聶星辰　李 佳　趙平輝　祝慶軍（中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 核科學(xué)技術(shù)學(xué)院　合肥 3007）（中國科學(xué)院等離子體物理研究所　合肥 3003）

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蒙特卡羅模擬CFETR中子輸運(yùn)計(jì)算中的全局減方差方法應(yīng)用及對(duì)比

聶星辰1李 佳1趙平輝1祝慶軍2
1（中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 核科學(xué)技術(shù)學(xué)院合肥 230027）
2（中國科學(xué)院等離子體物理研究所合肥 230031）

摘要在具有全局特性的蒙特卡羅輸運(yùn)精細(xì)計(jì)算的問題中，傳統(tǒng)的MCNP(Monte Carlo N Particle Transport Code)局部減方差方法很難得到理想的計(jì)算結(jié)果，全局減方差方法(Global Variance Reduction,GVR)則是一種有效的解決方法。針對(duì)中國聚變工程試驗(yàn)反應(yīng)堆(Chinese Fusion Engineering Testing Reactor,CFETR)的中子輸運(yùn)過程中減小全局方差的問題，將多種形式的GVR方法應(yīng)用到柱狀CFETR中子學(xué)模型的計(jì)算中。依據(jù)不同的中子分布信息，在算例中應(yīng)用和對(duì)比了6種不同形式的GVR權(quán)窗，并對(duì)不同GVR方法的品質(zhì)因子(FOMG)、標(biāo)準(zhǔn)差(σ)和有效計(jì)數(shù)率(Scoring)進(jìn)行了分析。與AN(MCNP analog method)相比，GVR方法的FOMG有很大的增長，誤差在空間的分布也更加平緩，且具有更高的Scoring。在前人提出的全局減方差的基礎(chǔ)上，在計(jì)算中應(yīng)用一些新的GVR形式（能量、徑跡數(shù)等），計(jì)算結(jié)果表明，基于中子通量的GVR方法的全局計(jì)算效率較AN提高了6.43倍。此外，基于中子能量的全局減方差方法也是一種可行的GVR應(yīng)用形式，其與AN比較，計(jì)算效率提高了5.11倍。綜上，基于中子通量的GVR方法具有最佳的全局減方差效果。

關(guān)鍵詞全局減方差，權(quán)窗，蒙特卡羅，MCNP，中子學(xué)

磁約束核聚變國家特殊項(xiàng)目(No.2013GB108004、No.2015GB108002)、國家自然科學(xué)基金(No.11175207)資助

第一作者：聶星辰，男，1990年出生，2013年畢業(yè)于南華大學(xué)，現(xiàn)為碩士研究生，核能科學(xué)與工程專業(yè)

Supported by National Special Project for Magnetic Confined Nuclear Fusion Energy(No.2013GB108004,No.2015GB108002)and the National Natural Science Foundation of China(No.11175207)

Frist author:NIE Xingchen,male,born in 1990,graduated from University of South China,master student,major in nuclear science and engineering

Application and comparison of global variance reduction methods employed
in Monte Carlo neutron transport for CFETR

NIE Xingchen1LI Jia1ZHAO Pinghui1ZHU Qingjun2
1(School of Nuclear Science and Technology,University of Science and Technology of China,Hefei 230027,China)2(Institute of Plasma Physics,Chinese Academy of Sciences,Hefei 230031,China)

AbstractBackground:For the detailed Monte Carlo radiation transport,which possesses global characteristics,traditional MCNP Localized Variance Reduction(LVR)methods can hardly perform well.Global Variance Reduction(GVR)method is an effective way.Purpose:This study aims to decrease the global variance of Monte Carlo radiation transport calculations for Chinese Fusion Engineering Testing Reactor(CFETR).Methods:According to different information of neutron distribution,six kinds of GVR methods were implied and compared in a cylinder CFETR neutronics model.Global figure of merit(FOMG),standard deviation(σ)and the percentage of scoring were analyzed.Based on predecessors’ research,other kinds of new GVR methods(energy,tracks)were applied in this calculation.Results:In the point of GVR methods,FOMGincreased dramatically,spatial variation inrelative errors was more gradual,and the scoring was higher,compared with AN.The GVR method based on neutron flux achieved the global calculation efficiency of 6.43 times that of AN.Apart from that,the GVR method based on neutron energy can also be a practical GVR kind,achieving the global calculation efficiency of 5.11 times that of AN.Conclusion:The GVR method based on neutron flux can performed best that has a well function of global variance reduction,achieving the global calculation efficiency.

