張軍偉　陳思忠　李洪彪　楊波　左霞　萬(wàn)芳　李辰

摘 要：基于流體力學(xué)理論和理想氣體狀態(tài)方程，建立油氣懸架主要部件的模型，包括節(jié)流閥模型、溢流閥模型、蓄能器模型、油缸模型。根據(jù)系統(tǒng)中各部件的連通關(guān)系，建立多支路油氣懸架整數(shù)階模型。引入分?jǐn)?shù)階理論，建立多支路油氣懸架分?jǐn)?shù)階模型，并將分?jǐn)?shù)階模型、整數(shù)階模型與臺(tái)架試驗(yàn)對(duì)比，驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階模型的正確性。通過(guò)改變分?jǐn)?shù)階階次，觀(guān)察系統(tǒng)阻尼力的變化規(guī)律，證明了分?jǐn)?shù)階模型在研究剛度及阻尼非一致性問(wèn)題時(shí)的優(yōu)勢(shì)，為后續(xù)的多支路油氣懸架阻尼非一致性問(wèn)題的研究奠定了基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階；多支路；油氣懸架；模型；階次影響

中圖分類(lèi)號(hào)：U463.33文獻(xiàn)標(biāo)文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文獻(xiàn)標(biāo)DOI：10.3969/j.issn.2095-1469.2015.06.04

Abstract：The models had been built for major components of a hydropneumatic suspension system based on knowledge of hydromechanics and the equation of state for an ideal gas. According to the connection of components， the integer order model of multi-branch hydropneumatic suspension was built and then the fractional order model was built based on the fractional order theory. The feasibility and advantages of the fractional order theory were verified through the comparison of the bench tests on both models. The influence of change in fractional operators on the system characteristics was analyzed for the subsequent research on damping non-coincidence in multi-branch hydropneumatic suspension.

Key words：fractional order； multi-branch； hydropneumatic suspension； model； fractional influence

對(duì)于多軸重型車(chē)輛，行駛路況復(fù)雜惡劣，載荷變化較大，油氣懸架以車(chē)高可調(diào)、連通平衡、剛度非線(xiàn)性等優(yōu)越特性在多軸重型車(chē)輛領(lǐng)域越來(lái)越多地得到應(yīng)用。

由于各種建模和分析方法都有其自身的特點(diǎn)和局限性，必須針對(duì)具體問(wèn)題采用適當(dāng)?shù)姆椒▽?duì)系統(tǒng)進(jìn)行理論分析和參數(shù)識(shí)別。下面通過(guò)查閱文獻(xiàn)整理出一些比較有代表性的研究。Koenraad根據(jù)油氣獨(dú)立懸架油缸的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，提出利用有關(guān)物理定律建立油氣懸架油缸初始模型 [1]。Joo在綜合考慮氣體多變過(guò)程、孔口紊流出流方程、庫(kù)侖摩擦力、油液的可壓縮性和緩沖限位塊等非線(xiàn)性因素后，建立了油氣懸架的非線(xiàn)性數(shù)學(xué)模型 [2]。Felez等人提出了一種建立多軸汽車(chē)起重機(jī)互連式油氣懸架模型的方法——功率鍵合圖法，指出在多軸起重機(jī)上油氣懸架相比傳統(tǒng)懸架具有諸多優(yōu)勢(shì) [3]。Yousefi 等人提出一種通過(guò)低階近似對(duì)油氣懸架非線(xiàn)性模型進(jìn)行線(xiàn)性化處理的方法，通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)包括模型特征參數(shù)的狀態(tài)空間，使?fàn)顟B(tài)變量及其導(dǎo)數(shù)的近似值均達(dá)到最小[4]。

分?jǐn)?shù)階微積分很早就已經(jīng)被提出[5-7]，分?jǐn)?shù)階微積分理論是研究任意階數(shù)的微分積分特性及應(yīng)用的數(shù)學(xué)理論，是整數(shù)階微積分理論的延伸和推廣。

油氣懸架是一個(gè)多相介質(zhì)的組合體，氣體隨溫度的變化、油液粘度、油液可壓縮性、外力的作用時(shí)間及加載歷史等都會(huì)影響到油氣懸架特性，這些特性十分符合粘彈性物質(zhì)的特點(diǎn)。粘彈性材料的力學(xué)性質(zhì)介于理想彈性體和牛頓流體之間，既表現(xiàn)出彈性，同時(shí)又具有粘性特性，其應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)依賴(lài)于時(shí)間和應(yīng)變率，又與載荷和變形歷史有關(guān)，即應(yīng)力-應(yīng)變具有記憶性。而分?jǐn)?shù)階粘彈性微積分模型可以用較少的參數(shù)來(lái)準(zhǔn)確地描述大量復(fù)雜的粘彈性材料在廣泛頻率范圍內(nèi)的動(dòng)力學(xué)特性[8-10]。

