摘要利用圖形計算器的動態(tài)幾何App，學(xué)生可以通過對平面幾何圖形的各種變換，進(jìn)行多種嘗試，通過學(xué)生自己動手操作，發(fā)現(xiàn)圖形中的“規(guī)律”.本文以《中點(diǎn)四邊形》這節(jié)課為例，通過對課堂教學(xué)環(huán)節(jié)如何依次展開，問題如何提出，學(xué)生如何進(jìn)行實(shí)驗(yàn)演示，特別是如何提升到與推理論證水平的探討等，來描述用HP Prime圖形計算器在常態(tài)課教學(xué)中對學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞圖形計算器；數(shù)學(xué)思維品質(zhì)；中點(diǎn)四邊形；動態(tài)幾何初中

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的基本理念指出：注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一.教師應(yīng)該設(shè)計適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動，引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作、嘗試、歸納、類比、猜想和證明，在這個過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.《課標(biāo)》同時還指出，教師要為學(xué)生的活動提供足夠的材料和思維空間，要鼓勵與提倡學(xué)生解決問題策略的多樣化，在“做”的過程和“思考”的過程中積累、豐富數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)思維水平.初中學(xué)生已具備一定的抽象邏輯思維能力，但是在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中具體形象的成分仍然起著很大的作用.在這個時期學(xué)生往往沒有形成明確的抽象推理規(guī)則，而主要憑借于主體的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動.所以在對數(shù)學(xué)問題的觀察、分析、猜想、嘗試、推理、概括、判斷、驗(yàn)證、探究等過程中，容易產(chǎn)生思維障礙，影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

在這個信息化的時代，怎樣才能促進(jìn)學(xué)生從形象思維過渡到抽象思維？信息技術(shù)無疑在數(shù)學(xué)教學(xué)中起到了促進(jìn)的作用.近些年，圖形計算器逐漸在數(shù)學(xué)教學(xué)中得到應(yīng)用，圖形計算器不同于 PPT、Flash、幾何畫板、Excel等其它常用信息技術(shù)，后者主要局限在教師演示的層面，對于學(xué)生的主體性、創(chuàng)造性的發(fā)揮有一定局限.而圖形計算器則是學(xué)生的“掌上實(shí)驗(yàn)室”[1].它作為一種現(xiàn)代手持技術(shù)，具有數(shù)據(jù)處理功能、函數(shù)功能、圖形功能和編程功能等，可以快速計算，自動求解，直觀地繪制各種圖形，并進(jìn)行動態(tài)演示、跟蹤軌跡等.在教學(xué)中利用圖形計算器可以將數(shù)與形、動與靜有機(jī)地結(jié)合，并相互印證，通過形象思維促進(jìn)抽象思維的發(fā)展，達(dá)到形象思維與抽象思維能力同步發(fā)展.將數(shù)學(xué)思維過程“可視化”，對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣闊性、深刻性、創(chuàng)造性和靈活性等優(yōu)良品質(zhì)起到重要作用.教師在新技術(shù)的指引下讓學(xué)生親自去“做”數(shù)學(xué)，顯然有助于提高學(xué)生主體的參與程度[2].使用圖形計算器對數(shù)學(xué)進(jìn)行多元解釋，學(xué)生可以依據(jù)自身的特點(diǎn)選擇不同的角度分析和判斷，并采用文本的、圖形的、數(shù)據(jù)圖表等不同的呈現(xiàn)方式進(jìn)行表達(dá)[3]，幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)知識體系十分科學(xué)嚴(yán)格，但是實(shí)踐操作不夠，圖形計算器突破了傳統(tǒng)的數(shù)理教學(xué)，拓展了學(xué)生學(xué)習(xí)的空間，為學(xué)生自主研究數(shù)學(xué)問題提供了先進(jìn)的技術(shù)手段[4].下面，筆者以《中點(diǎn)四邊形》這節(jié)課為例，簡述如何利用HP Prime在常態(tài)課教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).1 利用圖形計算器克服思維的狹隘性，培養(yǎng)思維的廣闊性