Key wordsGlobal variance reduction,Weight window,Monte Carlo,MCNP,Neutronics

針對(duì)中國聚變工程試驗(yàn)反應(yīng)堆(Chinese Fusion Engineering Testing Reactor，CFETR)在整個(gè)空間中的高分辨中子輸運(yùn)計(jì)算和停堆劑量率分析的需求越來越大。在該工程的中子學(xué)分析中，由于CFETR具有龐大的體積和大量的屏蔽材料，而由此引發(fā)的中子深穿透問題會(huì)致使蒙特卡羅模擬(Monte Carlo,MC)很難給出理想結(jié)果。就此類具有全局特性的中子輸運(yùn)問題[1-6]，需要給出中子通量的時(shí)間－空間－能量的精細(xì)分布。故而提出了如何獲取可靠全局解的問題。

MC模擬結(jié)果的精度與樣本數(shù)、方差有關(guān)。通過增大樣本數(shù)或減小方差都可以提高計(jì)算精度。依靠大規(guī)模并行機(jī)的優(yōu)勢，可以增加樣本數(shù)，但由于模型的特殊性所帶來的中子深穿透問題，故僅依靠增大樣本數(shù)不能從根本上解決中子通量在全局的精細(xì)分布計(jì)算問題[7]。而提高精度的另一條途徑是減方差。

通過在MC中使用減方差技巧，可以有效提升中子對(duì)于計(jì)數(shù)器的貢獻(xiàn)率，提高模擬的計(jì)算效率。一種常用和有效的減方差方法是使用權(quán)窗[4-6]。權(quán)窗的作用是依據(jù)重要性調(diào)整中子的權(quán)重，通過設(shè)定權(quán)窗的參數(shù)可以有效控制區(qū)域內(nèi)的中子權(quán)重，進(jìn)而可以避免由輸運(yùn)過程中的權(quán)震蕩而造成的統(tǒng)計(jì)結(jié)果誤差過大的情況。對(duì)于具有全局特性的MC輸運(yùn)計(jì)算問題，傳統(tǒng)的MCNP局部減方差方法(Localized Variance Reduction,LVR)[5-6]中的權(quán)窗技巧由于針對(duì)的是特定的計(jì)數(shù)器或目標(biāo)空間區(qū)域，因而LVR很難得到理想的全局計(jì)算結(jié)果。

為解決具有全局特性的MC輸運(yùn)計(jì)算問題，本文介紹了全局減方差方法(Global Variance Reduction,GVR)[1-4]。GVR主要功能是將中子輸運(yùn)到模型的全局空間中，使得MC結(jié)果的相對(duì)誤差在全空間中的每處都相對(duì)理想，可以有效減少模型全局的計(jì)算方差。本文依據(jù)MC的中子分布初始信息來獲取GVR權(quán)窗和重要性，并對(duì)比和分析了不同形式的GVR權(quán)窗在CFETR全局特性的MC輸運(yùn)計(jì)算中的效率。

1　全局減方差原理

相比于傳統(tǒng)的LVR方法，GVR方法在整個(gè)模型空間中都可以獲得較可信的中子通量精細(xì)分布，具有很好的全局減方差效果。當(dāng)感興趣區(qū)域是全局空間或目標(biāo)計(jì)數(shù)器分布在全空間中時(shí)，采用GVR方法會(huì)使得測量結(jié)果的相對(duì)誤差隨空間分布的梯度盡可能小，進(jìn)而提高整個(gè)空間模型中的平均探測效率。為獲取全局空間里中子通量的分布，通過迭代的手法，以提高系統(tǒng)內(nèi)的重要性分布的清晰度，以此指導(dǎo)MC中子輸運(yùn)的徑跡走向，最終達(dá)到全局降方差的目的。

這里需要指出的是為獲取全空間里可信的中子通量分布，可以針對(duì)全空間的目標(biāo)計(jì)數(shù)器，使用MCNP權(quán)窗生成器來自動(dòng)產(chǎn)生針對(duì)全空間的權(quán)窗。但是對(duì)于一個(gè)占有較大空間的復(fù)合靶柵元，直接使用權(quán)窗生成器具有一定的風(fēng)險(xiǎn)性。根據(jù)權(quán)窗重要性理論，該方法的直接后果是生成的權(quán)窗只會(huì)對(duì)中子較為容易輸運(yùn)到的空間起效果，而對(duì)其他區(qū)域抽樣不均勻。相比之下GVR方法是使用初始的MC模擬的相關(guān)中子信息來設(shè)定權(quán)窗的下閾值，進(jìn)而通過MCNP 內(nèi)置的WWP(Weight window parameter)卡構(gòu)建出GVR權(quán)窗。Wth為權(quán)窗下邊界，Wsplit為權(quán)窗上邊界，定義兩者比值β，如式(1)所示，其在MCNP5中默認(rèn)值是5。

