李小燕,高英

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶400047)

?

多目標(biāo)優(yōu)化問題擬近似有效解非線性標(biāo)量化的一個(gè)注記

李小燕,高英

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶400047)

摘要：主要研究多目標(biāo)優(yōu)化問題擬近似(弱)有效解.在沒有任何凸性假設(shè)下,通過非線性標(biāo)量化方法給出了多目標(biāo)優(yōu)化問題擬近似(弱)有效解的充分條件.主要結(jié)果修正了已有文獻(xiàn)中的錯(cuò)誤,并通過例子對(duì)其錯(cuò)誤進(jìn)行了說明.

關(guān)鍵詞：多目標(biāo)優(yōu)化;擬近似有效解;非線性標(biāo)量化

1　引言

在多目標(biāo)優(yōu)化問題中,解的定義,最優(yōu)性條件和對(duì)偶理論是十分重要的課題,對(duì)其理論研究也越來越多[1-21].其中,如何定義解的概念是首要的問題.近幾十年來,多目標(biāo)優(yōu)化問題近似解的概念陸續(xù)被許多學(xué)者提出.文獻(xiàn)[10-11]首先引進(jìn)了ε-有效解的概念.文獻(xiàn)[12]研究了六種不同類型的ε-有效解.后來,又有一些學(xué)者提出幾種其他類型的ε-有效解[13-14].受文獻(xiàn)[14]研究工作的啟發(fā),文獻(xiàn)[15-16]又提出了近似Benson真有效解的概念.有了這些解的概念之后,對(duì)它們的理論研究也隨之豐富起來[15-20].本文主要針對(duì)文獻(xiàn)[20]中的擬近似(弱)有效解,在沒有任何凸性條件下研究其非線性標(biāo)量化刻畫,修正文獻(xiàn)[20]中主要結(jié)果的錯(cuò)誤.

令Rn為n維歐氏空間, Rn+為其非負(fù)象限.本文將用到如下的偏序關(guān)系:x≤y的否定記為x /≤y.

文獻(xiàn)[20]考慮如下的多目標(biāo)優(yōu)化問題:

其中, X?Rn非空, fi: X→R, i = 1,···,m.記M = {1,···,m}.

(i)稱x0為(MOP)的擬有效解,若

(ii)稱x0為(MOP)的擬弱有效解,若

文獻(xiàn)[20]針對(duì)定義1.1的兩種近似解,利用一種非線性標(biāo)量化函數(shù)給出了其最優(yōu)性充要條件.但充分性的證明存在錯(cuò)誤.本文將通過例子說明其充分性不一定成立,并對(duì)該錯(cuò)誤進(jìn)行修正,建立正確的充分條件.

2　主要結(jié)果

文獻(xiàn)[20]利用文獻(xiàn)[21]中的定理,研究了(MOP)的擬弱有效解非線性標(biāo)量化,得到了如下結(jié)果.

定理2.1[20]設(shè)x0∈X,則x0為(MOP)的擬弱有效解當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的y?i＜ fi(x0), i∈M, x0是如下標(biāo)量化問題的擬最優(yōu)解

注意到文獻(xiàn)[20]中,對(duì)定理2.1充分性的證明用到了如下的結(jié)果:對(duì)任意的

則有

事實(shí)上,以上結(jié)論不一定成立,見如下例子.

而

這一錯(cuò)誤導(dǎo)致定理2.1的充分性結(jié)果不一定成立,參見如下的例子.

例2.2在(MOP)中,令

則定理2.1的充分條件是成立的,即對(duì)任意的y?i＜fi(x0) = 0,i = 1,2, x0是(SP1)的一個(gè)擬最優(yōu)解.但x0= 0不是(MOP)問題的擬弱有效解.

事實(shí)上,

也就是x0= 0不是(MOP)的擬弱有效解.

需證

上式等價(jià)于

即

即

即

即

即

即

即

令

即

下面,給出正確的充分性結(jié)果.

因此,若

則有

利用上面的結(jié)果給出如下正確的充分條件.

定理2.2設(shè)x0∈X,若對(duì)任意的是如下的標(biāo)量化問題的擬最優(yōu)解

則x0是(MOP)的一個(gè)擬弱有效解.其中

或

或

類似文獻(xiàn)[20]定理2.1的證明,可得0＞0的矛盾.因此x0= 0是(MOP)的一個(gè)(ε,ˉε)-擬弱有效解.

注2.2定理2.1的必要性是成立的.但定理2.2的必要性不一定成立.參見如下的例子.

例2.3在(MOP)中,令

容易證明x0= 0是(MOP)的(ε,ˉε)-擬弱有效解.令

則

可以發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[20]中定理4和定理5的證明過程中也出現(xiàn)了類似的錯(cuò)誤.首先給出文獻(xiàn)[20]中的定理4和定理5,見定理2.3和定理2.4.

定理2.3[20]設(shè)x0∈X,若對(duì)任意的i∈M, x0是如下標(biāo)量化問題的擬最優(yōu)解

則x0是(MOP)的擬有效解.其中

定理2.4[20]設(shè)x0∈X,若對(duì)任意的i∈M, x0是如下標(biāo)量化問題的擬最優(yōu)解

則x0是(MOP)的擬有效解.其中

在文獻(xiàn)[20]中對(duì)定理2.3的證明用到了如下結(jié)果:由

有

根據(jù)前面的討論上式是不一定成立的.因此,定理2.3不一定成立.類似地可以給出修正的充分條件(見定理2.5).事實(shí)上,由(2.2)式可以得到:

同樣地,文獻(xiàn)[20]中對(duì)定理2.4的證明也出現(xiàn)了類似的錯(cuò)誤,作者用到了如下的結(jié)果:由

顯然,上式不一定成立.因此,文獻(xiàn)[20]定理5不一定成立.此外,由(2.3)式和(2.4)式可得:

由此,可以給出修正的充分條件(見定理2.6).

