●涂玉霞

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原汁數(shù)學：學真數(shù)學做真思考

●涂玉霞

涂玉霞工作室是黃岡市首屆十大名師工作室，由武穴市各中心學校的18位骨干教師組成。

工作室主持人涂玉霞是湖北名師、特級教師，長期致力于“原汁數(shù)學”教學研究，該研究成果獲得湖北省首屆校本教研創(chuàng)新成果一等獎。2013年，涂玉霞出版?zhèn)€人專著《原汁數(shù)學教學隨筆》。

“原汁”指用肉類、蔬菜、水果等直接榨出的汁液，或食物原料摻以少量的水而熬出的汁液?！霸钡膶嵸|(zhì)是不摻雜其他成分，具有真價值。原汁數(shù)學的根本要義是把握數(shù)學的本質(zhì)，引導學生學真數(shù)學，做真思考，形成真正的數(shù)學素養(yǎng)和能力，其教學內(nèi)涵體現(xiàn)在五個方面。

一、數(shù)學原型：生活和經(jīng)驗

數(shù)學的學習資源來自于現(xiàn)實生活或學生已有的經(jīng)驗。數(shù)學教學是對之進行分析、澄清、引導、回應，使學生實現(xiàn)對知識的創(chuàng)造性轉換、溝通、交融的過程。這樣的一個過程，可以看作兒童對知識原有基礎的發(fā)展或轉變，而不是新信息的點滴累積。

1.生活情境：具有探究的意義

談到數(shù)學生活化，很多教師以為就是從生活中找到一些相關數(shù)據(jù)或者隨便編造一個故事情境，并運用于教學之中。這種理解是不夠準確的。學習最大的快樂在于學習者在解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)了自己的智慧，因此，教師要盡量提供具有現(xiàn)實意義的問題讓學生去探究，以培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光觀察世界的能力。

2.借助經(jīng)驗：找準發(fā)展的區(qū)域

維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”認為，學生的發(fā)展有兩種水平：一種是學生的現(xiàn)有水平，指獨立活動時所能達到的解決問題的水平，另一種是學生借助成人或更有能力的伙伴的幫助所能達到的水平，兩者間的差異就是最近發(fā)展區(qū)。教師設計的教學問題如果能緊緊扣住學生的“最近發(fā)展區(qū)”，就容易暴露學生的前概念，從而引發(fā)認知沖突并衍生新知識。

教學人教版課標實驗教材四年級下冊的“中括號”時，教師設計了“聽指令，加括號”游戲：出示算式“96÷12+4×2”，要求學生按教師指令改變它的運算順序。第一個指令：先算加法，再算除法，然后算乘法；第二個指令：先算加法，再算乘法，然后算除法。學生根據(jù)第一個指令，順利寫出了算式“96÷（12+4）×2”。在完成第二個指令時，學生寫出了很多答案，典型的有“96÷（12+4）×2)”和“96÷（12+4×2)”兩種。教師讓學生討論，“你們完成指令了嗎？這樣加括號會有什么問題？”從而引導學生得出了正確算式“96÷[(12 + 4)× 2]”。最后，教師引導學生思考：加入的新括號叫什么名字？它有什么作用？

這個教學環(huán)節(jié)，教師通過設置障礙，巧妙地引出了中括號，并讓學生直觀地感受到了它產(chǎn)生的意義。教學中的每一次猜想、否定、改進，都閃現(xiàn)出創(chuàng)新思維的火花。

二、數(shù)學原委：建模、用模

原委即原由、結尾，泛指事情的來龍去脈。學數(shù)學就是學建模和用模，即把現(xiàn)實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數(shù)學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該模型所提供的解答來解釋現(xiàn)實問題。

模型思想要在建立模型的過程中培養(yǎng)。實際研究中，我們將發(fā)展學生的建模思想提煉為三個方面：①假設模型——生活問題轉化為數(shù)學問題；②證明模型——數(shù)學問題轉換為核心問題；③運用模型——核心問題轉變?yōu)榻鉀Q問題。

學生只有將生活問題轉化為數(shù)學問題，才能建立數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。建立聯(lián)系的過程是學生嘗試的過程，也是學生否定與優(yōu)化的過程。教師要引導學生將生活問題轉化為幾個數(shù)學問題，并運用合情推理進行判斷和比較。

學生只有將數(shù)學問題轉換成核心問題，才能意識到問題中的數(shù)學實質(zhì)，并對假設的模型進行證明，闡述這樣做是有道理的。在證明過程中，學生會意識到問題的關鍵是什么。

