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      對(duì)多邊形對(duì)角線條數(shù)的探究

      2016-04-20 05:07:48吳桂紅
      開心素質(zhì)教育 2016年2期
      關(guān)鍵詞:八邊形項(xiàng)數(shù)邊形

      吳桂紅

      初中數(shù)學(xué)的幾何知識(shí)學(xué)習(xí)中,探索多邊形的對(duì)角線條數(shù)公式的過程是個(gè)難點(diǎn),但它也是初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。

      北師大版七年級(jí)上冊(cè)第四章第五節(jié)多邊形和圓的初步認(rèn)識(shí)的教學(xué)中,不僅要求學(xué)生掌握多邊形的對(duì)角線概念,還要會(huì)求多邊形的對(duì)角線的條數(shù)。筆者在教授這節(jié)課時(shí)運(yùn)用了兩種方法來探索多邊形的對(duì)角線條數(shù)公式,學(xué)生接受的也不錯(cuò)。

      在探索多邊形的對(duì)角線條數(shù)公式之前,應(yīng)該先把對(duì)角線的概念講清楚,否則學(xué)生后面探索對(duì)角線條數(shù)時(shí)會(huì)很難理解。筆者探索多邊形的對(duì)角線條數(shù)公式用的主要思想是探索規(guī)律,因?yàn)樵趯W(xué)這章之前的第三章最后一節(jié)課剛好是學(xué)習(xí)探索規(guī)律,這樣的方法他們比較容易接受,也更有利于鞏固復(fù)習(xí)舊知識(shí)。

      第一種方法:先探索過多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線條數(shù),再分析出n邊形的對(duì)角線條數(shù)公式。

      讓學(xué)生們合作探究

      過多邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)

      有幾條對(duì)角線。

      讓學(xué)生分別作出上面圖形經(jīng)過頂點(diǎn)A的所有對(duì)角線,然后數(shù)數(shù)對(duì)角線條數(shù)并填入下表。

      學(xué)生由畫圖很容易就能得出邊數(shù)是4、5、6的多邊形的對(duì)角線條數(shù)分別是1、2、3,于是根據(jù)表格數(shù)據(jù)探索規(guī)律就能觀察出n邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)有(n-3)條對(duì)角線。其實(shí)這里還可以問下學(xué)生為什么過n邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)有(n-3)條?根據(jù)對(duì)角線的概念,知道多邊形的對(duì)角線是不相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間的連線。而n邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)除了該頂點(diǎn)本身和兩個(gè)相鄰的點(diǎn)外共有(n-3)個(gè)點(diǎn)不相鄰,所以過該頂點(diǎn)有(n-3)條對(duì)角線。

      由于n邊形有n個(gè)頂點(diǎn),根據(jù)乘法法則得共有n(n-3)條對(duì)角線,可是我們發(fā)現(xiàn)每?jī)蓚€(gè)不相鄰的點(diǎn)連接時(shí)會(huì)重復(fù)一次,于是最后得出n邊形的對(duì)角線條數(shù)公式是n-(n-3)/2。

      第二種方法:先探索邊數(shù)少的多邊形的對(duì)角線條數(shù),再探索規(guī)律得出n邊形的對(duì)角線條數(shù)公式。

      學(xué)生們很容易由上面的4、5、6邊形的對(duì)角線條數(shù)分別是2、5、9,那么根據(jù)數(shù)字的特征可以觀察出5=2+3,9=2+3+4,于是可以猜想7邊形的對(duì)角線條數(shù)是2+3+4+5=14。所以n邊形的對(duì)角線條數(shù)公式是2+3+4+5+......+(n-2),這里首項(xiàng)是2,尾項(xiàng)是n-2,項(xiàng)數(shù)是n-3,這里的項(xiàng)數(shù)對(duì)于學(xué)生不太容易看出來,老師可以提醒學(xué)生先考慮從1+2+3+……+(n-2)的項(xiàng)數(shù)是n-2,再得出2+3+4+……+(n-2)應(yīng)該前面的少一項(xiàng)是(n-3)項(xiàng)。根據(jù)連續(xù)自然數(shù)相加的公式1/2(首項(xiàng)+尾項(xiàng))×項(xiàng)數(shù),從而得出對(duì)角線條數(shù)是2+3+4+5+……+(n-2)=(2+n-2)(n-3)/2=n(n-3)/2。

      下面我們利用以上兩種思路分析一道2008年浙江省中考數(shù)學(xué)題:

      [2008年浙江杭州第19題]

      19.(本小題滿分6分)在凸多邊形中,四邊形有2條對(duì)角線,五邊形有5條對(duì)角線,經(jīng)過觀察、歸納,你認(rèn)為凸八邊形的對(duì)角線條數(shù)應(yīng)該是多少條?簡(jiǎn)單扼要地寫出你的思考過程。

      這道題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)中明確規(guī)定:(如果直接利用公式: 得到20而沒有思考過程, 全題只給3分),所以學(xué)生一定要明白公式怎么來的。

      解:凸八邊形的對(duì)角線條數(shù)應(yīng)該是20。

      思考一: 從凸八邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以作出(8-3)條對(duì)角線, 8個(gè)頂點(diǎn)共8×(8-3)條, 但其一條對(duì)角線對(duì)應(yīng)兩個(gè)頂點(diǎn)重復(fù)一次, 所以有條對(duì)角線,即凸八邊形的對(duì)角線條數(shù)是20。

      思考二: 可以通過列表歸納分析得到: 多邊形 4、 5、 6 、7、 8 的對(duì)角線條數(shù)分別是 2、 2+3、 2+3+4 、2+3+4+5 、2+3+4+5+6 ,所以凸八邊形的對(duì)角線條數(shù)是20。

      通過思考上面的中考題,我們知道學(xué)生不僅要會(huì)用公式,還要掌握公式的推導(dǎo)過程,于是如何推導(dǎo)的過程更是學(xué)生要學(xué)會(huì)掌握的能力,而運(yùn)用探索規(guī)律的方法研究一個(gè)新問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的方法,也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn),這個(gè)也為學(xué)生今后高中的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。(作者單位:江西省鷹潭實(shí)驗(yàn)中學(xué))

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