滕 凱

(黑龍江齊齊哈爾市齊齊哈爾市水務(wù)局,黑龍江齊齊哈爾 161006)

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各向異性含水層水文地質(zhì)參數(shù)的簡化解析法

滕 凱

(黑龍江齊齊哈爾市齊齊哈爾市水務(wù)局,黑龍江齊齊哈爾 161006)

摘要:針對各向異性含水層水文地質(zhì)參數(shù)求解涉及多未知數(shù)超越方程,常規(guī)的解析法無法直接獲解而現(xiàn)有的標(biāo)準(zhǔn)曲線比對法、直線圖解法及改進(jìn)直線解析法存在人為誤差、適用范圍受限或計算過程繁復(fù)等問題,采用優(yōu)化擬合方法,在工程適用參數(shù)范圍內(nèi),采用形式簡單的函數(shù)替代用級數(shù)表示的井函數(shù),并利用降深比值關(guān)系,在3個觀測孔的水位降深曲線上選取6個點,經(jīng)整理獲得了可直接完成參數(shù)求解的簡化計算公式,求解過程簡捷直觀,便于實際工程應(yīng)用。精度分析表明,在工程適用參數(shù)范圍內(nèi),該公式最大誤差小于2%,滿足實際工程的計算精度要求。

關(guān)鍵詞:含水層;水文地質(zhì)參數(shù);水位降深;優(yōu)化擬合;簡化解析法

水文地質(zhì)參數(shù)是開展地下水資源評價、制定地下水開采方案、實施地下水防污染計劃的主要依據(jù),一直以來備受水文地質(zhì)工作者關(guān)注[1-2]。由于含水層形成條件的不均一性,使得自然界中地下水含水層水文地質(zhì)參數(shù)在平面上往往存在較大的差異,完全均質(zhì)各向同性的含水層幾乎不存在,因此,采用在各向均質(zhì)同性條件下建立的計算公式獲得的水文參數(shù)存在誤差[3]。為此,許多學(xué)者就平面各向異性含水層水文地質(zhì)參數(shù)的求解問題開展了大量研究工作,并獲得了有益的研究成果。目前應(yīng)用的主要方法有曲線比對法[4]、Cooper-Jacob直線圖解法[5]、改進(jìn)直線解析法[6]及智能優(yōu)化算法[7-10]。由于標(biāo)準(zhǔn)曲線比對法靠手動擬合,實際工作不但受圖表束縛,而且求解成果因受標(biāo)準(zhǔn)曲線的密度及比對過程人為因素的影響,求解成果的精度難免存在誤差[11],特別是當(dāng)數(shù)據(jù)曲線比較平直時,擬合標(biāo)準(zhǔn)曲線的隨意性更大;直線圖解法僅當(dāng)泰斯井函數(shù)的無量綱時間變量u≤0. 05,誤差小于2. 1%時適用,應(yīng)用范圍有限,而且應(yīng)用中要將適用范圍以外的觀測點剔除;改進(jìn)直線解析法雖然適用范圍有所擴(kuò)大(u≤0. 3,誤差小于2. 4%),但計算過程略顯繁復(fù),且適用范圍仍顯不足;智能優(yōu)化算法由于涉及參數(shù)設(shè)定范圍及初值選取、全局優(yōu)化與局部優(yōu)化的并行性、計算函數(shù)的梯度、收斂速度及迭代次數(shù)等復(fù)雜計算環(huán)境,實際應(yīng)用尚存在不足。因此,研究提出一種計算方法簡單、計算結(jié)果精度可靠的各向異性非穩(wěn)定流情況下水文地質(zhì)參數(shù)的獲取方法,對進(jìn)一步提高該種條件下水文地質(zhì)參數(shù)的求解效率和精度具有重要意義。本文采用優(yōu)化擬合方法,通過對泰斯井函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)曲線的線型分析,借助現(xiàn)有表格給出的井函數(shù)數(shù)值對應(yīng)關(guān)系,通過逐次逼近擬合計算,獲得了泰斯井函數(shù)的簡化替代公式,并利用該公式通過降深比值關(guān)系,經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)獲得了通過選取3個觀測孔抽水降深關(guān)系曲線上的6個點即可完成相關(guān)水文地質(zhì)參數(shù)求解的計算公式,所得計算結(jié)果更接近工程實際,計算過程簡捷直觀,可在實際工程中推廣應(yīng)用。

1 理論分析

在無限延伸各向異性的承壓含水層中,如一完整井以定流量Q進(jìn)行連續(xù)抽水,其含水層中任意時刻任意一點的水位變化可用以下公式[12]表示:

