊x，Pe0（n）=F（n），又“因?yàn)檫^(guò)程H是能行的，所以過(guò)程F也是能行的”，那么程序Pe0當(dāng)然也是能行的；這也就是說(shuō)，對(duì)于任何輸入，程序Pe0總是能夠停機(jī)。

同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)，在定義中任意程序Pe的輸入X都被換成了自然數(shù)n，但對(duì)那些輸入不是自然數(shù)的程序該怎么辦呢？另有一種論證思路如下：利用萬(wàn)能圖靈機(jī)H來(lái)構(gòu)造一個(gè)新程序D，它以H的輸出為輸入，若輸入為1則不停機(jī)，若輸入為0則停機(jī)。再用H來(lái)判定D，則導(dǎo)致矛盾：如果H判定D可停機(jī)，則D的輸入為1，結(jié)果D不停機(jī)；如果H判定D不停機(jī)，則D的輸入為0，結(jié)果D停機(jī)。

退一步講，即使每個(gè)程序的輸入都是自然數(shù)，定義仍然存在問(wèn)題：假如H（P1，n）=1，H（P2，n）=0，F(xiàn)（n）=？事實(shí)上，含兩個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)不可能簡(jiǎn)化為只有一個(gè)獨(dú)立變量！要避免這個(gè)問(wèn)題，似乎應(yīng)該這樣定義——對(duì)任意自然數(shù)n，F(xiàn)（n）=H（Pn，n）；但這就需要Pn與n有某種確定的函數(shù)關(guān)系，比如Pn=T（n）：也即任給一個(gè)自然數(shù)n，就可以通過(guò)函數(shù)T生成一個(gè)特定的程序Pn；顯然，函數(shù)T的存在只能是一個(gè)假設(shè)，這也就是說(shuō)，否定H其實(shí)并非唯一選擇！

很顯然，這里所構(gòu)造的D是一個(gè)死循環(huán)！而我們要問(wèn)的是，一個(gè)程序要如何界定？或者說(shuō)，死循環(huán)真是程序嗎？筆者認(rèn)為，一個(gè)程序的核心應(yīng)該是其功能，沒(méi)有任何功能的死循環(huán)，是錯(cuò)誤而不是程序！

假設(shè)死循環(huán)是程序，那么萬(wàn)能圖靈機(jī)H就必須滿足如下條件：能夠判斷死循環(huán)不可停機(jī)，并且整個(gè)判斷過(guò)程不能觸發(fā)死循環(huán)！但是，以H的輸出為輸入的死循環(huán)D卻又必然會(huì)被觸發(fā)。要消除這里所謂的矛盾，除了否定“萬(wàn)能圖靈機(jī)H”外，否定“死循環(huán)是程序”同樣可以達(dá)到目的；而且，由于“萬(wàn)能圖靈機(jī)H”只是一個(gè)假設(shè)，以H的輸出為輸入的所謂新程序D也就只能是一個(gè)假設(shè)，因此我們還有第三個(gè)選擇——以H的輸出為輸入的死循環(huán)不是程序！

這后一種選擇，筆者其實(shí)是受了羅素的啟發(fā)，我們知道，為了消除所謂的“羅素悖論”，羅素對(duì)“集合”與“類”的概念進(jìn)行了區(qū)分——所有集合都是類，但并非所有類都是集合，不是集合的類為真類；而不屬于自身的集合所構(gòu)成的類，是一個(gè)真類。

我們還曾指出，否定式的自我指涉，其實(shí)違反了同一律，在邏輯上是一個(gè)矛盾式，也即A=非A；但是，這種不涉及任何事實(shí)的自我否定式的矛盾，對(duì)于反證法并沒(méi)有任何意義，而所謂新程序D的構(gòu)造，恰恰是利用了否定式的自我指涉。

事實(shí)上，假設(shè)存在萬(wàn)能圖靈機(jī)H，即使一個(gè)程序P對(duì)輸入X不停機(jī)，我們也能將其改造為可停機(jī)的：先調(diào)用H判斷P對(duì)輸入X是否停機(jī)，如果判斷停機(jī)，則對(duì)P輸入X進(jìn)行運(yùn)算，并輸出最終結(jié)果；如判斷不停機(jī)，則不對(duì)P輸入X，而直接輸出——“別浪費(fèi)時(shí)間了，洗洗睡吧！”

當(dāng)然，這并不意味著存在萬(wàn)能圖靈機(jī)H，實(shí)際上，筆者倒是非常認(rèn)同不存在萬(wàn)能圖靈機(jī)H的觀點(diǎn)，但認(rèn)為它是不可能被證明的，至少上述兩種證明都是不能讓人滿意的。

總之，對(duì)于反證法論證，排除一切隱性假設(shè)至關(guān)重要，而導(dǎo)致隱性假設(shè)的主要根源是概念界定不嚴(yán)格，沒(méi)有可操作性，結(jié)果把一些似是而非的東西引入了進(jìn)來(lái)。悖論產(chǎn)生的根源，其實(shí)也在于此，比如“飛矢不動(dòng)悖論”，芝諾根本沒(méi)有對(duì)“飛”“動(dòng)”進(jìn)行任何界定，就大談起“不動(dòng)”來(lái)。

［1］陳波.思維魔方——讓哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家糾結(jié)的悖論［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2014.

［2］高爾斯，主編.齊民友，譯.普林斯頓數(shù)學(xué)指南［M］.北京：科學(xué)出版社，2014.

［3］馬克斯·雅默.秦克誠(chéng)，譯.量子力學(xué)的哲學(xué)［M］.北京：商務(wù)印書(shū)館，2014.

［4］李曉.淺談EPR悖論與量子糾纏［J］.科技創(chuàng)新與應(yīng)用，2015（29）：74.

［5］張?jiān)佘S.數(shù)理邏輯［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2013.

（作者單位：深圳南天電力有限公司）

10.16653/j.cnki.32-1034/f.2016.18.025