數(shù)學(xué)思維的廣闊性表現(xiàn)在能夠多視角、多方面去思考問題，善于發(fā)現(xiàn)事物之間各個細(xì)微的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)多途徑解決問題的方法.多向、發(fā)散性思維，是思維廣闊性的重要標(biāo)志之一.這種思維要求隨時擺脫思維定勢的消極影響和封閉的思維框架的束縛，使思維的觸角伸向研究對象的各個層面，形成一種視野更開闊的思維態(tài)勢.圖形計算器的強(qiáng)大功能，為學(xué)生提供了從數(shù)、形、動、靜等多角度研究數(shù)學(xué)的廣闊平臺，探求不同的解決數(shù)學(xué)問題的途徑和方法，使學(xué)生頭腦中的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，開闊學(xué)生的思路，起到發(fā)散思維的作用.圖1

首先提出問題：

例1已知：圖1，四邊形ABCD中，G，H，I，J分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，依次將G，H，I，J四點(diǎn)連接.

猜想四邊形GHIJ是什么四邊形？并借助HP Prime的幾何學(xué)應(yīng)用程序中的檢驗(yàn)四邊形

功能，驗(yàn)證你的猜想.

接下來，任意拖動四邊形ABCD的一個頂點(diǎn)，

我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)四邊形ABCD的形狀發(fā)生改變時，

中點(diǎn)四邊形GHIJ的形狀也隨之變化，有時候中

點(diǎn)四邊形是平行四邊形，但是有時候中點(diǎn)四邊形

會變成矩形，菱形，或者是正方形，那么當(dāng)四邊形ABCD具有什么特點(diǎn)時，它對應(yīng)的中點(diǎn)四邊形GHIJ會成為平行四邊形以及特殊的平行四邊形呢？

學(xué)生借助HP Prime的幾何學(xué)應(yīng)用程序，首先將問題中四邊形ABCD特殊化為熟悉的平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、箏形等等，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究，探究對應(yīng)的中點(diǎn)四邊形GHIJ的形狀是否會成為特殊的平行四邊形.學(xué)生們不斷利用HP Prime嘗試作圖、討論、交流，開拓了學(xué)生思維的廣闊性.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：

四邊形ABCD是平行四邊形四邊形ABCD是梯形

四邊形ABCD是矩形四邊形ABCD是等腰梯形

四邊形ABCD是菱形四邊形ABCD是箏形

四邊形ABCD是正方形說明

通過以上實(shí)驗(yàn)探究，學(xué)生可以總結(jié)：

四邊形ABCD一般四邊形平行四邊形矩形等腰梯形菱形箏形正方形

中點(diǎn)四邊形GHIJ平行四邊形菱形矩形正方形

HP Prime可以展示學(xué)生的動態(tài)思維過程，學(xué)生在數(shù)與點(diǎn)，動與靜的相互印證中，不僅開拓了思維的廣闊性，還感受到數(shù)學(xué)規(guī)律的不變性，促使學(xué)生繼續(xù)深入思考.2利用圖形計算器克服思維的膚淺性，培養(yǎng)思維的深刻性

數(shù)學(xué)思維的深刻性是指思維活動的抽象和邏輯推理水平，表現(xiàn)為能深入鉆研與思考數(shù)學(xué)問題，深刻理解概念，分析問題周密，善于從復(fù)雜問題中把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，能夠有效分析問題的主要特征，正確認(rèn)識與揭示知識之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化規(guī)律.學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，思維常被問題的表象所困擾，抓不住本質(zhì)，看不到內(nèi)涵，思維游離于問題的表層.利用HP Prime的強(qiáng)大功能，可以從全方位揭示問題，進(jìn)行多維表征，透過現(xiàn)象，使學(xué)生的思維深入到研究問題的內(nèi)部，揭示問題實(shí)質(zhì)，使思維由感性上升為理性，進(jìn)而提高思維的深刻性.