運用模型是把模型放在現(xiàn)實背景中，思考其在現(xiàn)實背景中的具體含義，分析其中的數(shù)量關系，制訂解決問題的步驟和方案。這個過程中，學生再次回到了生活，所不同的是審視現(xiàn)實問題的眼光不一樣了。這正是生活眼光與數(shù)學眼光的區(qū)別，這樣的變化源自走實了建模過程。

三、數(shù)學原理：在數(shù)形之間

原理指自然科學和社會科學中具有普遍意義的基本規(guī)律。數(shù)學的基本規(guī)律是研究數(shù)量關系和空間形式。數(shù)學大體上就是在數(shù)與形這兩個概念的提煉、演變、發(fā)展中逐步展開的。數(shù)形結合就是把抽象難懂的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀形象的幾何圖形和位置關系結合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結合，使相對復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從而優(yōu)化解題方法。

1.在教學中使學生逐步養(yǎng)成畫圖習慣

數(shù)學教學應該有這樣的導向：能畫圖時盡量畫。這樣能將相對抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、計算、證明等數(shù)學過程變得直觀。直觀化后就容易展開形象思維，因為邏輯的、形式的結論都是在形象思維的基礎上產(chǎn)生的。例如，利用長方形模型來教學分數(shù)乘法的算理（圖1），利用線段圖來幫助學生理解分數(shù)除法的算理（圖2），利用面積模型來解釋兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理（圖3）、乘法分配律（圖4）等。

圖1

圖2

圖3

圖4

2.學會從“數(shù)”與“形”兩個角度認識數(shù)

數(shù)形結合最初是對知識、技能的融通式理解，后來逐漸發(fā)展成一種對數(shù)與形之間的化歸與轉化的意識。這種認識和運用，是必須要求學生形成的正確的數(shù)學態(tài)度。

如，4+7+10+13+16+19+22……+100+103的求和公式是（首項+末項）×項數(shù)÷2。首項是4，末項是103，首尾兩兩相加都相等。這很好懂，但是有多少個這樣的數(shù)呢？雖然有求項數(shù)的公式：（末項－首項）÷公差+1，但靠死記硬背公式去計算，學生對算理并不理解，因而難以靈活運用。教師如果把它轉化成植樹問題去理解，等差數(shù)列求和類問題就會迎刃而解，如下圖（箭頭表示小樹）。

教師告訴學生，這就是一條路，并提問：如果我們把4看成是第4米，7就是第7米，那么能不能看圖編一道植樹問題的題目？一名學生回答：從第4米的地方開始植一棵樹，每隔3米植一棵，植到第103米，一共植了多少棵樹？另一名學生隨即做出解釋：這就是從頭到尾栽樹的情況。因為樹的棵樹=總長÷間隔長+1，所以算式是（103-4）÷3+1=34。

植樹問題還可以轉化為等差數(shù)列去思考（方法略）。知識之間的關節(jié)打通后，就會帶來方法的共融。

四、數(shù)學原本：抽象、轉化和推理

“原本”指本來的樣子。數(shù)學本來是要做什么？提供具體的問題情境，讓學生利用抽象、轉化和推理的方法發(fā)展思維能力。說具體點，就是發(fā)現(xiàn)實際問題中的數(shù)學成分，并對其做符號化處理，從而把實際問題轉化為數(shù)學問題；對符號化的問題做進一步的抽象化處理，以推理方式嘗試建立和使用不同的數(shù)學模型，并將其發(fā)展為更完善、合理的概念框架。

1.抽象要實現(xiàn)理性上升

從感性具體上升到理性具體的思維過程是第一次抽象。學習者可以在此基礎上，憑借想象和類比進行第二次抽象，得到那些并非直接來源于現(xiàn)實的數(shù)學概念和運算方法。

比如，要讓學生經(jīng)歷“在同一個圓內(nèi)，所有的半徑都相等”這個抽象結論的概括與遷移過程，教師可以設計以下教學環(huán)節(jié)：第一，讓學生畫出一個圓的多條半徑，并量一量它們的長度。第二，比一比這些半徑的長度。比如，量出的長度都是3厘米，也就是說這是一個半徑是3厘米的圓，這樣就可以得到“在這個圓中，量出的這些半徑的長度都是3厘米，它們的長度都相等”的結論。第三，進而猜測，得出“這個圓內(nèi)還沒有量出的半徑，長度也都是3厘米”或“這個圓內(nèi)所有半徑的長度都相等”的結論；再畫出幾條半徑，量一量，比一比，驗證猜測的結論是否正確。第四，想一想，為什么會有這樣的結論？或者說，為什么這個圓中的所有半徑都會相等？可以聯(lián)系剛才的度量，以及用圓規(guī)畫圓時兩腳尖之間的長度始終保持不變，或者根據(jù)圓的本質(zhì)屬性等來解釋結論的正確性。第五，進一步猜測得出“在任何一個圓中，所有的半徑都相等”這樣的結論；再另外畫圓，并度量半徑，驗證這個結論。第六，進一步想象、感悟這個結論的正確性。