對(duì)于基于中子通量φ的GVR方法，在低中子通量和高計(jì)算誤差的區(qū)域，權(quán)窗具有較低的下邊界，使得該區(qū)域有更多的中子發(fā)生分裂，增加中子數(shù)的樣本以降低誤差，提高計(jì)算精度。而在高通量和低誤差區(qū)域，權(quán)窗具有相對(duì)高的下邊界，使得在該區(qū)域有更多的中子參與了俄羅斯輪盤賭，降低樣本以減少計(jì)算時(shí)間，而增加計(jì)算效率。所以在GVR權(quán)窗的作用下，中子的密度即會(huì)在低通量和高誤差區(qū)域相對(duì)升高。特別的，對(duì)于固定中子源的計(jì)算模型，其源所在的區(qū)域往往是最高中子通量Max(φ)所在的區(qū)域，如本算例中Max(φ)在等離子體區(qū)內(nèi)。在柵元i處基于中子通量φi的下邊界定義如下[2]：

對(duì)于基于GVR方法的權(quán)窗或重要性值，其中子分布信息可以從標(biāo)準(zhǔn)MCNP輸出文中所得。使用該分布信息（可以用中子通量、中子數(shù)量、權(quán)重等形式）來產(chǎn)生基于柵元或網(wǎng)格的GVR權(quán)窗，也可以依據(jù)重要性值和權(quán)窗閾值之間的反比關(guān)系，由式(2)反推出重要性分布，如式(3)。將GVR方法應(yīng)用到IMP(Importance)卡中，通過IMP的幾何分裂和俄羅斯輪盤賭原理來實(shí)現(xiàn)全局減方差目的也是種可行的途徑。

由最初的AN方法來獲取的中子分布信息在中子高衰減區(qū)域可能會(huì)缺失，但它為以后提供了迭代依據(jù)。每次迭代都會(huì)改善中子信息的空間分布情況。在GVR方法中使用多群和能量截?cái)嗟姆椒梢杂行岣叩俾蔥1]?；谥凶油康腉VR方法的實(shí)踐步驟如圖1。通過判斷在目標(biāo)區(qū)域內(nèi)是否有足夠抽樣作為停止迭代的依據(jù)。初始能量截?cái)嗟闹递^高(10-3MeV)，以便縮短初始迭代的計(jì)算時(shí)間，而使整體的迭代過程有較快起步。在迭代的進(jìn)程中逐步降低能量截?cái)嗟闹担梢蕴岣呙總€(gè)中子歷史的平均壽命，而獲得空間中更加精細(xì)的中子分布。

圖1　基于中子通量的GVR方法的驟流程圖Fig.1　Flow chart of GVR method based on neutron flux.

需注意在低通量區(qū)域，毗連區(qū)域的通量衰減很快，當(dāng)直接采用式(2)算得到的權(quán)窗具有很高的梯度變化，這種非常危險(xiǎn)的減方差行為會(huì)使得中子的權(quán)重變化巨大，出現(xiàn)中子過度分裂的現(xiàn)象，而大大增加了一個(gè)中子歷史的計(jì)算時(shí)間。特別在并行計(jì)算的情況下，該現(xiàn)象會(huì)嚴(yán)重惡化計(jì)算效率。為緩解這種由于過度偏倚現(xiàn)象所帶來的中子輸運(yùn)的長歷史問題，本文通過設(shè)定通量的誤差閾值，而對(duì)通量的結(jié)果進(jìn)行篩選，當(dāng)通量的相對(duì)誤差Re超過限值時(shí)將關(guān)閉權(quán)窗或者統(tǒng)一地設(shè)定權(quán)窗值，而沒有使用全部的通量結(jié)果進(jìn)行計(jì)算。通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明這種方法可以防止權(quán)窗在空間中有較大的振蕩，有效緩解了長歷史問題。

2　全局減方差評(píng)估參數(shù)

