孫杰

摘要：薛定諤方程在光纖通信領(lǐng)域應(yīng)用較為普遍與重要，本文主要針對(duì)一個(gè)高維耦合的薛定諤方程進(jìn)行研究，先是給出了該高維耦合薛定諤方程的物理意義與應(yīng)用背景，然后從光纖在傳導(dǎo)中的無(wú)損傳導(dǎo)現(xiàn)象出發(fā)，依據(jù)雙線(xiàn)性方法探究了該耦合方程的孤子形式的解，并且借助符號(hào)計(jì)算根據(jù)孤子解的圖像討論了該薛定諤方程孤子解的傳播過(guò)程。耦合薛定諤方程中存在孤子解之間的彈性碰撞，這在信號(hào)放大和光開(kāi)關(guān)的研究中具有重要的意義，在通信系統(tǒng)中改善光傳輸系統(tǒng)方面的也有很多的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：光纖通信；無(wú)損傳導(dǎo)；符號(hào)計(jì)算；孤子解；彈性碰撞

中圖分類(lèi)號(hào)：TN91

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2016.02.005

引言

光纖通信中，損耗和色散是限制傳輸距離和傳輸容量的主要原因，隨著光纖制造技術(shù)的不斷發(fā)展，光纖的損耗已經(jīng)降低到接近理論極限值的程度，色散問(wèn)題就成為實(shí)現(xiàn)超長(zhǎng)距離和超大容量光纖通信的主要問(wèn)題，光孤子通信是一種全光非線(xiàn)性通信方式，也是消除色散的最佳途徑，因此對(duì)于光孤子的研究與使用也變得尤其重要。

相對(duì)于普通通信方式，光纖通信的應(yīng)用領(lǐng)域較為廣泛，光纖通信的優(yōu)點(diǎn)在這里可以充分發(fā)揮其自身的優(yōu)勢(shì)，并且逐步取代電纜，可以在各個(gè)方面得到廣泛應(yīng)用。過(guò)去的時(shí)候長(zhǎng)途干線(xiàn)通信過(guò)去主要靠電纜、微波、衛(wèi)星通信，現(xiàn)以逐步使用光纖通信并形成了占全球優(yōu)勢(shì)的比特傳輸方法；用于全球通信網(wǎng)、各國(guó)的公共電信網(wǎng)；它還被用于高質(zhì)量彩色的電視傳輸、工業(yè)生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)視和調(diào)度、交通監(jiān)視控制指揮、城鎮(zhèn)有線(xiàn)電視網(wǎng)、共用天線(xiàn)系統(tǒng)，用于光纖局域網(wǎng)中使用。

光纖傳輸系統(tǒng)主要包括：光發(fā)送機(jī)、光接收機(jī)、光纜傳輸線(xiàn)路、光中繼器和各種無(wú)源光器件等構(gòu)成。但是要實(shí)現(xiàn)通信，基帶信號(hào)還必須經(jīng)過(guò)電機(jī)對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理后送到光纖傳輸系統(tǒng)完成通信過(guò)程。

隨著通信技術(shù)的不斷發(fā)展，光孤子通信已經(jīng)出現(xiàn)在了人們的視野當(dāng)中，光孤子通信是一種全光非線(xiàn)性通信技術(shù)，其基本原理是光纖折射率的非線(xiàn)性（自相位調(diào)制）效應(yīng)導(dǎo)致對(duì)光脈沖的壓縮可以與群速色散引起的光脈沖展寬相平衡，在一定條件（光纖的反常色散區(qū)及脈沖光功率密度足夠大）下，光孤子能夠長(zhǎng)距離不變形地在光纖中傳輸。它完全擺脫了光纖色散對(duì)傳輸速率和通信容量的限制，其傳輸容量比原來(lái)最好的通信系統(tǒng)高出了許多，中繼距離也可達(dá)到幾百km。因此光孤子通信被認(rèn)為是下一代最有發(fā)展前途的傳輸方式之一。

薛定諤方程已經(jīng)廣泛的被應(yīng)用在了光通信，等離子物理，流體力學(xué)，量子物理等領(lǐng)域，其中在光纖通信中的領(lǐng)域應(yīng)用較為普遍與重要，薛定諤方程可以用來(lái)描述光孤子在光纖中的傳播現(xiàn)象與原理。1973年，Hasagawa和Tappert首次提出了利用光纖中的非線(xiàn)性與異常色散相互作用的原理進(jìn)行超長(zhǎng)距離光孤子通信并且被實(shí)踐所證實(shí)，同時(shí)Hasagawa和Tappen又提出了利用非線(xiàn)性與正常色散相互作用的暗孤子傳輸方案，其中光孤子傳播的模型由如下薛定諤方程所表示：

