巢洪政

小學(xué)數(shù)學(xué)問題類型分析及教學(xué)啟示

巢洪政

問題解決是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容和高層次的學(xué)習(xí)類型。小學(xué)數(shù)學(xué)問題一般可以劃分為界定良好的問題和界定不良的問題、一般領(lǐng)域的問題和專門領(lǐng)域的問題、常規(guī)問題與非常規(guī)問題、封閉問題與開放問題等類型。在教學(xué)中，我們要重視學(xué)生解決常規(guī)數(shù)學(xué)問題的知識技能的教學(xué)，重視開放問題的教學(xué)，處理好常規(guī)問題與非常規(guī)問題教學(xué)的關(guān)系，從而不斷優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)。

小學(xué)數(shù)學(xué)；問題解決；問題類型；教學(xué)啟示

問題解決是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容和高層次的學(xué)習(xí)類型，對培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要作用。新課程背景下的小學(xué)數(shù)學(xué)，已經(jīng)將過去的“應(yīng)用題”擴展為“問題解決”。因此，我們應(yīng)該在明確小學(xué)數(shù)學(xué)“問題”和“問題解決”概念的基礎(chǔ)上，科學(xué)地界定小學(xué)數(shù)學(xué)問題的類型。如此，才能為小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)提供有益的啟示，為教師科學(xué)地實施和優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)提供有效的幫助。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)“應(yīng)用題”與“問題”“問題解決”概念分析

周玉仁教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論》一書中指出：“應(yīng)用題是根據(jù)日常生活和生產(chǎn)中的實際問題，用語言或文字表示數(shù)量關(guān)系并求解的題目?！薄皯?yīng)用題”的名稱大家都比較熟悉，就不多解釋了。

“問題”是我們的日常用語，但在心理學(xué)中，“問題”具有特定的內(nèi)涵。為了界定“問題”的概念，心理學(xué)家針對某一情境進行了如下區(qū)分：該情境的初始狀態(tài)，想要達到的目標(biāo)狀態(tài)，阻止從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)化為目標(biāo)狀態(tài)的障礙。并據(jù)此將“問題”界定為：在事物的初始狀態(tài)和想要達到的目標(biāo)狀態(tài)之間存在的障礙。早在1945年，格式塔心理學(xué)家唐克爾就指出：“當(dāng)一個有機體有個目標(biāo)，但又不知道如何達到目標(biāo)時，就產(chǎn)生了問題?！边@個定義至今仍然具有使用價值。“問題”是一種相對存在。一道異分母分數(shù)加法題，對一位數(shù)學(xué)教師來說不是問題，但對第一學(xué)段的學(xué)生來說顯然是一個問題，如果這位數(shù)學(xué)教師想依據(jù)低年級學(xué)生的知識水平來進行教學(xué)，如何設(shè)計教學(xué)就是這位教師面臨的問題。這就是說，問題具有目標(biāo)指向性。對于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的“問題”概念，筆者認為可以參照上面的含義進行理解。小學(xué)數(shù)學(xué)問題也是一種問題，具備問題的基本特性。所以，我們可以認為，小學(xué)數(shù)學(xué)問題是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中遇到的一切學(xué)習(xí)障礙。

有了對“問題”概念的認識，我們就可以順利地理解心理學(xué)中對“問題解決”的定義。當(dāng)代認知心理學(xué)家經(jīng)過長期的研究認為：問題解決是指在某種情境的初始狀態(tài)和期望達到的目標(biāo)狀態(tài)之間存在障礙的前提下，運用一系列認知操作，掃除障礙，將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)化為目標(biāo)狀態(tài)的過程。周玉仁教授認為：“問題解決是指個體在一種新的情境下，根據(jù)獲得的有關(guān)知識，對發(fā)現(xiàn)的新問題采用新的策略，尋求問題答案的心理活動。”“問題解決指的是學(xué)生初次遇到的新問題，這類問題并非是平時遇到的一般練習(xí)題……問題一旦解決，學(xué)生通過問題解決的過程所獲得的新的方法、途徑和策略便可作為認知結(jié)構(gòu)中的一個組成部分，成為已知的解決其他問題的方法、途徑……總之，所有的問題解決都應(yīng)該具有以上的特點，否則就成為一種練習(xí)性的作業(yè)。”這里的問題既可以是純粹的數(shù)學(xué)問題，也可以是以非數(shù)學(xué)題形式呈現(xiàn)的各種問題。這樣的認識，就是新課程中對“問題解決”的認識。在有關(guān)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論和課程論的專著中，其他專家也有類似的論述。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)問題的主要類型

