◇江春蓮 劉付茵

數(shù)學(xué)教育的國際比較研究
——ICME-13的第一個大會報告及其對我國小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

◇江春蓮 劉付茵

ICME-13的第一個大會報告是90分鐘的團隊報告，報告的主題為“數(shù)學(xué)教育的國際比較研究：提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗”，由美國特拉華大學(xué)的蔡金法教授領(lǐng)銜，其他成員有澳大利亞墨爾本大學(xué)的凱·斯泰西(Kaye Stacey)教授、中國香港大學(xué)的莫雅慈(Ida A.C.Mok)教授和南非人類科學(xué)研究會的維杰·瑞迪(Vijay Reddy)，他們四人每人作了約17分鐘的報告。本文介紹該報告的主要內(nèi)容，并結(jié)合我國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)實際情況作些反思。

一、國際比較研究的意義

蔡金法教授首先強調(diào)了國際比較研究的重要意義，其意義主要體現(xiàn)在如下三點：（1）可以比較不同學(xué)校的制度、傳統(tǒng)和文化，而這可能難以在一個單一的制度、文化下進行；（2）通過與其他國家的比較和對自身經(jīng)驗的反思幫助我們明晰應(yīng)采取的態(tài)度和立場，這一點尤為重要；（3）可以讓我們接觸不同的數(shù)學(xué)教學(xué)方法和提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的方法。接下來，四人各自分享了從自己參與的國際比較項目中得到的經(jīng)驗。

二、考查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的傾向和經(jīng)驗

凱·斯泰西教授試圖以2012年的PISA（國際學(xué)生評估項目的簡稱）數(shù)據(jù)刻畫PISA測試的能力與學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗之間的關(guān)系，并試圖解釋學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗對其數(shù)學(xué)自我概念的影響。

要解決PISA的來自現(xiàn)實世界的問題，學(xué)生需要經(jīng)歷的三個階段及其對應(yīng)的能力為：（1）轉(zhuǎn)化能力，即將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力；（2）應(yīng)用能力，即應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和方法解決數(shù)學(xué)問題的能力；（3）詮釋能力，即結(jié)合現(xiàn)實問題情境詮釋得到的數(shù)學(xué)結(jié)果的能力。她比較了日本、荷蘭和英國三個國家的學(xué)生在這三個方面的表現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)：在轉(zhuǎn)化能力方面，日本學(xué)生明顯高于荷蘭和英國的學(xué)生；在應(yīng)用能力方面，三個國家的學(xué)生均低于國際平均水平；在詮釋能力方面，日本學(xué)生則明顯地低于其他兩國的學(xué)生。總體來看，日本和荷蘭學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平較高，英國較低。為解釋學(xué)生的表現(xiàn)出現(xiàn)差異的原因，PISA調(diào)查了學(xué)生在各種不同類型問題上的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，如接觸形式化的數(shù)學(xué)（如解方程、因式分解等）和應(yīng)用型問題、文字題等的機會，這方面的數(shù)據(jù)顯示：荷蘭學(xué)生較少接觸形式化的數(shù)學(xué)，而較多接觸應(yīng)用型問題；日本則相反，學(xué)生較多接觸形式化的數(shù)學(xué)，而較少接觸應(yīng)用型問題；英國則在兩方面處于國際平均水平。綜合OECD（經(jīng)濟合作與發(fā)展組織）國家和其他國家的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)：學(xué)生接觸形式化數(shù)學(xué)的機會與他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)表現(xiàn)呈強正相關(guān)；在應(yīng)用型問題上，學(xué)生對此類題型的接觸程度和成績則顯現(xiàn)二次關(guān)系，也就是說，在開始時學(xué)生接觸應(yīng)用問題的機會越多，在PISA中的表現(xiàn)就越好，但到某個點后，呈現(xiàn)的趨勢則是接觸應(yīng)用問題的機會越多，在PISA中的表現(xiàn)就越差。所以學(xué)校數(shù)學(xué)課程在應(yīng)用型問題和形式化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)兩方面需要保持一定的平衡。