繼續(xù)思考下面的問題：

1. 除了以上討論的特殊四邊形，還有沒有其他形狀的四邊形的中點(diǎn)四邊形也是特殊的矩形？菱形？或正方形？四邊形ABCD的什么元素決定和影響它對應(yīng)的中點(diǎn)四邊形GHIJ的形狀？使它對應(yīng)的中點(diǎn)四邊形成為特殊的平行四邊形呢？

2. 借助HP Prime的幾何學(xué)應(yīng)用程序和你探究的結(jié)論，請你設(shè)計一個非正方形的四邊形ABCD，而它的中點(diǎn)四邊形GHIJ是正方形.

學(xué)生們紛紛猜測是四邊形ABCD的邊、角或?qū)蔷€決定和影響了中點(diǎn)四邊形的形狀，繼續(xù)討論后發(fā)現(xiàn)矩形和等腰梯形的共性是原四邊形的對角線相等，菱形和箏形的共性是原四邊形的對角線垂直，原四邊形的對角線所具有的相同性質(zhì)導(dǎo)致其中點(diǎn)四邊形的形狀沒有發(fā)生改變.

對角線AC、BD不相等且不垂直相等垂直相等且垂直

四邊形ABCD一般四邊形平行四邊形矩形等腰梯形菱形箏形正方形

中點(diǎn)四邊形GHIJ平行四邊形菱形矩形正方形

基于這一點(diǎn)認(rèn)識，學(xué)生直接利用數(shù)學(xué)推理揭示出其中的數(shù)學(xué)本質(zhì).

證明：連接AC、BD，

因?yàn)镚、H是AB、BC的中點(diǎn)，

所以GH∥AC，GH=12AC.

因?yàn)镮、J是DC、AD的中點(diǎn)，

所以IJ∥AC，IJ=12AC，

所以GH∥IJ，GH=IJ=12AC.

同理：GJ∥HI，GJ=HI=12BD，

所以中點(diǎn)四邊形GHIJ是平行四邊形.

當(dāng)四邊形ABCD對角線AC=BD時，GH=HI=IJ=GJ，中點(diǎn)四邊形GHIJ是菱形；

當(dāng)四邊形ABCD對角線AC⊥BD時，GH⊥HI，中點(diǎn)四邊形GHIJ是矩形；

當(dāng)四邊形ABCD對角線AC=BD且AC⊥BD時，GH=HI=IJ=GJ且GH⊥HI，中點(diǎn)四邊形GHIJ是正方形；

結(jié)論當(dāng)四邊形ABCD對角線既不相等也不互相垂直時，中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.

當(dāng)四邊形ABCD對角線相等時，中點(diǎn)四邊形是菱形；

當(dāng)四邊形ABCD對角線互相垂直時，中點(diǎn)四邊形是矩形；

當(dāng)四邊形ABCD對角線相等且互相垂直時，中點(diǎn)四邊形是正方形.

非正方形的四邊形ABCD，它的中點(diǎn)四邊形GHIJ是正方形的設(shè)計圖如右圖.

學(xué)生借助HP Prime的幾何學(xué)應(yīng)用程序，在實(shí)驗(yàn)探究的基礎(chǔ)上，首先將原四邊形形狀特殊化，然后再一般化，學(xué)生的思維經(jīng)歷從一般到特殊，再從特殊回到一般的過程，同時運(yùn)用分類討論思想不斷修正和完善猜想，并運(yùn)用邏輯推理的方法揭示出其中的數(shù)學(xué)本質(zhì).利用HP Prime感性、直觀的重新理解中點(diǎn)四邊形的含義（中點(diǎn)四邊形的形狀由原四邊形對角線的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系決定），對學(xué)生克服思維的膚淺性，理解其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)思維的深刻性大有益處.3 利用圖形計算器克服思維的盲從性，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