就小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決中問題的類型，我們通?？梢詮目茖W(xué)心理學(xué)的角度進行如下劃分:

1.界定良好的問題和界定不良的問題。

依據(jù)問題所給條件的明確程度，我們可以將數(shù)學(xué)問題劃分為界定良好的問題和界定不良的問題。界定良好的問題又叫清晰的問題，是指問題的初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)和用于轉(zhuǎn)換的方法均已清楚（即已經(jīng)提供了解決問題所需要的全部信息）的問題。小學(xué)數(shù)學(xué)中的大部分問題都是這樣的問題。界定不良的問題又叫模糊的問題，是指對問題的初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)和轉(zhuǎn)換方法中的一項或幾項缺乏明確的界定（即缺少解決問題的算子和限制條件）的問題。如：以點O為圓心畫圓，這個圓是怎樣的？由于這個問題沒有規(guī)定半徑的大小，雖然圓的位置確定了，但大小是任意的，所以它是一個界定不良的問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，界定良好的問題大多表現(xiàn)為封閉的問題和常規(guī)的問題，界定不良的問題多表現(xiàn)為開放的問題。

2.一般領(lǐng)域的問題和專門領(lǐng)域的問題。

依據(jù)問題中包含知識內(nèi)容的復(fù)雜程度，我們可以將數(shù)學(xué)問題劃分為一般領(lǐng)域的問題和專門領(lǐng)域的問題。一般領(lǐng)域的問題又叫語義貧乏的問題，是問題解決者不具有與問題相關(guān)的專業(yè)知識的問題。專門領(lǐng)域的問題又叫語義豐富的問題，即知識含量高的問題，是指問題解決者具有與問題有關(guān)的專業(yè)知識的問題。如：對學(xué)生來說，數(shù)學(xué)乘法題“205× 38=”就是一般領(lǐng)域的問題；對數(shù)學(xué)家來說，“哥德巴赫猜想”就是專門領(lǐng)域的數(shù)學(xué)問題。

3.常規(guī)問題與非常規(guī)問題。

依據(jù)問題解決過程中的創(chuàng)造性程度，我們把數(shù)學(xué)問題劃分為常規(guī)問題與非常規(guī)問題。常規(guī)問題是指運用已獲得的知識經(jīng)驗，按現(xiàn)成的方案可以解決的問題，是學(xué)生使用已有的、一般的和通常的思路和方法可以解決的問題。在美國教育心理學(xué)家加涅的累積學(xué)習(xí)理論中，第七層次的學(xué)習(xí)類型，即應(yīng)用已知的規(guī)則可以解決的問題就是常規(guī)問題。反之，不能應(yīng)用現(xiàn)成的規(guī)則來解決的、學(xué)生首次接觸的問題就是非常規(guī)問題，在加涅的理論中主要是指第八層次的學(xué)習(xí)類型，即高級規(guī)則的學(xué)習(xí)。非常規(guī)問題和常規(guī)問題之間是相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化的。例如：對于“甲乙兩地相距850千米，一輛汽車以每小時75千米的速度從甲地開往乙地，現(xiàn)在剩下的路程比已經(jīng)行駛的路程多100千米，這輛汽車已經(jīng)行駛了多少小時？”這個數(shù)學(xué)問題，如果學(xué)生初次學(xué)習(xí)解答這樣的問題，那么這個問題對學(xué)生來說就是非常規(guī)問題；如果學(xué)生解答類似問題的次數(shù)多了，而且對解題思路比較熟悉了，這個問題對他們來說就是常規(guī)問題了。