學(xué)生在學(xué)校接觸這兩種問題的機會直接影響到他們解決這類問題的自信心，換句話說，接觸機會越多，自信度越高，而且學(xué)生對解決形式化的數(shù)學(xué)問題的自信度高于解決應(yīng)用型問題的自信度。

三、理解學(xué)生的思考方式

蔡金法教授的報告主題是“理解學(xué)生的思考方式”，他從新的角度重新分析了其于1995年發(fā)表在《數(shù)學(xué)教育研究雜志》（Journal for Research in Mathematics Education）特刊上的中美學(xué)生比較的數(shù)據(jù)。其中有兩個是平均數(shù)問題，如下所示。

問題1：在俱樂部的食物募捐活動中，塔剎獲捐11罐，大衛(wèi)獲捐6罐，杰弗里獲捐5罐，德韋恩獲捐2罐。四人平均獲捐多少罐？解釋你是如何得到答案的。

問題2：安杰拉為數(shù)學(xué)俱樂部賣帽子，第一周賣了9頂，第二周賣了3頂，第三周賣了6頂。如果這四周賣的帽子的頂數(shù)平均數(shù)為7，那么安杰拉在第四周賣了多少頂帽子？展示你得到答案的過程。

比較中美學(xué)生解答這兩個問題的正確率，我們發(fā)現(xiàn)：大部分學(xué)生能正確解答問題1；中國和美國學(xué)生正確解答兩個問題的百分比分別為67%和42%；中國和美國學(xué)生答對問題1而答錯問題2的百分比幾乎相同，分別為23%和24%。如果說問題1是檢驗學(xué)生是否了解平均數(shù)的算法，而問題2是檢驗學(xué)生是否對平均數(shù)達(dá)成概念性理解的話，我們發(fā)現(xiàn)中美兩國均有約四分之一的學(xué)生對平均數(shù)沒有形成概念性理解。

蔡教授還舉了另外一個問題，如下所示。

將2個比薩平均分給7個女生，1個比薩平均分給3個男生。男生和女生得到的比薩數(shù)量相同嗎？誰得到的更多？

在這個問題上，高達(dá)90%的中國學(xué)生先用分?jǐn)?shù)表示男生和女生各自得到的比薩大小，然后比較兩個分?jǐn)?shù)的大小，但是很少有美國學(xué)生這么做。相反的，美國學(xué)生用多種不同的方法進行比較，如將1個比薩分給3個女生，將剩下的1個比薩分給其余4個女生，前面3個女生分得的和男生一樣多，但其余4個女生分得的卻比男生少，所以男生得到的比薩更多。從中可以看出美國學(xué)生思維的多樣性和靈活性，盡管在這里可能破壞了“平均”的規(guī)則，但其推理是有力的。

蔡金法教授通過以上例子說明，通過分析學(xué)生的解答，我們能夠更深入地了解學(xué)生的思考方式。

四、改變課堂教學(xué)

莫雅慈教授報告的主題是“改變課堂教學(xué)”。她先介紹了TIMSS（國際數(shù)學(xué)與科學(xué)評測趨勢的簡稱）和LPS（學(xué)習(xí)者視角的簡稱）。前者比較了平均水平的教師在數(shù)學(xué)課堂結(jié)構(gòu)方面的差異；后者與前者互為補充，比較了在不同文化背景下優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師的教學(xué)活動，并結(jié)合老師和學(xué)生的看法進行解釋。TIMSS發(fā)現(xiàn)國家與國家之間，同一國家的不同教師之間，同一個教師在同一個單元不同階段的課堂結(jié)構(gòu)，都有很大的不同。LPS關(guān)注的是教學(xué)事件，發(fā)現(xiàn)不同國家都有自己的特點，如日本的課堂上教師常常引誘學(xué)生犯錯，以引起他們的困惑，由學(xué)生提出不同的解答并給出解釋，教師指出困難并給出解釋，揭示思考的過程。LPS更深入地了解不同文化背景下教師教學(xué)活動的意義。莫教授對上海課堂的分析表明，中國的課堂表面上看起來是以教師為中心的，但教師教學(xué)活動的組織卻是以學(xué)生為中心的，教師基于對學(xué)生的深入了解，給學(xué)生創(chuàng)造合適的課堂經(jīng)驗，以便學(xué)生沿著教師有目的設(shè)計的教案進行，少走彎路，這種視角給“中國學(xué)習(xí)者悖論”提供了一些解釋。[中國學(xué)習(xí)者悖論，即似乎是在并不理想的學(xué)習(xí)環(huán)境（接受式教學(xué)）中，中國學(xué)生在國際學(xué)生能力水平測試中超過西方]