式中:s為任意時間、任意一點的水位降深,m;Q為抽水流量,m3/ h;Te為含水層的等效導(dǎo)水系數(shù),m2/ h; W(uxy)為與泰斯公式形式相同的井函數(shù);Txx、Tyy及Txy分別為導(dǎo)水系數(shù)在當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系下的張量分量, m2/ h;x、y分別為當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系的坐標(biāo)分量,m;uxy為各向異性條件下泰斯井函數(shù)在當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系下的無量綱時間;r為觀測孔到抽水孔中心的徑向距離,m; S為含水層彈性釋水系數(shù);aθ為與觀測孔射線方向(與x軸夾角為θ)相一致的水壓力傳導(dǎo)系數(shù),m2/ h; t為從開始抽水至抽水后任意時刻的時間,h。

根據(jù)式(3),在當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系中,位置坐標(biāo)為(xi, yi)的第i(i=1,2,3)個觀測孔的無量綱時間可表示為

求得當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系下導(dǎo)水系數(shù)的張量分量求得后,即可由下式獲得在全局坐標(biāo)系中導(dǎo)水系數(shù)的張量分量:

式中:TX、TY分別為導(dǎo)水系數(shù)在全局坐標(biāo)系下的張量分量,m2/ h。

當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系的x軸與全局坐標(biāo)系的X軸間的夾角為

求得TX、TY后,全局坐標(biāo)系中各向異性條件下的水頭降深可表示為

式中:uXY為全局坐標(biāo)系下的無量綱時間;X、Y分別為全局坐標(biāo)系下觀測孔的位置坐標(biāo),m。

2 簡化解析求解法

2. 1 井函數(shù)的簡化

依據(jù)泰斯公式,井函數(shù)W(uxy)可表示為如下級數(shù)形式:

由于式(10)為超越方程,因此,利用式(1)無法直接求解相關(guān)參數(shù)。當(dāng)uxy≤0. 05,誤差小于2. 1% 時,Cooper-Jacob直線圖解法截取了該級數(shù)的前2項;當(dāng)uxy≤0. 3,誤差小于2. 4%時,改進(jìn)直線解析法截取了該級數(shù)的前3項。為進(jìn)一步擴(kuò)大公式的適用范圍,本文采用優(yōu)化擬合方法,以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)[13],尋求一簡化替代函數(shù),并且滿足:①替代函數(shù)中的變量可直接求得;②替代函數(shù)的表達(dá)形式相對簡單;③替代函數(shù)具有較好的擬合精度,以保證求解方便且計算結(jié)果滿足設(shè)計要求。在適用參數(shù)范圍內(nèi)(即1×10-7＜uxy＜6×10-1),經(jīng)對多組備用函數(shù)的擬合逼近[14],擇優(yōu)確定式(10)的替代函數(shù)為

式中: A′= - 0. 009 812, B′= - 0. 572 445, C′= 0. 268954。

在1×10-7＜uxy＜6×10-1范圍內(nèi),采用式(11)替代式(10)的計算誤差見表1。由表1可見,在工程適用參數(shù)范圍內(nèi)(1×10-7＜uxy＜6×10-1),利用近似函數(shù)式(11)替代式(10)的最大誤差小于2%,完全可以滿足實際工程的設(shè)計精度要求(設(shè)計計算精度要求不大于5%)。

2. 2 簡化計算公式

假設(shè)有一觀測孔,其水位降深曲線為s-lgt,在s-lgt曲線上分別選取(t1,s1)和(t2,s2),則由式(1)可得到以下方程組:

將方程(12)與(13)相比,并將式(11)及式(4)分別代入式(12)及(13),經(jīng)進(jìn)一步整理即可求得水壓力傳導(dǎo)系數(shù)aθ:

表1 式(11)相比式(10)的計算誤差

式中A、B、C、β及K均為中間變量。

當(dāng)已知3個不在一條直線上的觀測孔的降深-時間數(shù)據(jù)時,設(shè)第i個觀測孔的降深-時間曲線為si-lgti(i為觀測孔序號,i=1,2,3),距抽水井的徑向距離為ri,(ti1,si1)和(ti2,si2)分別為在si-lgti曲線上選取的兩個點,利用公式(18)可求得βi及Ki,再由式(15)(16)(17)分別求出Ai、Bi及Ci,進(jìn)而可由式(14)求得aθi,則由式(1)(3)(11)可得Te:

根據(jù)式(4)經(jīng)進(jìn)一步整理可得如下三元一次方程組:

式中:αxx、αyy、αxy分別為水壓力傳導(dǎo)系數(shù)在當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系的張量分量,m2/ h;E、F、G均為中間變量,h/ m2。求解方程組式(24)(25)(26)即可求得E、F及G,進(jìn)而可得:

由式(20)(27)(28)(29)可求得Txx、Tyy及Txy,進(jìn)而利用式(5)(6)(7)求得全局坐標(biāo)系統(tǒng)下的張量分量TX、TY及夾角?。