4.封閉問題與開放問題。

依據(jù)問題答案的數(shù)量，我們可以把數(shù)學(xué)問題劃分為封閉問題與開放問題。只有一個確定答案的數(shù)學(xué)問題，稱為封閉問題。答案不唯一，有多個甚至無數(shù)個答案的數(shù)學(xué)問題，稱為開放問題。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的問題大多是封閉問題，這里就不舉例了。而像這樣的問題：小明用4個長7厘米、寬4厘米的小長方形拼成一個大長方形，可以怎樣拼？請你先畫出各種不同的拼法，再計算出拼成的長方形的周長。這個問題有三個不同的答案，所以，它是一道開放問題。

當(dāng)然，如果我們根據(jù)某個數(shù)學(xué)問題是否存在確定的答案來劃分，還可以把數(shù)學(xué)問題劃分為有解題和無解題。有確定答案的數(shù)學(xué)問題稱為有解題；沒有確定答案的數(shù)學(xué)問題稱為無解題。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的問題大都是有解題，而像著名的“船長年齡問題”，即“一條船上有75頭牛，有32只羊，請問這條船上的船長年齡是多少？”就是無解題。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)較多的是界定良好的數(shù)學(xué)專門領(lǐng)域的問題，這些問題主要是常規(guī)問題和封閉問題。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)問題類型分析的教學(xué)啟示

1.要重視學(xué)生解決常規(guī)數(shù)學(xué)問題的知識技能的教學(xué)。

數(shù)學(xué)問題解決屬于心理學(xué)中問題解決的范疇，其解答條件也需要符合問題解決的條件。

加涅的累積學(xué)習(xí)理論充分說明了基礎(chǔ)知識等低級類型的學(xué)習(xí)對高級規(guī)則或問題解決（創(chuàng)造）的奠基作用。加涅被公認為行為主義和認知心理學(xué)派的折中主義者，他從各種理論流派中汲取他所需的成分，區(qū)分了不同條件、不同類型的學(xué)習(xí)。通過描述八個學(xué)習(xí)層次來研究學(xué)生理智技能的累積方式，這八個學(xué)習(xí)層次分別是信號學(xué)習(xí)、刺激—反應(yīng)學(xué)習(xí)、動作鏈索學(xué)習(xí)、言語聯(lián)想、辨別學(xué)習(xí)、概念學(xué)習(xí)、規(guī)則學(xué)習(xí)、問題解決或高級規(guī)則學(xué)習(xí)。后四類學(xué)習(xí)是學(xué)校教育的主要內(nèi)容。加涅的累積學(xué)習(xí)理論還指出：人類的學(xué)習(xí)是累積性的，較復(fù)雜、較高級的學(xué)習(xí)是建立在基礎(chǔ)性學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的；每一類學(xué)習(xí)都以前面類型的學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)。從這里，我們可以明顯看出基礎(chǔ)性知識的學(xué)習(xí)對學(xué)生進行 “高級規(guī)則學(xué)習(xí)或問題解決（即創(chuàng)造）”的重要性。概念和規(guī)則的學(xué)習(xí)中有大量的知識，規(guī)則的學(xué)習(xí)中有許多技能的訓(xùn)練，學(xué)生利用習(xí)得的概念和規(guī)則解決了常規(guī)問題和非常規(guī)問題，就說明學(xué)生具有某些能力。