莫教授從上海的一節(jié)數(shù)學(xué)課引出她自己提出的課堂研究的一個視角。該課是關(guān)于“二元一次方程組”的，教師出示問題，如下所示。

小明全家去北京度假，他們需要買3張成人票和1張學(xué)生票，總價560元。后來小明的同學(xué)也要跟小明一家一起去，所以最后他們買了3張成人票和2張學(xué)生票，共640元。單張成人票和單張學(xué)生票的價格分別是多少元？

學(xué)生朵拉通過比較很快得出一張學(xué)生票80元，因為560元是3張成人票和1張學(xué)生票的總價，而640元是3張成人票和2張學(xué)生票的總價，差別只在于1張學(xué)生票。教師引導(dǎo)學(xué)生一起讀題目，肯定了朵拉的解答，接著教師引導(dǎo)學(xué)生將題目給定的條件轉(zhuǎn)化成方程，即3x+y= 560和3x+2y=640（其中x是成人票的價格，y是學(xué)生票的價格），進而結(jié)合學(xué)生的解法討論一般的二元一次方程組的解法。

這堂課給學(xué)生設(shè)計了三個層次的比較活動：一是學(xué)生自然的想法和教師的復(fù)述；二是解決該問題的算術(shù)方法和方程方法；三是二元一次方程組的兩種消元方法，即加減消元法和代入消元法。這里的比較可以幫助學(xué)生看到這些知識之間的聯(lián)系。由此，我們可以看出：上海的數(shù)學(xué)教師很注重學(xué)生的原始解法和數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)解法之間、數(shù)學(xué)知識之間等的關(guān)聯(lián)，這也是國際測試中學(xué)生表現(xiàn)優(yōu)異的國家與美國在課堂教學(xué)問題處理上的一個重大差別。所以莫教授提出，對課堂的研究，可以關(guān)注教師是如何處理數(shù)學(xué)問題的，是“使用過程”式還是“建立關(guān)聯(lián)”式。前者強調(diào)學(xué)生使用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)算法解決問題，后者強調(diào)數(shù)學(xué)思想、事實和過程之間的關(guān)聯(lián)，強調(diào)數(shù)學(xué)推理。教師使用其中的哪種方式也反映在整節(jié)課問題的設(shè)計和安排上。比如，前面提到的上海教師，在課堂上不僅對同一個問題的解答采用層層遞進的方法，在整節(jié)課上，從一個問題到下一個問題，從復(fù)雜程度來說，也是層層遞進的。而在美國的課堂上，即便教材設(shè)計的問題是層層遞進的，不少教師也常常把這些問題處理成簡單的使用同一過程的問題，從而降低問題的認(rèn)知難度。

莫教授最后總結(jié)說，教學(xué)是一種文化現(xiàn)象，盡管不同國家的教師教授相同的課程，但他們可能會賦予這些活動不同的意義和效果。

五、關(guān)注全球，立足本土

維杰·瑞迪教授報告的主題是“使全球合作研究對本土有意義：南非參與TIMSS研究的經(jīng)驗”。她以南非為例說明如何結(jié)合國際研究的成果，改進本國的教育。南非自1995年參加TIMSS系列研究，20年來在數(shù)學(xué)教育方面取得了不小的進步。1994年以前，南非不同種族之間的教育相互隔離且發(fā)展不均衡，特別是那些土地貧瘠、偏遠(yuǎn)、貧窮的地方，教育質(zhì)量低，工作技術(shù)含量低，發(fā)展受限，對教育也不重視?，F(xiàn)今民主政府設(shè)立了教育部統(tǒng)一管理教育相關(guān)事宜，教育成為國家發(fā)展的首要任務(wù)，入學(xué)率有了很大的提高。但是優(yōu)質(zhì)教育仍然稀缺，貧窮、失業(yè)和不平等仍然廣泛存在，數(shù)學(xué)評估為這些方面的不足提供了證據(jù)，特別反映了教育系統(tǒng)不健全、社會通道和收入的不平等，以及社會成功轉(zhuǎn)型還存在的差距。因為南非學(xué)生在TIMSS測試中數(shù)學(xué)和科學(xué)方面的表現(xiàn)都非常差，所以公眾對南非參加TIMSS有質(zhì)疑，但南非通過使用TIMSS比較的結(jié)果發(fā)出自己的聲音，對結(jié)果所作的進一步的延伸分析對于改進南非的教育具有重要意義。

