“無關(guān)”與“不含”型問題例析

□李其明

“無關(guān)”與“不含”型問題例析

□李其明

在整式加減這一章中，我們經(jīng)常會(huì)遇到“無關(guān)”與“不含”這兩類問題，下面分別介紹這兩類題型的解法，供同學(xué)們參考.

一、“無關(guān)”型

所謂“無關(guān)”型問題，就是在整式加減的運(yùn)算中，代數(shù)式的值與其中的所含字母或部分字母無關(guān)的問題.處理這類“無關(guān)”型的問題時(shí)，只要能靈活運(yùn)用整式加減的運(yùn)算法則，就能使問題正確獲解.

例1有一道題“先化簡，再求值：17x2－（8x2＋5x）－（4x2＋x－3）＋（－5x2＋6x－1）－3，其中x＝2009.”小芬做題時(shí)把“x＝2009”錯(cuò)抄成了“x＝2090”.但她計(jì)算的結(jié)果卻是正確的，請你說明這是什么原因？

分析：本題可先將多項(xiàng)式去括號，合并同類項(xiàng)后，再看化簡結(jié)果進(jìn)行說理.如果化簡后的多項(xiàng)式中不含x，說明合并同類項(xiàng)后結(jié)果與x無關(guān).

解：17x2－（8x2＋5x）－（4x2＋x－3）＋（－5x2＋6x－1）－3

＝17x2－8x2－5x－4x2－x＋3－5x2＋6x－1－3

＝（17－8－4－5）x2＋（－5－1＋6）x＋（3－1－3）

＝－1.

由此可知，此多項(xiàng)式的值與字母x的取值無關(guān).所以小芬將x＝2009錯(cuò)抄成x＝2090時(shí)，計(jì)算的結(jié)果不變.

點(diǎn)評：抄錯(cuò)未知數(shù)的取值但計(jì)算結(jié)果正確，通常情況下都說明其代數(shù)式的化簡結(jié)果不含這個(gè)未知數(shù).

例2李華老師給學(xué)生出了一道題：當(dāng)a＝0.35，b＝－0.28時(shí)，求7a3－6a3b＋3a2b＋3a3＋6a3b－3ba2－10a3＋3的值.題目出完后小明說：“老師給的條件a＝0.35，b＝－0.28是多余的.”王光說：“不給這兩個(gè)條件，就不能求出結(jié)果，所以不是多余的.”你認(rèn)為他們誰說的有道理？為什么？

分析：要判斷誰說的有道理，可以先合并同類項(xiàng)，如果最后的結(jié)果是個(gè)常數(shù)，則小明說的有道理，否則，王光說的有道理.

解：7a3－6a3b＋3a2b＋3a3＋6a3b－3ba2－10a3＋3

＝（7＋3－10）a3＋（－6＋6）a3b＋（3－3）a2b＋3

＝3.

通過合并同類項(xiàng)可知，最后的結(jié)果為常數(shù)3，與a，b無關(guān)，所以小明說的有道理.

點(diǎn)評：處理代數(shù)式的值與字母取值無關(guān)的問題，一般是先將代數(shù)式化簡，求出其結(jié)果，如果結(jié)果中不含有某個(gè)字母，那么就能說明這個(gè)代數(shù)式的值與這個(gè)字母無關(guān).

二、“不含”型

例3 已知代數(shù)式（2mx2－x2＋3x＋1）－（5x2－4y2＋3x），是否存在m，使代數(shù)式不含x？若不存在，說明理由；若存在，求出m的值.

分析：本題實(shí)質(zhì)是化簡題，去括號、合并同類項(xiàng)是關(guān)鍵，只要含x的項(xiàng)的系數(shù)為零即可.

解：（2mx2－x2＋3x＋1）－（5x2－4y2＋3x）

＝2mx2－x2＋3x＋1－5x2＋4y2－3x

＝（2m－6）x2＋4y2＋1.

假設(shè)不含x，則2m－6＝0，所以m＝3，即存在m＝3使代數(shù)式不含x.

點(diǎn)評：解決這種“不含”問題，只要不含某未知數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)為0即可.

鞏固練習(xí)：

1.有這樣一道題：計(jì)算（3x2－2x＋1）－2（x2－x）－x2的值，其中x＝－2.小明同學(xué)把“x＝－2”錯(cuò)抄成“x＝2”，但他的計(jì)算結(jié)果是正確的，請回答這是怎么回事？試說明理由.

2.試說明無論x取怎樣的值，多項(xiàng)式（8－7x－6x2＋x3）＋（x3＋5x2＋4x－1）－（－x2－3x＋2x3－3）的值與x無關(guān).

參考答案：

1.原式＝3x2－2x＋1－2x2＋2x－x2＝1.故無論x為何值，原式的值恒等于1，所以小明把“x＝－2”錯(cuò)抄成“x＝2”也不影響計(jì)算的結(jié)果.

2.因?yàn)椋?－7x－6x2＋x3）＋（x3＋5x2＋4x－1）－（－x2－3x＋2x3－3）＝8－7x－6x2＋x3＋x3＋5x2＋4x－1＋x2＋3x－2x3＋3＝10.所以無論x取何值，原式的值都等于10，所以多項(xiàng)式的值與x無關(guān).