MCNP中的 FOM公式作用是衡量給定的計(jì)數(shù)器的計(jì)算效率，而對(duì)于GVR方法的計(jì)算效率則是反應(yīng)在整個(gè)空間分布中的計(jì)數(shù)器的效率。由于和傳統(tǒng)的LVR作用機(jī)制和使用目的不同，這里采用GVR的品質(zhì)因子FOMG[1]。對(duì)于計(jì)算效率較好的GVR方法，其具有較少的計(jì)算時(shí)間和較小的誤差統(tǒng)計(jì)，從而具有較高的FOMG值。TCPU代表模擬的CPU計(jì)算時(shí)間，N為柵元或網(wǎng)格的總個(gè)數(shù)，Rei代表第i個(gè)柵元的中子通量的相對(duì)誤差。FOMG的定義如下：

基于相對(duì)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差σ[2]可以有效衡量通量的相對(duì)誤差在空間位置上的變化情況。對(duì)于GVR方法的計(jì)算中，在全局空間上的模擬過程應(yīng)盡可能表現(xiàn)出較小的誤差分布梯度，使得隨著中子數(shù)歷史的增加，整個(gè)空間每處的方差以相同的速率收斂。理想GVR方法的σ應(yīng)盡可能趨近0。其定義如下：

對(duì)于零中子通量的柵元，由于MCNP在該區(qū)域內(nèi)沒有統(tǒng)計(jì)結(jié)果，所以該柵元處的通量誤差是零，該零通量柵元就不適用于FOMG和σ的計(jì)算公式。對(duì)于在計(jì)算過程中出現(xiàn)的大量零通量柵元，其會(huì)影響GVR計(jì)算效率的評(píng)估。對(duì)于零通量柵元，可將相對(duì)誤差由0修改為1，使得相對(duì)誤差在空間中盡可能連續(xù)，而后可代入FOMG和σ的計(jì)算公式。

MCNP的有效計(jì)數(shù)率(Scoring)可以有效反映出沒有計(jì)數(shù)的零通量柵元的份額，故Scoring也是衡量GVR計(jì)算的一個(gè)重要指標(biāo)。綜上所述，當(dāng)FOMG、σ和Scoring的參數(shù)都可以接受時(shí)，則該GVR方法的全局減方差效果較好。

3　GVR方法的應(yīng)用和比較

本文將多種GVR形式應(yīng)用到CFETR水冷陶瓷增殖堆柱狀中子學(xué)模型的計(jì)算中，對(duì)各種GVR方法的機(jī)理和性能進(jìn)行比較研究，并對(duì)不同GVR方法的FOMG、σ和Scoring進(jìn)行了分析。模型的幾何視圖如圖2所示，其主要參數(shù)見表1。

圖2　柱狀CFETR中子學(xué)模型Fig.2　Cylinder CFETR neutronics model.

表2是基于中子通量的GVR方法的迭代過程。第一次計(jì)算的能量截?cái)嘣O(shè)置為ECUT=10-3MeV，而后隨迭代的次數(shù)遞減，遞減到初始的能量截?cái)嘀禐橹?10-9MeV)。隨著GVR方法迭代次數(shù)的上升，平均誤差、σ總體下降，Scoring和FOMG總體上升。數(shù)據(jù)表明每次的迭代都改善了中子的空間分布情況，增大了MCNP有效計(jì)數(shù)率，誤差在空間的分布更加均勻，提高了全局的平均計(jì)算精度，而增加了全局減方差的計(jì)算效率。表2中出現(xiàn)了小部分?jǐn)?shù)據(jù)沒有按趨勢變化的情況，造成數(shù)據(jù)離散的原因可能是因?yàn)橛?jì)算時(shí)間過短(0.5 min)，模擬的中子數(shù)太少，而造成數(shù)據(jù)的振蕩。

表1　中子學(xué)模型主要參數(shù)Table 1　Main parameters for neutronics model.

表2　基于中子通量的GVR方法的迭代過程(CPU Time=0.5 min)Table 2　Iterations of GVR method based on neutron flux(CPU Time=0.5 min).

根據(jù)中子的相關(guān)信息分布可以在一定程度上反應(yīng)出系統(tǒng)內(nèi)的重要性分布，參考式(2)的表達(dá)形式，利用不同的中子信息去替換通量可以獲得其他形式的GVR的權(quán)窗。本文應(yīng)用了6種形式的GVR權(quán)窗，并在Davis的基礎(chǔ)上[1]，也嘗試使用了其他的GVR形式（能量和中子徑跡）。由于中子的能量在輸運(yùn)的過程是一個(gè)非常重要的參數(shù)，且在中子深穿透的過程中其能量也相應(yīng)降低，利用該規(guī)律也可以將中子的能量作為系統(tǒng)內(nèi)的重要性分布的信息來源，MC中子的徑跡也遵循類似的原理。