定理2.5設(shè)x0∈X,若對(duì)任意的i∈M, x0是如下標(biāo)量化問題的擬最優(yōu)解

則x0是(MOP)的擬有效解.其中

定理2.6設(shè)x0∈X,若對(duì)任意的i∈M, x0是如下標(biāo)量化問題的擬最優(yōu)解

則x0是(MOP)的擬有效解.其中

參考文獻(xiàn)

[1] Geoffrion A M. Proper efficiency and the theory of vector maximization [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1968,22:618-630.

[2]高英.一類多目標(biāo)廣義分式規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件和對(duì)偶[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué), 2011,27(4):477-485.

[3] Li Z F, Wang S Y. Lagrange multipliers and saddle points in multiobjective programming [J]. Journal of optimization theory and applications, 1994,83:63-81.

[4] Li Z F, Chen G Y. Lagrangian Multipliers, saddle points and duality in vector optimization of Set-Valued maps [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1997,215:297-316.

[5] Li Z. A theorem of the alternative and Its application to the optimization of Set-Valued maps [J]. Journal of Optimization Theory and Applications, 1999,100(2):365-375.

[6]高英.非可微多目標(biāo)優(yōu)化問題的高階逆對(duì)偶定理[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué), 2014, 30(2):136-142.

[7] Yang X M, Yang X Q, Teo K L. Converse duality in nonlinear programming with cone constraints [J]. European Journal of Operational Reasearch, 2006,170:350-354.

[8] Mishra S K, Wang S Y, Lai K K. Higher-order duality for a class of nondifferentiable multiobjective programming problems involving generalized type I and related function [J]. J. Syst. Sci. Complex., 2011,24:883-891.

[9]李紅梅,高英.一類錐約束多目標(biāo)優(yōu)化問題的高階對(duì)偶研究[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué), 2015,31(1):73-84.

[10] Kutateladze S S. Convex-programming [J]. Sov. Math. Dokl., 1979,20:390-393.

[11] Loridan P.ε-solutions in vector minimization problems [J]. Journal of Optimization Theory and Applications, 1984,43(2):265-276.

[12] White D J. Epsilon efficiency [J]. Journal of Optimization Theory and Applications, 1986,49(2):319-337.

[13] Helbig S, Pateva D. On several concepts for ε-efficiency [J]. OR Spektrum, 1994,16(3):179-186.

[14] Guti′errez C, Jim′enez B, Novo V. A unified approach and optimality conditions for approximate solutions of vector optimization problems [J]. SIAM Journal on Optimization, 2006,17:688-710.

[15] Gao Y, Yang X M, Teo K L. Optimality conditions for approximate solutions of vector optimization problems [J]. Journal of Industrial and Management Optimization, 2011,7:483-496.

[16] Gao Y, Hou S H, Yang X M. Existence and optimality conditions for approximate solutions to vector optimization problems [J]. Journal of Optimization Theory and application, 2012,152:97-120.

[17] Engau A, Wiecek M M. Generating ε-efficient solutions in multiobjective programming [J]. European Journal of Operational Research, 2007,177:1566-1579.

[18] Ghaznavi B A, Khorram E. On approximating weakly/properly efficient solutions in multi-objective programming [J]. Mathematical and Computer Modelling, 2011,54:3172-3181.

[19] Ghaznavi B A, Khorram E, Soleimani-Damaneh M. Scalarization for characterization of approximate strong/weak/proper efficiency in multiobjective optimization [J]. Optimization, 2013,62(6):703-720.

[20] Beldiman M, Panaitescu E, Dogaru L. Approximate quasi efficient solutions in multiobjective optimization [J]. Bull. Math. Soc. Math. Roumanie Tome, 2008,51(2):109-121.

[21] Kaliszewski I. A theorem on nonconvex functions and its application to vector optimization [J]. European Journal of Operational Research, 1995,80:439-449.

2000 MSC: 90C32, 90C46, 90C47

A note on nonlinear scalarizations of approximate quasi efficient solutions

Li Xiaoyan , Gao Ying
(Department of Mathematics, Chongqing Normal University, Chongqing 400047, China)

Abstract:In this paper, we consider approximate quasi (weakly) efficient solutions of multiobjective programming problems and give some sufficient conditions for these approximate solutions via nonlinear scalarization without any convexity assumptions. Our results correct the mistakes of several existence results. And some examples are given to illustrated the main results.

Key words:multiobjective programming problems, approximate quasi efficient solutions, nonlinear scalarization

通訊作者：高英(1982-),博士,副教授,研究方向:最優(yōu)化理論與方法.

作者簡(jiǎn)介：李小燕(1990-),碩士生,研究方向：多目標(biāo)優(yōu)化.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(11201511);重慶市科委項(xiàng)目(cstc2015jcyjA00005);重慶市教委項(xiàng)目(KJ1500309).

收稿日期：2015-05-04.

DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2016.01.005

中圖分類號(hào)：O221.6

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-5513(2016)01-0026-10