1 多支路油氣懸架結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介

用于四軸重型車(chē)輛的互連式油氣懸架，其前兩橋與后兩橋結(jié)構(gòu)相同，以一二橋的結(jié)構(gòu)為例來(lái)說(shuō)明。系統(tǒng)采用雙腔油缸，上腔為環(huán)形腔，下腔為無(wú)桿腔。一橋與二橋的同側(cè)油缸上下腔對(duì)應(yīng)連通，同橋左右側(cè)油缸交叉連通。壓縮行程時(shí)，油缸下腔的油液經(jīng)多條支路流向蓄能器和其它油缸。

為了實(shí)現(xiàn)多軸車(chē)輛的軸荷平衡及抗側(cè)傾功能，油氣懸架的各油缸之間是按照一定的規(guī)則連通的，這就不可避免存在單個(gè)油缸連通多條支路的結(jié)構(gòu)。以單油缸三支路結(jié)構(gòu)的油氣懸架為研究對(duì)象，對(duì)多支路油氣懸架的建模方法進(jìn)行研究，單油缸三支路油氣懸架原理結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。

一個(gè)單作用油缸分別通過(guò)三條支路與三個(gè)蓄能器連通，每條支路中包括節(jié)流閥、壓縮溢流閥、伸張溢流閥。多支路油氣懸架系統(tǒng)中三條支路壓縮伸張行程油液所流過(guò)的閥見(jiàn)表1。

2 多支路油氣懸架模型

采用傳統(tǒng)的節(jié)流閥和溢流閥的數(shù)學(xué)模型，在以下建模中，以式（1）的形式來(lái)表述。

基于節(jié)流閥模型、溢流閥模型、蓄能器模型，可推導(dǎo)支路1數(shù)學(xué)模型如式（3）所示[11-12]。

式（1）～（4）中，QT1為支路1中節(jié)流閥T1的流量，m3/s；Q1為支路1總的流量，m3/s；dR1c為支路1中溢流閥R1-c的開(kāi)口直徑，m；為支路1中溢流閥R1-c的閥芯最大位移，m；dR1r為支路1中溢流閥R1-r的開(kāi)口直徑，m；為支路1中溢流閥R1-r的閥芯最大位移，m；pc為油缸內(nèi)的壓力，Pa；pA1為蓄能器A1內(nèi)氣體的壓力，Pa。

同理得支路2和支路3的數(shù)學(xué)模型[13]。

由油缸內(nèi)油液壓力微分方程可得油缸模型如式（5）所示[14]。

式中，CHC為油缸的容積模量，m3/Pa；Vb為靜平衡位置的油缸容積，m3；Koil為油液體積模量，Pa。

綜合三條支路的模型和油缸模型，可得到單油缸多支路多蓄能油氣懸架系統(tǒng)模型?；谝呀⒌墓?jié)流閥模型、溢流閥模型、蓄能器模型、油缸模型，采用模塊化建模方法，通過(guò)分析各部件模型之間的輸入輸出關(guān)系，建立多支路油氣懸架系統(tǒng)建模流程圖，如圖2所示。各支路閥組模型輸出的流量作為本支路蓄能器模型的輸入，各支路蓄能器模型輸出的壓力和油缸模型輸出的壓力作為本支路閥組模型的輸入，各閥組輸出的流量作為油缸模型的輸入。

3 多支路油氣懸架分?jǐn)?shù)階模型

早先的學(xué)者對(duì)油氣懸架彈性力和阻尼力的研究，是將系統(tǒng)看做理想的彈性體和流體，彈性力與位移之間滿(mǎn)足一定的關(guān)系，阻尼力與速度之間滿(mǎn)足一定的關(guān)系。但是，油氣懸架是一個(gè)多相介質(zhì)的組合體，既不是理想的彈性體也不是理想的流體，而是介于彈性體和流體之間的類(lèi)似粘彈性體。因此，用分?jǐn)?shù)階微積分來(lái)描述油氣懸架在廣泛頻率范圍內(nèi)的系統(tǒng)特性是恰當(dāng)?shù)摹?/p>

3.1 分?jǐn)?shù)階微積分的定義及計(jì)算方法

分?jǐn)?shù)階微積分常見(jiàn)的有三種定義方式：Riemann-Liouville定義、Grunwald-Letnikov定義和Caputo定義，在工程應(yīng)用中最常用到的是Riemann-Liouville定義。

Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分定義為

目前對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分常用的計(jì)算方法中，濾波逼近的方法效果較好，精度理想，并且可以對(duì)位置的信號(hào)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微積分，最具代表性的是由Oustaloup提出的濾波逼近分?jǐn)?shù)階的方法[15-16]。研究表明，當(dāng)逼近階次時(shí)，對(duì)不同的分?jǐn)?shù)階次α，無(wú)論是幅頻特性還是相頻特性，都能很好地逼近實(shí)際分?jǐn)?shù)階濾波器的頻率特性[17]。

3.2 多支路油氣懸架分?jǐn)?shù)階模型

鑒于油氣懸架是一個(gè)多相介質(zhì)的組合體，其特性不僅和外力大小有關(guān)，還和溫度的改變、力的作用時(shí)間及加載歷史都有關(guān)系，這些十分符合粘彈性物質(zhì)的特點(diǎn)。基于以上分析，利用分?jǐn)?shù)階粘彈性微積分模型可以用較少的參數(shù)來(lái)準(zhǔn)確地描述大量復(fù)雜粘彈性材料在廣泛頻率范圍內(nèi)動(dòng)力學(xué)特性的優(yōu)勢(shì)，將油氣懸架系統(tǒng)整體等效為粘彈性系統(tǒng)進(jìn)行研究，引入分?jǐn)?shù)階模型描述彈性力和阻尼力項(xiàng)，建立油氣懸架分?jǐn)?shù)階模型，對(duì)油氣懸架系統(tǒng)輸出力特性進(jìn)行分析。

基于前面建立的多支路油氣懸架整數(shù)階模型，用分?jǐn)?shù)階算子替換已建立的整數(shù)階模型中的位移項(xiàng)和速度項(xiàng)。觀(guān)察整數(shù)階模型的各方程，只有油缸模型的表達(dá)式中含有位移項(xiàng)和速度項(xiàng)，用分?jǐn)?shù)階算子替換表達(dá)式中的位移項(xiàng)和速度項(xiàng)之后，如式（8）所示，其它部分的模型保持不變。

4 多支路油氣懸架分?jǐn)?shù)階模型仿真分析

4.1 分?jǐn)?shù)階階次和傳遞函數(shù)的確定

對(duì)于Oustaloup濾波逼近法，當(dāng)階次時(shí)已經(jīng)能滿(mǎn)足精度和計(jì)算量的要求，因此采用五階有理函數(shù)來(lái)逼近分?jǐn)?shù)階函數(shù)?？紤]到車(chē)輛工作的有效頻率范圍，選取逼近頻率區(qū)間為[0.01 rad/s，100 rad/s]，即，，采用試錯(cuò)法找出階次α和β的最優(yōu)取值。階次α和β取值與對(duì)應(yīng)的五階傳遞函數(shù)見(jiàn)表2。

4.2 分?jǐn)?shù)階模型與試驗(yàn)對(duì)比分析

仿真參數(shù)見(jiàn)表3。在1.0 Hz/0.03 m正弦激勵(lì)下，經(jīng)仿真對(duì)比，當(dāng)分?jǐn)?shù)階模型中的階次α-0.1、β0.9時(shí)，仿真曲線(xiàn)與試驗(yàn)曲線(xiàn)更接近，阻尼力仿真曲線(xiàn)與試驗(yàn)曲線(xiàn)對(duì)比如圖3所示。

圖3中黑色實(shí)線(xiàn)為試驗(yàn)測(cè)得的阻尼力曲線(xiàn)，紅色虛線(xiàn)為整數(shù)階模型仿真得到的阻尼力曲線(xiàn)，藍(lán)色點(diǎn)畫(huà)線(xiàn)為分?jǐn)?shù)階模型仿真得到的阻尼力曲線(xiàn)，由兩條曲線(xiàn)對(duì)比可以看出，分?jǐn)?shù)階模型的仿真曲線(xiàn)，其原點(diǎn)左右兩側(cè)的曲線(xiàn)不對(duì)稱(chēng)性更明顯，阻尼力最大值不在原點(diǎn)處取得，分?jǐn)?shù)階模型更能體現(xiàn)多支路油氣懸架阻尼力的實(shí)際特性。

由分?jǐn)?shù)階模型仿真曲線(xiàn)和試驗(yàn)曲線(xiàn)的對(duì)比，證明了油氣懸架分?jǐn)?shù)階模型的可行性和準(zhǔn)確性，體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階的階次可以任意連續(xù)可調(diào)的優(yōu)勢(shì)。

