旋轉(zhuǎn)極小曲面中微分方程通解的解法

張雅靜++田玉++尚隨明

摘要：微分方程解析解（即通解）的求解方法十分復(fù)雜，數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ξ⒎址匠痰难芯恐卦趲讉€不同的方面，但大多數(shù)都是關(guān)心微分方程的解.只有少數(shù)簡單的微分方程可以求得解析解不過即使沒有找到其解析解，仍然可以確認(rèn)其解的部份性質(zhì).本文用加減消元法、微分方程解析解的求法及一些數(shù)學(xué)技巧給出了旋轉(zhuǎn)極小曲面中微分方程的通解.和其他文獻(xiàn)中該方程的解法進(jìn)行比較，本文的方法更加簡單易懂。

關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)曲面；微分方程；Hamilton量守恒；懸鏈線；雙曲函數(shù)

中圖分類號：0175.11

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

DOI：10.3969/j.issn 1003-6970.2016.02.002

引言

微分方程指描述未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程.微分方程的解是一個符合方程的函數(shù).而在初等數(shù)學(xué)的代數(shù)方程，其解是常數(shù)值，微分方程的應(yīng)用十分廣泛，可以解決許多與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問題，物理中許多涉及變力的運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)問題，如空氣的阻力為速度函數(shù)的落體運(yùn)動等問題，很多可以用微分方程求解，此外，微分方程在化學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、圖像處理和人口統(tǒng)計等領(lǐng)域都有應(yīng)用，數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ξ⒎址匠痰难芯恐卦趲讉€不同的方面，但大多數(shù)都是關(guān)心微分方程的解，只有少數(shù)簡單的微分方程可以求得解析解（即通解），不過即使沒有找到其解析解，仍然可以確認(rèn)其解的部分性質(zhì).在無法求得解析解時，可以利用數(shù)值分析的方式，利用電腦來找到其數(shù)值解，近些年，有專家在最優(yōu)問題中使用了微分方程這一工具，取得了很好的結(jié)果，在本文中，我們研究微分方程的通解解法。

眾所周知，求不定積分的方法有湊微分法、分部積分法等方法，有時還需要一些技巧才能把一個函數(shù)的不定積分求出來.但即使這樣，有些函數(shù)的不定積分根本就不是初等函數(shù)，即常說的不可積分，微分方程通解的求解方法更是復(fù)雜，有時求出來的通解還是隱函數(shù)的形式，很難顯化或無法顯化，使我們很難看出函數(shù)是哪類曲線的方程.本文討論了最優(yōu)問題中旋轉(zhuǎn)極小曲面問題，該問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題就是解微分方程問題，該微分方程屬于可求解類型.本文利用解微分方程的分離變量法先求出其隱式通解，并用一些數(shù)學(xué)技巧把隱式顯化，使讀者更容易看出該問題最優(yōu)解的形式.同時將本文中的方程求解方法同其他文獻(xiàn)中的方法進(jìn)行比較，優(yōu)勢明顯。

上式是隱函數(shù)，u（x）的表達(dá)式不容易看出.故運(yùn)用一些數(shù)學(xué)技巧將上式顯化，通過變形得到

1 正文

曲線C繞定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面，其中C為母線。而旋轉(zhuǎn)極小曲面是指在平面上給定兩點(diǎn)錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，Y1，y2>o，x11[x1，x2]，使得它的圖像繞X軸旋轉(zhuǎn)后所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的面積最小。這樣的曲面稱其為旋轉(zhuǎn)極小曲面。接下來，本文求解一下這樣的曲線究竟是什么曲線。

設(shè)u（x1）=yi，i=l，2，并且u（x）>o，其旋轉(zhuǎn)曲面的面積是

本文要找到合適的u，使得，達(dá)到極小值，

由Hamilton量守恒公式

H（u（x），p（x））=L（u（x），p（x））-u（x）Lp（u（x），p（x））=c知，若u使得I達(dá)到極小值，則u滿足Hamilton量守恒公式，在本文中

這是一個可分離變量微分方程，關(guān)于微分方程通解的求法，很多文獻(xiàn)都有詳細(xì)的闡述。文獻(xiàn)對微分方程的解法做了系統(tǒng)的總結(jié).而方程（2）的解即最小旋轉(zhuǎn)曲面的方程.下面我們求該微分方程的通解.

在文中有一個類似的問題，下面我們給出該問題的求解過程.

例：求長為L的柔軟而均勻的繩索，兩端系于A和B，在自重的作用下繩索下懸，求懸線的形狀。

解因?yàn)樵谄胶鉅顟B(tài)時，重心應(yīng)當(dāng)取最低的位置，在此我們假定繩索是不可伸長的，并設(shè)A（xo，yo），B（x1，Y1）為端點(diǎn)的懸線。函數(shù)y=y（x）是條件變分：

觀察可知，例題與本文研究的問題雖然不同，但要求解的方程是一樣的，下面本文給出文作者給出的解法。

首先構(gòu)造輔助函數(shù)

這個方程就是懸鏈線方程，其中λ，c1，c2由等周條件及邊界條件確定。

讀者比較這兩種方程的解法，易見前者明顯優(yōu)于后者.后者解法看上去簡單，但讀者首先要知道懸鏈線的方程，還要十分熟悉雙曲函數(shù)的性質(zhì)，才能理解文中的解法.若在文中用了三角函數(shù)的性質(zhì)l+tan?t：sec?t，即令y=tanf，則，按照我們上面給的步驟代入，計算程度會更加復(fù)雜.故我們前面給的解法簡單、易懂。

3 結(jié)論

本文給出了最優(yōu)問題中旋轉(zhuǎn)極小曲面的方程，其圖像是懸鏈線，并將本文的解題方法同文獻(xiàn)中的解法進(jìn)行了比較，本文的更加簡單清晰.最后指出懸鏈線是一種曲線，它的形狀因與懸在兩端的繩索因均勻引力作用下掉下來之形相似而名，適當(dāng)選擇坐標(biāo)系后，懸鏈線的方程是一個雙曲余弦函數(shù)，懸索橋、雙曲拱橋、架空電纜電線等都用到懸鏈線的原理，本文中求解該方程用到了加減消元法和分母有理化的技巧，不然很難將方程的解顯化出來并看出其具體形狀，和文獻(xiàn)中已知結(jié)果再求方程的解法完全不同，本文提出的方法更加簡單易懂。