3 算例分析

選取文獻(xiàn)[1]中算例,以抽水井所在位置為坐標(biāo)原點,x軸正向為正東方向,y軸正向為正北方向。假定滲流主值與全局坐標(biāo)不一致,在全局某正交各向異性含水層中,一完整井以定流量Q=1086 m3/ d進(jìn)行非穩(wěn)定流抽水試驗,坐標(biāo)系中有3個觀測孔W1、W2和W3,其位置坐標(biāo)分別為(28. 3,0)、(9. 0, 33. 5)和(-19. 3,-5. 2)。當(dāng)抽水井抽水后,在3個觀測孔中觀測到的地下水降深隨時間變化的實測數(shù)據(jù)如表2所示,試計算該含水層水文地質(zhì)參數(shù)。

根據(jù)表2數(shù)據(jù)完成3個觀測孔的si-lgti(i=1,2, 3)曲線繪制,并對曲線進(jìn)行修正,剔除個別點因測量

或設(shè)備因素產(chǎn)生的誤差影響,見圖1,分別在各si-lgti關(guān)系曲線上選取兩個點,即:t11=10 min,s11=1. 653 m; t12=300 min,s12=3. 351 m;t21=10 min,s21=1. 329 m; t22=300 min,s22=2. 998 m;t31=10 min,s31=1. 853 m; t32=300min,s32=3. 565 m。利用本文公式即可完成相關(guān)計算,中間變量及參數(shù)計算結(jié)果見表3,本文方法求解結(jié)果與文獻(xiàn)[1]計算結(jié)果的比較見表4。

表2 各觀測孔地下水降深實測資料

圖1 s-lgt關(guān)系曲線

表3 中間變量及參數(shù)計算結(jié)果

表4 含水層參數(shù)計算成果

由表4可見,本文計算方法所求結(jié)果與文獻(xiàn)[1]結(jié)果比較接近,其相對誤差在-1. 89%～4. 54%之間(TX、TY、Txx、Tyy、Txy、Te、S的相對誤差分別為2. 80%、-0. 44%、4. 54%、-0. 04%、3. 69%、1. 12% 和-1. 89%)。因此,認(rèn)為本文方法具有較高的計算精度,可以滿足實際工程的計算精度要求。

4 結(jié) 語

本文依據(jù)抽水降深比值關(guān)系,通過對各向異性含水層非穩(wěn)定流井函數(shù)的優(yōu)化擬合替代,方便快捷地完成了該種水文地質(zhì)條件下參數(shù)的求解,與其他方法比較,具有以下特點:①公式形式比較簡單,計算過程簡捷直觀。②求解不受圖表束縛及標(biāo)準(zhǔn)曲線簇密度的影響,避免了圖表取值的人為誤差及反復(fù)進(jìn)行擬合曲線比對的舍取之繁,便于推廣應(yīng)用。為有效提高計算結(jié)果的精度,考慮水位降深觀測成果可能存在誤差,計算前可根據(jù)觀測孔的降深時間觀測數(shù)據(jù)完成s-lgt曲線的繪制,并對s-lgt曲線進(jìn)行修正,以便剔除個別點的觀測誤差影響。算例計算結(jié)果表明,本文公式在1×10-7＜uxy＜6×10-1范圍內(nèi),替代函數(shù)與井函數(shù)的相對誤差小于2%,計算精度較高。與其他方法比較,本文公式具有更好的實用性。

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A simplified analytical method of hydrogeological parameters in anisotropic aquifer

/ / TENG Kai(Water Authority of Tsitsihar in Heilongjiang Proυince, Tsitsihar 161006, China)

Abstract:This study focuses on the transcendental equation with multiple unknowns for determining hydrogeological parameters in an anisotropic aquifer that cannot be directly determined through the conventional analytical methods. The existing methods for solving the equations, including the standard curve comparison method, linear graphic method, and improved linear analytical method, encounter many personal errors, a restricted application scope, and a burdensome and complicated computational process. In this study, adopting the optimum fitting method, a calculation formula for directly determining parameters was constructed using a simple function replacing the well function with a series expansion within the range of engineering adaptive parameters and a drawdown ratio relationship obtained through six selected points on the drawdown curves in three observation holes. The solution of the calculation formula is simple, intuitive, and easy to use. Precision analysis indicates that the maximum error is less than 2% across the range of engineering adaptive parameters, fully meeting the requirements of actual engineering calculation precision.

Key words:aquifer; hydrogeologic parameter; drawdown ratio; optimum fitting; simplified analytical method

(收稿日期:2015 01- 04 編輯:駱超)

作者簡介:滕凱(1957—),男,高級工程師,主要從事水利防災(zāi)減災(zāi)及工程優(yōu)化設(shè)計研究。E-mail:tengkai007@163. com

基金項目:齊齊哈爾市科技攻關(guān)項目(NYGG201301)

DOI:10. 3880/ j. issn. 1006- 7647. 2016. 02. 012

中圖分類號:TV211. 12

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1006- 7647(2016)02- 0064- 05