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○解題研究○

一道題目的解題視角

陳昭亮

(陜西省西安中學(xué),710018)

羅增儒先生在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中提出,數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的核心內(nèi)容．解題是一種認(rèn)識(shí)活動(dòng),是對(duì)概念、定理的繼續(xù)學(xué)習(xí),是對(duì)方法的繼續(xù)熟練,而不僅僅是“規(guī)則的簡(jiǎn)單重復(fù)”或“操作的生硬執(zhí)行”.解題的思維活動(dòng),正是從已明確地給予的、已知的東西出發(fā),去發(fā)現(xiàn)隱蔽存在的、待求解(證)的結(jié)論.這是一個(gè)積極而生動(dòng)的發(fā)現(xiàn)過程、創(chuàng)造過程.

當(dāng)解題由一個(gè)步驟推進(jìn)到另一個(gè)步驟時(shí),其實(shí)就是知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系與生成;

當(dāng)解題由一個(gè)關(guān)系結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)到另一個(gè)關(guān)系結(jié)構(gòu)時(shí)(比如由形到數(shù)、或由數(shù)到形),其實(shí)就是關(guān)系結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系與生成;

當(dāng)解題并列著多個(gè)解法時(shí),其實(shí)就意味著產(chǎn)生不同解法的知識(shí)點(diǎn)之間存在邏輯聯(lián)系或?qū)?yīng)關(guān)系.

筆者隨著教學(xué)實(shí)踐的深入,對(duì)羅先生的這些觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)愈加深刻,從而也促進(jìn)筆者更加有意識(shí)地進(jìn)行解題分析,以典型題目的透徹分析促進(jìn)學(xué)生解題能力的有效提升.本文以筆者對(duì)一道課本題目的教學(xué)及思考為例,說明筆者學(xué)習(xí)解題分析的過程及教學(xué)啟示．

一、問題提出

筆者在教學(xué)高中數(shù)學(xué)選修2-2(北師大版)的“綜合法與分析法”的習(xí)題課時(shí),選用了教材第12頁(yè)習(xí)題1-2的第4題:已知a,b,c,d都是實(shí)數(shù),且a2+b2=1,c2+d2=1,求證:

|ac+bd|≤1．

筆者在思考后發(fā)現(xiàn)這道題目平中透奇,不但具有很好的數(shù)學(xué)背景,而且還能變式探究,得出這類問題的一般規(guī)律,是提升學(xué)生思維品質(zhì)的好素材．

二、問題解決

思路1數(shù)學(xué)(選修2-2)教師教學(xué)用書上給出的證明方法:利用了已知條件的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行聯(lián)想,由a2+b2=1聯(lián)想到三角函數(shù)中的cos2α+sin2α=1.所以,我們?cè)O(shè)

a=cosα,b=sinα,

c=cosβ,d=sinβ,

則|ac+bd|=cosαcosβ+sinαsinβ|

=|cos(α-β)|

≤1.

思路2由已知條件的a2,b2,c2,d2及結(jié)論中的ac+bd等結(jié)構(gòu)特點(diǎn),聯(lián)想到構(gòu)造柯西不等式證明．由柯西不等式知

(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)；

又因?yàn)閍2+b2=1,c2+d2=1,

從而(ac+bd)2≤1．

所以|ac+bd|≤1．

思路3由a2+b2=1,c2+d2=1,的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),把他們分別看作向量m=(a,b),n=(c,d)模的平方,故可考慮構(gòu)造向量

m=(a,b),n=(c,d),

所以|m·n|=|m||n||cos〈m,n〉|

=|cos〈m,n〉|；

又|m·n|=|ac+bd|,

所以|ac+bd|=|cos〈m,n〉|

≤1．

思路4由已知中的a2+b2,c2+d2及結(jié)論中的ac,bd聯(lián)想到完全平方公式,故可考慮利用a2+b2≥2ab,c2+d2≥2cd這兩個(gè)不等式來證明．

因?yàn)?=a2+b2+c2+d2

=(a2+c2)+(b2+d2)

≥2|ac|+2|bd|

=2(|ac|+|bd|)

≥2|ac+bd|,

所以|ac+bd|≤1．

思路5考慮到已知條件和要證結(jié)論中都有數(shù)字1,故可考慮把要證明不等式中的1替換為(a2+b2)(c2+d2),然后再用分析法證明．證明過程簡(jiǎn)述為:

要證明|ac+bd|≤1,只需證明(ac+bd)2≤1,從而只需證明(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),從而只需證明a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+b2d2+a2d2+b2c2, 即只需證明2abcd≤a2d2+b2c2，即0≤(ad-bc)2,這顯然成立，從而原不等式成立．

本題五種解題思路的得出,源自筆者備課時(shí)的精心預(yù)設(shè)(思路1、2、3),以及課堂上的意外生成(思路4、5),正如蘇軾在《題西林壁》中的詩(shī)句:橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同．事實(shí)上,尋找解題思路的過程就是尋找條件與結(jié)論之間邏輯聯(lián)系或轉(zhuǎn)化軌跡的過程,在這個(gè)過程中,我們激活知識(shí)、檢索知識(shí)、提取知識(shí)、組織知識(shí),使解題與發(fā)展同行.所以，羅增儒先生認(rèn)為:解題活動(dòng)是掌握數(shù)學(xué)、學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”的關(guān)鍵途徑.

三、結(jié)論的應(yīng)用

在探究了本題的不同解題方法之后,筆者又順勢(shì)而下,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題反思,抽絲剝繭,從這一個(gè)問題的解答得出一類問題的解答,從而達(dá)到對(duì)這類問題的本質(zhì)領(lǐng)悟．

引申1已知a,b,c,d都是實(shí)數(shù),且a2+b2=p,c2+d2=q,求|ac+bd|的最大值．

解仿照思路1,利用三角換元法．設(shè)

引申2已知a,b,c,d,e,f都是實(shí)數(shù),且a2+b2+c2=p,d2+e2+f2=q,求|ad+be+cf|的最大值．

解上面的三角換元法對(duì)本題失效,說明三角換元法有局限性,我們應(yīng)該尋求更一般的解法．這里用柯西不等式解答．

∵(ad+be+cf)2

≤(a2+b2+c2)(d2+e2+f2)

=pq,

解由柯西不等式，得

(a1b1+a2b2+…+anbn)2

=pq,

四、教學(xué)啟示

這種對(duì)一道典型題目進(jìn)行多角度解題分析,能使學(xué)生從題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)上、數(shù)字特點(diǎn)上、已知和未知的聯(lián)系上等多角度看待問題.如，本題中根據(jù)a2+b2=1聯(lián)想到的cos2α+sin2α=1(思路1)、向量m=(a,b)的模(思路3),從已知a2+b2=1,c2+d2=1和未知中的ac,bd及ac+bd的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到柯西不等式(思路2)、基本不等式(思路4).從而揭示出數(shù)學(xué)內(nèi)容的更內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)和更直截了當(dāng)?shù)年P(guān)系,進(jìn)而推動(dòng)解題過程的改進(jìn),解題成果的擴(kuò)大,解題模式的積累,解題經(jīng)驗(yàn)的生成.進(jìn)一步從本題出發(fā)又拓展出引申1、引申2、引申3,不斷抽絲剝繭,拋開了題目對(duì)數(shù)字的依賴,從特殊走向一般.這道題目的解題過程啟發(fā)我們?cè)诮虒W(xué)中要通過典型題目的多角度、多視角的剖析,引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)學(xué)地思維”到“通過練習(xí)學(xué)會(huì)思維”．