表3比較了不同GVR方法的主要參數(shù)。由于計(jì)算模型相對(duì)規(guī)整，表3中的數(shù)據(jù)均是一次迭代的結(jié)果，使用相同的截?cái)鄺l件。對(duì)于沒有采取任何GVR方法的模擬(AN)，正如所預(yù)期，AN具有最大的平均誤差、σ和Scoring和最小的FOMG值。而采用多種GVR方法后，相比與AN，F(xiàn)OMG都有很大的增長，相對(duì)誤差在空間的分布也更加平緩，且具有更高的計(jì)數(shù)率。通過對(duì)比多種形式的GVR方法可得，基于中子通量的全局減方差方法(GVR-F)具有最好的全局減方差效果。GVR-F與AN比較，其計(jì)算效率提高了6.43倍，平均誤差降低了1.79倍，σ減少了1.69倍且全局空間都有計(jì)數(shù)率。基于中子權(quán)重的全局減方差方法(GVR-W)也具有很好的全局減方差效率，GVR-W與AN比較，其計(jì)算效率提高了5.98倍，平均誤差降低了1.77倍。除此以外，本文所提出的基于中子能量的全局減方差方法(GVR-E)也是種可選的GVR應(yīng)用形式，其與AN比較，計(jì)算效率提高了5.11倍。GVR-E較Davis[1]所提出的基于中子數(shù)目的全局減方差方法(GVR-P)和 van Wijk[2]的基于中子誤差的全局減方差方法(GVR-R)，其全局減方差效率都所提高。

表3　不同GVR方法的主要參數(shù)(CPU Time=0.5 min)Table 3　Main parameters of different GVR methods(CPU Time=0.5 min).

圖3展示了AN和GVR-F兩種方法在CFETR外包層和內(nèi)包層的中子通量，計(jì)算誤差和徑跡數(shù)的分布情況。對(duì)于內(nèi)外包層的中子通量分布，AN的中子通量只在模型部分區(qū)域內(nèi)有探測，其MCNP的有效計(jì)數(shù)率較低。在較厚區(qū)域，AN通量的相對(duì)誤差值陡增，且迅速到達(dá)最大誤差值。在使用GVR方法后，通量在整個(gè)模型內(nèi)都有探測結(jié)果，且誤差在空間中的絕大部分基本保持一個(gè)較低的值，變化梯度也較小，減少了全局的方差，進(jìn)而提高了全局的計(jì)算效率。相比于GVR方法，AN的中子徑跡衰減很快，在模型的后半段近乎沒有中子徑跡數(shù)，該處的計(jì)數(shù)器的工作效率極低。而對(duì)于采用了GVR方法的中子徑跡分布，其在整個(gè)模型空間中都有較為可觀的徑跡分布，從而使得計(jì)數(shù)器具有較多的信息樣本，其探測結(jié)果也更可信。

圖3　CFETR包層的中子信息分布Fig.3　Neutron distribution information of CFETR blanket.

4　結(jié)語

在解決具有全局特性的MC輸運(yùn)的精細(xì)計(jì)算問題中，本文介紹了多種GVR方法及其應(yīng)用。通過GVR權(quán)窗在CFETR的應(yīng)用并與AN比較可得，GVR方法的FOMG有很大的增長，通量的平均相對(duì)誤差較小，且具有更高的計(jì)數(shù)率。對(duì)于不同的GVR方法比較可得，基于中子通量的全局減方差權(quán)窗(GVR-F)具有最好的全局減方差效果。GVR-F與AN比較，其計(jì)算效率提高了6.43倍。本文所提出的基于中子能量的全局減方差方法(GVR-E)也是種可行的GVR應(yīng)用形式，其與AN比較，計(jì)算效率提高了5.11倍。

除了本文中已使用的GVR形式以外，還可以考慮使用其他的中子分布信息。此外，將GVR方法所獲得的重要性分布應(yīng)用到IMP卡中來實(shí)現(xiàn)全局減方差的目的也有種可行的途徑。今后也有待將多種GVR方法應(yīng)用到更加復(fù)雜的三維CFETR模型中進(jìn)行對(duì)比和分析。

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收稿日期：2015-10-22，修回日期：2015-12-24

Corresponding author:LI Jia,E-mail:lijia@ustc.edu.cn

通信作者：李佳，E-mail:lijia@ustc.edu.cn

DOI:10.11889/j.0253-3219.2016.hjs.39.030501

中圖分類號(hào)TL62