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      二維空間中具間接信號產(chǎn)出趨化模型解的整體存在性

      2016-03-24 06:40:36劉冬梅
      關(guān)鍵詞:趨化甲殼蟲常數(shù)

      劉冬梅

      (東華大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 上海 201620)

      二維空間中具間接信號產(chǎn)出趨化模型解的整體存在性

      劉冬梅

      (東華大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 上海 201620)

      考慮一個山松甲殼蟲的擴散和聚集趨化模型,該模型由兩個反應(yīng)-擴散方程和一個常微分方程構(gòu)成.證明了對任意的充分光滑的初始值該模型整體解的存在性,從而排除了解在有限時間爆破的可能性,討論了該模型在初始細胞質(zhì)量適當(dāng)小的假設(shè)下整體解的有界性.

      趨化性; 間接信號產(chǎn)出; 整體存在性; 有界性

      趨化性是指由信號濃度的空間變化而引起的細胞的偏向運動.著名的趨化數(shù)學(xué)模型(以下簡稱KS模型)是由Keller-Segel提出[1].設(shè)細胞的密度為u=u(x,t),而相應(yīng)的信號濃度為w=w(x,t),則上述提及KS模型如下:

      在KS模型的基礎(chǔ)上,本文研究的是在文獻[8]中提出的關(guān)于山松甲殼蟲聚集模式的模型.近年來,由于氣候變暖,主要生活在加拿大的山松甲殼蟲快速繁殖,并給森林造成了巨大的危害.它們把卵產(chǎn)在松樹上,直到第二年夏天時,幼蟲變?yōu)槌上x離開樹洞,然后繼續(xù)攻擊下一批松樹,再準(zhǔn)備產(chǎn)卵.需要強調(diào)的是:做窩的甲殼蟲通過釋放一種化學(xué)物質(zhì)來吸引飛行的甲殼蟲[8].而本文關(guān)心的是這種甲殼蟲的擴散和聚集行為.

      設(shè)飛行的甲殼蟲的密度為u=u(x,t),做窩的甲殼蟲的密度為v=v(x,t),相應(yīng)的信號濃度為w=w(x,t),則關(guān)于甲殼蟲的模型[8]如下:

      (1)

      其中:Ω?Rn是一個光滑有界區(qū)域;參數(shù)δ>0.模型(1)中,第一個方程描述飛行的甲殼蟲密度隨時間的變化情況,等式右邊第一項表示飛行的甲殼蟲的隨機擴散,第二項表示飛行的甲殼蟲趨向于化學(xué)物質(zhì)濃度增加的方向移動;第二個方程描述做窩的甲殼蟲密度隨時間變化情況,δ表示相應(yīng)的死亡率;第三個方程表明化學(xué)信號由做窩的甲殼蟲產(chǎn)出,并隨時間衰減.

      模型(1)給出了一個間接信號產(chǎn)出過程,即這種化學(xué)物質(zhì)并不是由飛行的甲殼蟲直接產(chǎn)出,而是由飛行甲殼蟲轉(zhuǎn)變而來的做窩的甲殼蟲產(chǎn)出的.從數(shù)學(xué)的角度來說,模型(1)和KS模型的一個本質(zhì)區(qū)別在于:由直接信號產(chǎn)出的KS模型,在二維空間中,當(dāng)初始細胞的質(zhì)量大于某個特定值時,模型的解會在有限時間爆破;而間接信號產(chǎn)出的模型(1)是不可能在有限時間爆破的.更精確地說:

      而當(dāng)t→+∞時,解是否會爆破這一問題,目前尚不清楚,有待進一步深入研究.

      如前面所述,KS模型存在臨界質(zhì)量現(xiàn)象.另外一個有趣的問題是模型(1)是否也存在類似的臨界質(zhì)量現(xiàn)象?本文將探討這一問題.

      為了陳述結(jié)論,首先回顧Gagliardo-Nirenberg不等式:設(shè)Ω?R2是一個光滑有界區(qū)域,則對任意的u(x)∈W1, 2(Ω),存在CG N=CG N(Ω)>0,使得

      成立.

      下面陳述有關(guān)模型(1)的一個小初值整體解有界的結(jié)果.

      定理2 假設(shè)n=2且設(shè)

      ‖u(·, t)‖L∞(Ω)≤C

      成立.

      1 解的整體存在性:定理1的證明

      利用合適的不動點方法可以證明關(guān)于模型(1)的解的局部存在唯一性結(jié)論.

      進一步,如果Tmax<∞,則當(dāng)t→Tmax時,有

      ‖u(·,t)‖L∞(Ω)→∞.

      證明:該證明過程類似于文獻[9],故在此不重復(fù)其細節(jié).

      由引理1.1知,要證明模型(1)的解在Ω×(0, ∞)上存在,需要建立u(·,t)在L∞(Ω)空間中的估計,即要證明:對任何T∈(0,Tmax),存在某個常數(shù)C(T),使得

      ‖u(·, t)‖L∞(Ω)≤C(T), ?t∈(0, T)

      (2)

      成立.

      以下的質(zhì)量估計是建立估計式(2)的起點.

      引理1.2 模型(1)的古典解(u,v,w)具有如下性質(zhì):

      ‖u(·, t)‖L1(Ω)=‖u0‖L1(Ω), t∈(0, Tmax),

      (3)

      ‖v(·, t)‖L1(Ω)≤

      (4)

      ‖v0‖L1(Ω)+‖w0‖L1(Ω), t∈(0, Tmax).

      (5)

      證明:模型(1)中第一個方程在Ω上求積分,并利用分部積分和模型(1)中零流邊界條件得

      由此推得

      (6)

      即式(3)成立.

      模型(1)的第二個方程的兩邊在Ω上求積分得

      據(jù)此并利用式(6)得

      (7)

      即式(4)成立.