她從三方面說明南非參與TIMSS研究的意義。（1）理解南非的教育成就，而不僅僅是排名。1995年至2011年的16年間，南非學(xué)生的數(shù)學(xué)成績提高了63分，相當(dāng)于1.5個年級水平；教育不公平也得到了改善，最高分和最低分之間的差距由354降到了287。（2）理解環(huán)境與個人因素對學(xué)生數(shù)學(xué)成績的影響。家庭的社會經(jīng)濟地位、學(xué)校的社會經(jīng)濟地位、學(xué)校與家庭語言的一致性、年級與年齡的適應(yīng)性、學(xué)校的安全性等因素對學(xué)生數(shù)學(xué)成績的影響均呈正相關(guān)。也就是說，一般情況下，家境越優(yōu)越，學(xué)生的數(shù)學(xué)表現(xiàn)越好，其他的類推。性別因素對南非學(xué)生數(shù)學(xué)成績的影響微乎其微，女生成績略高一點，這可能與學(xué)校的欺凌現(xiàn)象有關(guān)。南非的校內(nèi)暴力現(xiàn)象比其他國家嚴(yán)重：家庭的社會經(jīng)濟地位低的學(xué)生時常被欺凌的機會較大；在同類學(xué)校中，男生更易被欺凌，女生則因時常有父母的陪伴而受到保護，因此男生的輟學(xué)率高于女生。（3）八、九年級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績直接影響隨后幾年的教育情況及學(xué)生能否順利完成中學(xué)學(xué)業(yè)，直到高三畢業(yè)。這些研究給教育工作者提供了很重要的信息，教育受社會和家庭等因素的影響如此之深，學(xué)校要保證自己的教學(xué)質(zhì)量，應(yīng)當(dāng)注意學(xué)生的到校狀況、家庭情況以及注重學(xué)校紀(jì)律等。

蔡金法教授最后總結(jié)道，PISA和TIMSS這樣的研究應(yīng)當(dāng)繼續(xù)進行下去，希望參與者和其他研究人員能夠結(jié)合各國的實際情況解讀研究數(shù)據(jù)，通過國際間合作對不同國家的數(shù)學(xué)教育作比較研究，通過案例研究了解學(xué)生的思考方式，從而獲取教學(xué)反思經(jīng)驗并改善自己的教學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成就。

六、啟示

這個團隊的報告給我們的啟示是：（1）大型的國際數(shù)學(xué)教育研究能讓我們看到數(shù)學(xué)教育的一般規(guī)律，數(shù)學(xué)課程需要保持形式化和數(shù)學(xué)應(yīng)用、建模等的相對平衡；（2）數(shù)學(xué)教學(xué)除了讓學(xué)生熟練掌握基本的運算，還應(yīng)注重概念性理解，與過程性的計算相比，概念性理解甚至更重要；（3）數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是一種文化現(xiàn)象，我們需要從不同的視角對數(shù)學(xué)課堂進行深入研究，而不是被表面的現(xiàn)象所迷惑，特別是應(yīng)深入分析華人數(shù)學(xué)課堂的特點，以便更好地解釋“中國學(xué)習(xí)者悖論”；（4）我國要像南非一樣通過參與TIMSS或PISA研究，發(fā)出我們自己的聲音，并通過結(jié)果分析改進自己的教育教學(xué)。

（作者單位：澳門大學(xué)教育學(xué)院）