改變節(jié)流閥T1的節(jié)流孔直徑，觀(guān)察節(jié)流孔直徑變化對(duì)分?jǐn)?shù)階模型的阻尼力-位移曲線(xiàn)、阻尼力-速度曲線(xiàn)的影響，驗(yàn)證油氣懸架分?jǐn)?shù)階模型的參數(shù)靈敏度，如圖4和圖5所示。

圖4為不同節(jié)流孔直徑下的分?jǐn)?shù)階模型阻尼力-位移曲線(xiàn)，橫軸的上半部分為壓縮行程阻尼力曲線(xiàn)，從最低點(diǎn)-30 mm運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)30 mm；下半部分為伸張行程阻尼力曲線(xiàn)，從最高點(diǎn)30 mm運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)-30 mm。由圖4可以看出，隨著節(jié)流孔直徑的減小，分?jǐn)?shù)階模型的阻尼力增大，且阻尼力曲線(xiàn)的左右非對(duì)稱(chēng)性變得更加明顯，即壓縮行程下半段（-30～0 mm）的阻尼力小于壓縮行程上半段

（0～30 mm）的阻尼力，伸張行程上半段（30～0 mm）

的阻尼力小于伸張行程下半段（0～-30 mm）的阻尼力，即多支路油氣懸架存在阻尼非一致性問(wèn)題。

圖5為不同節(jié)流孔直徑下的分?jǐn)?shù)階模型阻尼力-速度曲線(xiàn)，第一象限為壓縮行程阻尼力曲線(xiàn)，第三象限為伸張行程阻尼力曲線(xiàn)。由圖5可知，隨著節(jié)流孔直徑的減小，分?jǐn)?shù)階模型的阻尼力增大，并且在一個(gè)完整壓縮伸張行程中，阻尼力曲線(xiàn)不重合，中間有一定的包絡(luò)面積，隨著節(jié)流孔直徑的減小，阻尼力曲線(xiàn)之間的包絡(luò)面積逐漸增大，即多支路油氣懸架的阻尼力非一致性問(wèn)題變得更加顯著。

4.3 分?jǐn)?shù)階節(jié)次對(duì)阻尼力的影響及物理意義

經(jīng)前面的分?jǐn)?shù)階模型仿真與試驗(yàn)對(duì)比，驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階模型的可行性與正確性。分?jǐn)?shù)階的階次對(duì)模型的幅值和相位會(huì)產(chǎn)生影響，給系統(tǒng)加入1.0 Hz/30 mm的正弦激勵(lì)信號(hào)，分析分?jǐn)?shù)階的階次對(duì)油缸活塞速度、阻尼力-時(shí)間曲線(xiàn)、阻尼力-位移曲線(xiàn)的影響，為分?jǐn)?shù)階模型的階次選擇提供理論指導(dǎo)，并結(jié)合油氣懸架的實(shí)際情況，對(duì)分?jǐn)?shù)階的物理意義進(jìn)行闡述。

圖6為不同分?jǐn)?shù)階階次下的阻尼力-時(shí)間曲線(xiàn)。由圖6可知，當(dāng)阻尼分?jǐn)?shù)階算子的階次β=1.0時(shí)，阻尼力在相位上和油缸速度是同步的，幅值在七條曲線(xiàn)中居中，此種情況表征了油氣懸架理想動(dòng)態(tài)特性，即油氣懸架的系統(tǒng)輸出特性與油缸運(yùn)動(dòng)狀態(tài)同步。

當(dāng)阻尼分?jǐn)?shù)階算子的階次β<1.0時(shí)，阻尼力在相位上相對(duì)油缸速度存在延遲，隨著階次的減小，相位延遲增大，阻尼力幅值逐漸減小，此種情況表征了油氣懸架實(shí)際的動(dòng)態(tài)特性，即油氣懸架的系統(tǒng)輸出特性與油缸運(yùn)動(dòng)狀態(tài)存在相位延遲。在實(shí)際中由于油液可壓縮性、油液受溫度的影響、氣體受溫度的影響、管道壓力損失、油缸與活塞的摩擦力等因素，阻尼力在相位上和油缸速度存在一定的延遲，且阻尼力幅值也會(huì)較理想情況有所減小，在[0， 1.0]區(qū)間內(nèi)通過(guò)適當(dāng)選取階次，可以達(dá)到相位及幅值與實(shí)際情況較好吻合的效果。分?jǐn)?shù)階階次的選取體現(xiàn)了油液可壓縮性、油液受溫度的影響、氣體受溫度的影響、管道壓力損失等因素的綜合影響效果。當(dāng)阻尼分?jǐn)?shù)階算子的階次β趨于0時(shí)，相位延遲達(dá)到90°，經(jīng)仿真研究，阻尼分?jǐn)?shù)階算子的階次在區(qū)間[0.8， 1.0]內(nèi)選取能達(dá)到與實(shí)際情況較好吻合的效果。