      類似地,有

      解之并根據(jù)式(7)得

      從而式(5)得證.

      證明:模型(1)中第一個方程兩邊同時乘以lnu后再在Ω上積分,并利用分部積分、零流邊界條件及Young不等式得

      (8)

      其中:ε>0為任意常數(shù).

      接下來,模型(1)中第二個方程兩邊同時乘以2v后在Ω上積分,并利用Young不等式得

      (9)

      再由模型(1)中第三個方程兩邊同時乘以(-Δw)后在Ω上積分得

      由此并利用Young不等式得

      從而

      (10)

      綜合式(8)~(10)得

      (11)

      利用Gagliardo-Nirenberg不等式進一步估計式(11)中右邊第二個積分

      (12)

      舍棄不等式左邊后3個非負項得

      (13)

      則式(13)變?yōu)?/p>

      y′(t)≤c1y(t)+c2,

      從而引理1.3得證.

      為了建立u的Lp估計,需先引入下列關(guān)于熱方程的正則性引理[9].

      引理1.4 假設(shè)n=2并設(shè)z0∈W1, ∞(Ω), f∈L2(Ω),z滿足方程

      則對任意的1

      ‖z‖W1, q(Ω)≤C(q)‖f‖L2(Ω), t>0.

      (14)

      證明:根據(jù)模型(1)中第三個方程知,式(14)是引理1.3和1.4的直接推論.

      (15)

      成立.

      證明:根據(jù)模型(1)中的第一個方程直接計算,并利用Cauchy不等式得

      (16)

      進一步,由式(14)得:存在某個常數(shù)c1(p,T),使得

      (17)

      再利用Gagliardo-Nirenberg不等式及式(3)估計式(17)中右邊的積分

      因此

      從而由Young不等式得

      (18)

      綜合式(16)~(18)得

      因此

      引理1.6得證.

      定理1的證明:根據(jù)模型(1)中的第一個方程,利用估計式(14)和(15)及標(biāo)準(zhǔn)的Moser迭代[10]可以得到

      ‖u(·, t)‖L∞(Ω)≤C(T), t∈(0, T).

      (19)

      據(jù)此并利用引理1.1及其中的延拓準(zhǔn)則知:

      Tmax=+∞,

      從而定理1得證.

      2 解的有界性:定理2的證明

      由解的整體存在性的證明過程可以看出,要證明模型(1)的解在Ω×(0, ∞)上有界,關(guān)鍵要建立u的Lp(Ω)(關(guān)于t的)一致先驗估計.下面的基本引理在后面將會用到.

      引理2.1 存在常數(shù)C>0,使得

      (20)

      成立.

      證明:利用洛必達法則得

      因此,存在某個常數(shù)A>1,使得s>A時成立

      從而由Young不等式得

      (21)

      又因為

      所以,存在c1>0, 滿足

      (22)

      綜合式(21)和(22)得

      下面建立v的L2一致先驗估計.

      引理2.2 令n=2. 假設(shè)

      (23)

      (24)

      則存在某個常數(shù)C>0,使得模型(1)的解滿足

      (25)

      證明:由式(8)得

      (26)

      再由式(9)得

      (27)

      最后由式(10)得

      (28)

      綜合式(26)~(28)得

      由假設(shè)式(23)知:2δ-3≥0,因此

      t>0,

      滿足

      t>0.

      再根據(jù)引理2.1知

      (29)

      由式(12)得

      (30)

      將式(30)代入式(29)得

      t>0,

      z′(t)+z(t)≤c2.

      解之得

      z(t) ≤z(0)e-t+c2(1-e-t)≤

      z(0)+c2∶=c3,t>0.

      因此

      引理2.2證畢.

      根據(jù)引理2.2和1.4可以直接得到下面的推論.

      (31)

      成立.

      接下來,建立u的Lp(Ω)一致先驗估計.

      (32)

      成立.

      證明:由式(16)得

      (33)

      進一步,利用Young不等式及式(31)得:存在某個常數(shù)c1(p)滿足

      (34)

      由式(18)得

      (35)

      綜合式(33)~(35)得

      (36)

      根據(jù)Young不等式得:存在常數(shù)c5(p)>0,使得

      成立,由此并利用式(35)得

      (37)

      其中:η>0為任意常數(shù).將式(37)代入式(36)的右邊得

      解之得

      因此引理2.4得證.

      定理2的證明:根據(jù)模型(1)中的第一個方程,利用估計式(31)和(32)及標(biāo)準(zhǔn)的Moser迭代[10]可以得到:存在常數(shù)C>0,滿足

      ‖u(·, t)‖L∞(Ω)≤C, t>0.

      由此定理2得證.

      [1] KELLER E F, SEGEL L A. Initation of slime mold aggregation viewed as an instability[J]. J Theor Biol, 1970, 26(3): 399-415.

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      Global Existence in the Two-Dimensional Chemotaxis Model with Indirect Signal Production

      LIUDong-mei

      (College of Information Science and Technology, Donghua University, Shanghai 201620, China)

      A chemotaxis model describing the diffusion and aggregation of the Mountain Pine Beetle is considered. The model consists of two reaction-diffusion equations and an ordinary differential equation. It is shown that the model admits global solution for arbitrarily sufficiently smooth initial data, which excludes the possibility of finite-time blow-up. The boundedness of solutions is asserted whenever the initial cell mass is appropriately small.

      chemotaxis; indirect signal production; global existence; boundedness

      1671-0444(2016)01-0137-08

      2014-12-01

      劉冬梅(1987—),女,安徽宿州人,博士研究生,研究方向為偏微分方程及應(yīng)用.E-mail: liudongmei121@sina.cn

      O 175.26

      A

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