著名的荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家Freudenthal倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的教學(xué)原理，認(rèn)為數(shù)學(xué)更應(yīng)該被看作為是活的、動態(tài)的、開放的、可能有錯的活動，要求課程設(shè)計者和教師，不是將數(shù)學(xué)當(dāng)作一個現(xiàn)成的體系來教，而是在教學(xué)中充分強(qiáng)調(diào)每個學(xué)生應(yīng)盡可能有機(jī)會經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識再創(chuàng)造的過程，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不是接受、記憶、模仿和練習(xí)，而是自主探索、合作交流、動手操作、充滿了創(chuàng)新思考的過程.Freudenthal教授曾經(jīng)指出，這樣做至少有以下三條教育學(xué)依據(jù)：首先，通過自身活動所得到的知識與能力比由旁人硬塞的理解得透徹，通常掌握的快，同時也善于應(yīng)用，一般來說還可以保持比較長久的記憶.其次，發(fā)現(xiàn)是一種樂趣，或者說，是人的天性.通過再創(chuàng)造能夠引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)其學(xué)習(xí)動機(jī).最后，通過再創(chuàng)造，可以幫助人們形成數(shù)學(xué)是一種人類活動的觀念.此外，通過再創(chuàng)造能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，并且通過再創(chuàng)造可以幫助學(xué)生正確認(rèn)識數(shù)學(xué)體系的形成過程，體會公理系統(tǒng)、形式體系的必要性及作用.這些方面涉及學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識目標(biāo)、過程目標(biāo)和情感目標(biāo)，涉及后人在前人的基礎(chǔ)上地發(fā)展，都是非常重要的，因此學(xué)生需要經(jīng)歷“再創(chuàng)造”.

數(shù)學(xué)教育的一個目的應(yīng)在于充分挖掘?qū)W生這些潛能，創(chuàng)設(shè)相應(yīng)教學(xué)條件，使其得到有效的培養(yǎng)與充分的發(fā)揮[5].HP Prime就是給學(xué)生提供了一個獨(dú)立自主、探究發(fā)現(xiàn)的平臺，使學(xué)生通過自身的實(shí)踐和體驗(yàn)，積極主動的思考，不再消極被動的盲從，這樣創(chuàng)造性思維才會隨之而生.

經(jīng)歷以上中點(diǎn)四邊形本質(zhì)內(nèi)容的探究過程，給出下面例題.

例2已知：如圖2，四邊形ABCD中，M，K，L，J分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，依次將M，K，L，J四點(diǎn)連接，四邊形MKLJ是什么四邊形？

1. 改變當(dāng)四邊形ABCD的形狀，其相應(yīng)的四邊形MKLJ還會是一般平行四邊形或特殊的平行四邊形嗎？

2. 你能設(shè)計出四邊形ABCD，使四邊形MKLJ是特殊的平行四邊形嗎？

請仿照例1的探究過程，對例2展開探究.

學(xué)生由于受固有思維的影響，多數(shù)會不假思索的認(rèn)為，當(dāng)改變當(dāng)四邊形ABCD的形狀，四邊形MKLJ也會是平行四邊形或特殊的平行四邊形，但是利用HP Prime的幾何學(xué)應(yīng)用程序，發(fā)現(xiàn)移動點(diǎn)D的位置，四邊形MKLJ有不存在的情況（圖3），這引起學(xué)生的思維沖突，激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步研究問題的興趣.學(xué)生發(fā)現(xiàn)在保證AD與BC不平行（即四邊形MKLJ存在）的前提下，當(dāng)滿足AD=BC時，可以構(gòu)造出菱形MKLJ（圖4），若要構(gòu)造出矩形MKLJ或正方形MKLJ時，需要創(chuàng)設(shè)AD⊥BC的條件，這時需要大膽構(gòu)造符合條件的凹四邊形ABCD（圖5，圖6）.

學(xué)生通過HP Prime，自主探索、動手實(shí)踐，一方面幫助學(xué)生將頭腦中的思維過程在圖形計算器上得以顯示和驗(yàn)證，即“思維可視化”，另一方面，學(xué)生通過HP Prime的操作，可以啟發(fā)思維、促進(jìn)思維、開拓思維，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.4 利用圖形計算器克服思維的呆板性，培養(yǎng)思維的靈活性