2.推理要有法可依

邏輯推理主要有兩種形式，一是歸納推理，一是演繹推理。歸納推理是命題內(nèi)涵由小到大的推理，是一種從特殊到一般的推理。比如，推算三角形的內(nèi)角和時，我們經(jīng)過論證，發(fā)現(xiàn)鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形的內(nèi)角和都是180度，三角形按角分，只有這三類，所以可以推算出三角形內(nèi)角和是180度。演繹推理是命題內(nèi)涵由大到小的推理，是一種從一般到特殊的推理，通過演繹推理得到的結論是必然的。演繹推理的核心方法是三段論。

我們知道，數(shù)學的真實發(fā)展歷程并非是演繹的，而是先歸納后演繹。因此，為了還數(shù)學本來面目，現(xiàn)行數(shù)學教材的編寫并沒有一味地采用演繹體系。

3.轉化，最大限度實現(xiàn)學習高效

轉化是通過某種方式將一個新問題變成舊知識進行解決的思想。它可以從語言描述向圖形表示轉化，可以從語言表達向符號形式轉化，還可以是每一種情況反轉的轉化。數(shù)學教師的每次新授都是在幫學生找到一個轉化點，或把未知條件轉化為已知條件，或把一個綜合問題轉化為幾個基本問題，或把順向思維轉化為逆向思維。轉化的過程中，要努力實現(xiàn)學習遷移，特別是原理和態(tài)度的遷移，從而較快地提高學生的學習質(zhì)量和數(shù)學能力。

五、數(shù)學原則：嚴謹有理

嚴謹表現(xiàn)為兩個方面，一是思維的嚴密性，一是論證的嚴密性。在數(shù)學中，思維的嚴密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴格的邏輯規(guī)則；考察問題時嚴格、準確；進行運算和推理時精確無誤。數(shù)學是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的科學，論證的嚴密性是數(shù)學的根本特點之一。

1.充分利用直觀感知，加強變式練習

根據(jù)小學生的年齡和認知特點，教學時宜利用各種直觀手段，促使學生形成認知結構；在進行不完全歸納時，要兼顧例證的數(shù)量與質(zhì)量。實際教學中，教師應通過變式練習突出概念的本質(zhì)，區(qū)分易混淆的概念、知識，幫助學生克服思維定勢的消極影響。

2.創(chuàng)設教學情境時要符合教學的嚴謹性要求

教師在選擇提煉和再現(xiàn)生活場景時，要使之符合數(shù)學的嚴謹性要求。

前些日子，筆者參加一項研究課比賽活動。三位教師同課異構，教學內(nèi)容是人教版課標實驗教材五年級上冊《組合圖形的面積》。教材中的例題如下：

講課教師無一例外地讓學生分組討論：可以用哪些方法求出圖形的面積。學生思維活躍，想出了種種方法：分割法。把圖形分割成一個三角形和一個正方形，算式為5×5+ 5×2÷2；或者分割成兩個相等的梯形，算式為（2+5+5）× 5÷2。添補法。把三角形上面進行添補，變成一個長方形，然后減去添補的面積，算式為（2+5）×5-5×2÷2。還有割拼法，把組合圖形分割成兩個相同的梯形，然后把另一個梯形旋轉，移上去，拼成一個平行四邊形或者一個長方形，等等。

雖然學生的思維都很活躍，但我始終感到很納悶：居然沒有一位老師和一位學生對教材提出異議。教材呈現(xiàn)小男孩的話：“也可以把它分成兩個完全一樣的梯形來計算。”這句話的依據(jù)在哪里？我們知道，只有當上面的三角形是等腰三角形時，這句話才成立。題目給了這個條件嗎？沒有！教師引導學生測量驗證了嗎？也沒有！既然都沒有，我們怎能理直氣壯地用眼花繚亂的方法來求出組合圖形的面積呢？這不就是一種典型的假繁榮嗎？

教師要等學生提出多種方法后，提醒他們注意學習的嚴謹性，要求他們量一量，看是不是等腰三角形。我覺得，這才是學數(shù)學的態(tài)度；似是而非，在數(shù)學中是非常不可取的。

（作者單位：武穴市師范附屬小學）