其中q表示光脈沖在傳播中的包絡(luò)，t與x分別表示時(shí)間與空間變量。這個(gè)模型最開(kāi)始被用來(lái)描述光孤子在單模光纖中的傳播模型，而隨著科技的進(jìn)步，研究者在科研中發(fā)現(xiàn)了耦合的薛定諤方程可以用來(lái)描述在多模光纖、光纖陣列和雙折射光纖等光纖介質(zhì)中具有不同頻率或極化的多個(gè)光脈沖或光束的同時(shí)傳播，這些耦合薛定諤方程可用于研究孤子波分復(fù)用、多信道比特并行波長(zhǎng)光纖網(wǎng)絡(luò)等等。因?yàn)榉匠蹋╨）所描述的光脈沖能力有限，所以我們引入耦合的NLS方程去描述更為復(fù)雜的光脈沖傳播原理，本文我們主要研究一個(gè)變系數(shù)3+1維的耦合薛定諤方程

其中，φ與是變量x，y，z和t的復(fù)函數(shù)，表示在光纖傳播中圓極波的振幅，β（z）是二階反應(yīng)擴(kuò)散系數(shù)，x（z）是相位調(diào)制。該耦合薛定諤方程介紹了在非線(xiàn)性光學(xué)系統(tǒng)中的橫向效應(yīng)，它也出現(xiàn)在非線(xiàn)性光纖的耦合波包和光孤子傳輸?shù)难芯恐小?/p>

本文的關(guān)鍵點(diǎn)在于針對(duì)該變系數(shù)3+1維耦合薛定諤方程，進(jìn)行了深入的解析討論，借助符號(hào)計(jì)算給出了該方程的孤子解，并給出了孤子解之間的相互碰撞作用分析，這些理論的分析研究為以后光在通信系統(tǒng)中改善光傳輸系統(tǒng)方面的應(yīng)用打下了較好的理論基礎(chǔ)。

1 雙線(xiàn)性形式

在本節(jié)，我們將利用計(jì)算機(jī)符號(hào)計(jì)算以及雙線(xiàn)性方法求出該（3+1）維耦合薛定諤方程的雙線(xiàn)性形式。首先，作因變量變換

其中，g，h和f是關(guān)于x，y，z和t的復(fù)可微函數(shù)，由以上變量變換我們可以得到方程（2）的雙線(xiàn)性形式如下：

2 方程的孤子解

在求孤子解的過(guò)程中，首先借助了小參數(shù)展開(kāi)的方法，我們可以借助符號(hào)計(jì)算把g，h，f展開(kāi)成小參數(shù)ε的冪級(jí)數(shù)形式

（a）單孤子解

為了得到方程（2）的單孤子解，把表達(dá)式（6）截?cái)喑上铝行问綄⑹阶樱?），（8）帶入雙線(xiàn)性式子（5），可得

不失一般性，我們令E=l，可以得出方程（2）的下列單孤子解

（b）雙孤子解

同樣為了得到方程（3）的雙孤子解，在這里把表達(dá)式（6）截?cái)酁槠渲羞@里的

不失一般性，我們令ε=1，可以得出方程（2）的下列雙孤子解

3 孤子的傳播與相互碰撞性質(zhì)

根據(jù)上面所得到的該耦合薛定諤方程的孤子解，下面借助由解得來(lái)的圖像來(lái)分析判斷單雙孤子解的形狀與運(yùn)動(dòng)性質(zhì)。

在圖1中的兩個(gè)單孤子解的傳播圖像可以看到，單孤子在傳播的過(guò)程中保持它們?cè)瓉?lái)的方向、寬度和振幅不變。

如圖2描述了雙孤子之間發(fā)生的彈性碰撞，雙峰孤子可以穩(wěn)定的傳輸，而不改變?cè)瓉?lái)的寬度和振幅，這種性質(zhì)可用于改善光傳輸系統(tǒng)。

4 結(jié)論

本文我們?cè)敿?xì)研究了一個(gè)在光纖通信中的變系數(shù)3+1維的耦合薛定諤方程，通過(guò)雙線(xiàn)性方法并借助符號(hào)計(jì)算，我們推導(dǎo)出了該方程的雙線(xiàn)性形式以及單、雙孤子解。通過(guò)畫(huà)圖分析，研究了孤子傳播以及孤子的彈性彈性碰撞的相關(guān)特點(diǎn)種性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)雙孤子發(fā)生彈性碰撞，可以穩(wěn)定的傳輸，而不改變?cè)瓉?lái)的寬度和振幅。

該方程描述了光脈沖在光纖中的傳輸與非線(xiàn)性光學(xué)的橫向效應(yīng)，當(dāng)色散項(xiàng)與非線(xiàn)性項(xiàng)達(dá)到某種平衡的時(shí)候，光纖可以在進(jìn)行最大限度地?zé)o損傳播。利用好方程各項(xiàng)系數(shù)之間的相互作用關(guān)系，對(duì)于研究光纖的傳導(dǎo)是有著極大的用處的，使光脈沖變寬和變窄兩種效應(yīng)剛好抵消，能在光纖傳輸中保持不變，實(shí)現(xiàn)超長(zhǎng)距離，超大容量的通信，另外也可據(jù)此解與圖像的分析得到的結(jié)果可能在光通信系統(tǒng)中改善光傳輸系統(tǒng)方面有潛在的應(yīng)用。通過(guò)對(duì)這些理論的研究可以更好地為光纖通信的發(fā)展，奠定堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，最大效率地達(dá)到光纖通信很好應(yīng)用的目的。