知識和經(jīng)驗(yàn)常被人們按一定的、個人習(xí)慣的“現(xiàn)成途徑”反復(fù)認(rèn)識，這就容易產(chǎn)生先入之見，使思維傾向于某種具體的方式和方法，使人們在解決問題的過程中總是遵循已經(jīng)知道的規(guī)則系統(tǒng)，這就是思維的呆板性.傳統(tǒng)的教學(xué)和學(xué)習(xí)方法偏重模仿和被動的接受，這不利于思維靈活性的培養(yǎng).利用HP Prime開展教學(xué)與學(xué)習(xí)，不僅可以使學(xué)生自主地獲取知識，也可以有效地訓(xùn)練學(xué)生的思維品質(zhì)，使學(xué)生在解決問題、克服困難的過程中靈活應(yīng)對，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

思維的靈活性表現(xiàn)為從一種解題途徑轉(zhuǎn)向另一種途徑的靈巧性，也表現(xiàn)為從已知數(shù)學(xué)關(guān)系中看出新的數(shù)學(xué)關(guān)系，從隱蔽的形式中分清實(shí)質(zhì).利用HP Prime，可以幫助學(xué)生在數(shù)與形中靈活轉(zhuǎn)換，是訓(xùn)練思維靈活性的有效途徑之一.

例1和例2完成后，提出思考問題：例1和例2之間有什么聯(lián)系？

從表面看例1和例2是彼此獨(dú)立的兩道題目，但是用HP Prime的幾何學(xué)應(yīng)用程序，改變點(diǎn)D的位置（圖7和圖8），會發(fā)現(xiàn)例1和例2實(shí)質(zhì)是一道題，僅僅是點(diǎn)的位置發(fā)生改變，因此結(jié)論也具有相似性.

如果改變點(diǎn)D的位置，如圖9和圖10，就是學(xué)生非常熟悉的與三角形中位線有關(guān)的圖形.

利用HP Prime，充分的讓圖形動起來，是研究圖形，獲得發(fā)現(xiàn)的一種重要方法，圖形的運(yùn)動不僅產(chǎn)生了學(xué)生熟悉的圖形，還產(chǎn)生了許多新的圖形，不僅讓學(xué)生能直觀的感受到圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，還培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性，促使學(xué)生不斷產(chǎn)生新的思考.

整堂課，學(xué)生利用HP Prime的幾何學(xué)應(yīng)用程序，對中點(diǎn)四邊形這一問題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究，把較為抽象的數(shù)學(xué)問題形象生動化，轉(zhuǎn)化為學(xué)生看得見的動態(tài)圖象，讓學(xué)生通過觀察演示、動手操作，在動態(tài)中認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的不變性，使學(xué)生親歷數(shù)學(xué)建構(gòu)過程，積累學(xué)習(xí)的直接經(jīng)驗(yàn)，逐步掌握間接知識，獲得對抽象的數(shù)學(xué)概念、定理等的感性認(rèn)識，進(jìn)而通過加工、整理上升為理性認(rèn)識，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識的形成過程：觀察、猜想，證明和應(yīng)用.在這個過程中，學(xué)生不僅逐漸認(rèn)識到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，獲得了數(shù)學(xué)知識，同時數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)也得到提升.

科學(xué)合理地利用HP Prime，可以充分發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢，為學(xué)生開拓觀察、思考、歸納、猜想的空間，使學(xué)生有更多的時間和機(jī)會從事高水平數(shù)學(xué)思維、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的活動，促進(jìn)學(xué)生良好思維品質(zhì)形成.當(dāng)然在使用圖形計算器的教學(xué)過程中，還要注意貫徹因材施教，重在實(shí)效的原則，使各類教育技術(shù)都能最充分地發(fā)揮各自的技術(shù)優(yōu)勢.注重從整體上優(yōu)化教學(xué)過程，防止為了應(yīng)用而應(yīng)用的形式化傾向[6].

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[6]郭立昌.圖形計算器與中學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新教育——幾個值得思考的問題[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2001，10（4）：47-51作者簡介 沈康，女，1975年12月生，中學(xué)一級教師，教育碩士，師從錢珮鈴教授和曹一鳴教授，主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)管理及數(shù)學(xué)課堂有效教學(xué)與圖形計算器整合研究，有多篇文章及研究課在北京市獲一等獎.