當(dāng)階次β>1.0時(shí)，阻尼力在相位上相對(duì)油缸速度存在超前，隨著階次的增大，相位超前增大，阻尼力幅值逐漸增大。在實(shí)際中，油氣懸架輸出特性在相位上不會(huì)產(chǎn)生比油缸運(yùn)動(dòng)狀態(tài)超前的情況，因此，此種情況沒(méi)有實(shí)際的物理意義。

圖7為不同分?jǐn)?shù)階階次下的阻尼力-位移曲線(xiàn)，零點(diǎn)上方為壓縮行程阻尼力曲線(xiàn)，零點(diǎn)下方為伸張行程阻尼力曲線(xiàn)。由圖7可知，當(dāng)阻尼分?jǐn)?shù)階算子的階次β=1.0時(shí)，以位移零點(diǎn)為分界線(xiàn)的阻尼力曲線(xiàn)左右部分基本是對(duì)稱(chēng)的；當(dāng)階次β<1.0時(shí)，在位移絕對(duì)值相同位置處（例如，看圖中位移為0.02 m和-0.02 m處），壓縮行程左半部分曲線(xiàn)要比右半部分曲線(xiàn)幅值小，伸張行程左半部分曲線(xiàn)要比右半部分曲線(xiàn)幅值大，即左右部分的曲線(xiàn)是不對(duì)稱(chēng)的，且隨著階次的減小，這種不對(duì)稱(chēng)性變得更加明顯；當(dāng)階次β>1.0時(shí)，沒(méi)有明確的物理意義，這里就不再討論。

圖8為不同分?jǐn)?shù)階階次下的阻尼力-速度曲線(xiàn)，零點(diǎn)上方為壓縮行程阻尼力曲線(xiàn)，零點(diǎn)下方為伸張行程阻尼力曲線(xiàn)。當(dāng)階次β=1.0時(shí)，在一個(gè)完整的壓縮和伸張行程，阻尼力-速度曲線(xiàn)重合為一條曲線(xiàn)；當(dāng)階次β<1.0時(shí)，在一個(gè)完整的壓縮和伸張行程中，阻尼力-速度曲線(xiàn)不再重合為一條曲線(xiàn)，而是有一定的包絡(luò)面積，且隨著階次的減小，包絡(luò)面積逐漸增大，這就是多支路油氣懸架阻尼非一致性問(wèn)題，在后續(xù)的工作中將對(duì)其進(jìn)行深入研究。

5 結(jié)論

根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，采用模塊化的建模方法，建立了多支路油氣懸架整數(shù)階模型。針對(duì)油氣懸架是多相介質(zhì)組合體的特點(diǎn)，將油氣懸架等效為粘彈性體，引入分?jǐn)?shù)階微積分理論，建立了多支路油氣懸架分?jǐn)?shù)階模型。將模型仿真與臺(tái)架試驗(yàn)對(duì)比，并進(jìn)行了后續(xù)的分析，可得到以下結(jié)論：

（1） 通過(guò)分?jǐn)?shù)階模型仿真、整數(shù)階模型仿真與臺(tái)架試驗(yàn)的對(duì)比，證明了多支路油氣懸架分?jǐn)?shù)階模型準(zhǔn)確性更高，更能反映多支路油氣懸架的實(shí)際特性。

（2） 改變節(jié)流孔直徑的大小，觀(guān)察多支路油氣懸架阻尼力的變化，結(jié)果表明，系統(tǒng)阻尼力隨節(jié)流孔直徑變化的靈敏度是滿(mǎn)足要求的。

（3） 改變分?jǐn)?shù)階階次，當(dāng)阻尼分?jǐn)?shù)階算子的階次等于1時(shí)，表征了油氣懸架理想動(dòng)態(tài)特性，即油氣懸架的系統(tǒng)輸出特性與油缸運(yùn)動(dòng)狀態(tài)同步；當(dāng)阻尼分?jǐn)?shù)階算子的階次小于1時(shí)，阻尼力在相位上相對(duì)油缸速度存在延遲，此種情況表征了油氣懸架實(shí)際的動(dòng)態(tài)特性，即油氣懸架的系統(tǒng)輸出特性與油缸運(yùn)動(dòng)狀態(tài)存在相位延遲；當(dāng)阻尼分?jǐn)?shù)階算子的階次大于1時(shí)，阻尼力在相位上相對(duì)油缸速度存在超前，此種情況沒(méi)有實(shí)際的物理意義。

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