根據(jù)認知心理學(xué)的研究，學(xué)生的問題解決能力是由三種基本能力構(gòu)成的：第一種能力是學(xué)生借助其認知結(jié)構(gòu)中儲存的問題圖式，把新的問題情境納入原有問題圖式中，從而迅速理解問題的能力。第二種能力是學(xué)生運用認知策略，對新問題進行適當(dāng)改編，使新問題情境適合原有問題類型圖式的能力。第三種能力是執(zhí)行解題的技能，在這里是指四則運算技能。第一種能力指的是知識，第三種能力指的是技能，可見，問題解決離不開知識和技能。如小學(xué)數(shù)學(xué)中有這樣一個問題：南京長江大橋南、北兩個橋頭堡大約相距1573米。紅紅、軍軍分別從南、北橋頭堡同時出發(fā)，相向而行，經(jīng)過13分鐘相遇，軍軍的速度是每分鐘63米，紅紅的速度是多少？要解決這個問題，學(xué)生需要理解“南京長江大橋”“橋頭堡”“南”“北”等名稱和方向的知識，需要具備“相遇問題”的圖式，還需要具有計算的技能，通過正確計算才能得出正確的結(jié)論，有時還需要借助“畫圖”的策略來分析問題。

從上述兩個理論分析，我們可以明顯看出：要培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題的能力，離不開學(xué)生對基礎(chǔ)知識、技能和常規(guī)問題的學(xué)習(xí)，因為這些是學(xué)生解決問題的基礎(chǔ)。所以，在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念、掌握數(shù)學(xué)知識、培養(yǎng)運算能力和厘清數(shù)量關(guān)系，有助于他們創(chuàng)造性地解決問題，即有利于學(xué)生創(chuàng)造力的培養(yǎng)。

2.要重視開放問題的教學(xué)。

如前所述，我國小學(xué)數(shù)學(xué)教材中絕大多數(shù)是封閉的常規(guī)問題，對開放問題重視不夠。我們的教材和教學(xué)今后應(yīng)該作出一些調(diào)整，加強開放問題的教學(xué)。由于開放問題的解答步驟比較多，已經(jīng)超出了課程標(biāo)準的要求范圍，因此，可以在每冊教材中設(shè)置5道左右的開放題作為思考題。當(dāng)然，在現(xiàn)行教材中，編入個別的無解題，筆者認為也是有必要的，這可以培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維。

3.要處理好常規(guī)問題與非常規(guī)問題教學(xué)的關(guān)系。

在新課改初期，一些輿論批評我們的數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中存在著套類型定解答模式的問題，即過分重視常規(guī)問題的教學(xué)，影響對學(xué)生創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。其實，這樣的指責(zé)也并非完全正確。因為常規(guī)問題與非常規(guī)問題是相互聯(lián)系、不斷轉(zhuǎn)化的，某個新問題對于初學(xué)者來說是非常規(guī)問題，但他們接觸這樣的問題的機會多了，這類問題對他來說就可能成為常規(guī)問題了。而生活中的大多數(shù)問題是常規(guī)問題，大部分人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)將來需要解決的也多為常規(guī)問題，因此，常規(guī)問題也有一定的價值。有些常規(guī)問題對初學(xué)者來說也是具有挑戰(zhàn)性的非常規(guī)問題。所以，我們要充分認識常規(guī)問題教學(xué)的重要性，小學(xué)生主要學(xué)習(xí)的應(yīng)該是常規(guī)問題的解決，并兼顧非常規(guī)問題的學(xué)習(xí)。當(dāng)然，在以前的教學(xué)中，我們對非常規(guī)問題多有忽視，這是值得我們重視的問題。另外，常規(guī)問題和非常規(guī)問題教學(xué)的過程也有明顯的區(qū)別。非常規(guī)問題的教學(xué)應(yīng)該重視學(xué)生的探究和實踐活動，重視學(xué)生解決問題的分析過程；而常規(guī)問題的教學(xué)主要是讓學(xué)生在明確某類問題特征和解答規(guī)律的基礎(chǔ)上，通過分析數(shù)量關(guān)系和應(yīng)用已有的規(guī)律進行解答。

綜上所述，明確小學(xué)數(shù)學(xué)問題和問題解決的概念，掌握數(shù)學(xué)問題的類型，將有助于我們教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決，從而不斷優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題的教學(xué)。

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G623.5

A

1005-6009（2016）36-0040-03

巢洪政，江蘇省江陰市英橋國際學(xué)校（江蘇江陰，214433），二級教師。