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      論高次方程

      2017-02-25 21:47:25哈爾濱師范大學研究生馬正方
      數(shù)學大世界 2017年24期
      關鍵詞:項的項數(shù)公比

      哈爾濱師范大學研究生 馬正方

      論高次方程

      哈爾濱師范大學研究生 馬正方

      本文以等比等差復合數(shù)列為導向,揭示了高次方程上不封頂?shù)淖呦?,推出了關于高次方程的四個定律,并且對“五次以上的方程無解”具有一定的挑戰(zhàn)性。

      高次方程;等比等差復合數(shù)列;定律;指數(shù);系數(shù)

      定律:任何四項的數(shù)列a1、a2、a3、a4,并且a1、a2、a3為三項的等比數(shù)列,a2、a3、a4為三項的等差數(shù)列(如此數(shù)列稱作等比等差復合數(shù)列),則(a2×a3)-(a1×a4)= a1×a2×(公比-1)2。

      舉例如下:

      例1 1、2、4、6這樣的等比等差數(shù)列,則(2×4)-(1×6)=1×2×(公比2-1)2=1×2×12=2。

      例2 8、24、72、120這樣的等比等差數(shù)列,則(24×72)-(8×120)=8×24×(公比3-1)2=8×24×22=768。

      例3 3、15、75、135這樣的等比等差數(shù)列,則(15×75)-(3×135)=3×15×(公比5-1)2=3×15×42=720。

      例4 2、5、12.5、20這樣的等比等差數(shù)列(前三項的公比為2.5,后三項的公差為7.5),則(5×12.5)-(2×20)=2×5×(2.5-1)2=22.5。

      另外,在研究過程中發(fā)現(xiàn):(21+9)-(17+11)=(21×9)-(17×11)=(21-9)÷(17-11)=2。如此這般,運算符號改變卻結(jié)果數(shù)不變,并且9÷21=0.428571(如此循環(huán)小數(shù)),11÷17=0.6470588235294117(如此十六位循環(huán)小數(shù),并且小數(shù)點之后除了0、3、6、9四個數(shù),其他的數(shù)4、2、8、5、7、1均存在兩個)。這樣的數(shù)字難道獨一無二嗎?

      定律的普遍意義:數(shù)學是宇宙的語言。該定律昭示:其中的等比數(shù)列可稱為雄性,等差數(shù)列可稱為雌性,a1×a2×(公比-1)2可稱為兩性復合交配所產(chǎn)生的后代,(公比-1)2可稱為遺傳的基因。

      等比等差復合數(shù)列的概念:等比等差這兩樣數(shù)列重復性配合在一起。重復性在于:等比數(shù)列的最后一項是等差數(shù)列的第二項,等比數(shù)列的“倒數(shù)”第二項是等差數(shù)列的首項,從而造成這樣的事實:該復合數(shù)列的中間兩項被等比等差這兩樣數(shù)列所共有同管。等比等差復合數(shù)列孕育高次方程的新常態(tài),“高次”得無窮無盡無窮大,上不封頂,要多少就有多少,可實現(xiàn)滿意的期望值。該復合數(shù)列是知識爆炸的導火索,是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的新大陸。

      等比等差復合數(shù)列的綜合定律之一:對于該數(shù)列來說:(1)當數(shù)列的項數(shù)是大于3的偶數(shù)時(a1、a2、a3、a4……),則等比等差這兩個數(shù)列的項數(shù)都為該復合數(shù)列的項數(shù)的一半再加1;該復合數(shù)列的項數(shù)必須是偶數(shù),以便能被2整除。(2)當該復合數(shù)列的“項數(shù)”是4時,則(a2×a3)-(a1×a4)= a1×a2×(x-1)2×1x0,由于x的系數(shù)是1并且指數(shù)是零,該數(shù)值等于1,1x0作為乘數(shù)不影響方程的成立,似乎有無均可,但是1x0卻是基礎性的存在??!當“項數(shù)”是6時,則與該數(shù)列首尾兩項相鄰的兩項相乘之積減去首尾兩項相乘之積(以下同理):(a2×a5)-(a1×a6)= a1×a2×(x-1)2× 2x;當“項數(shù)”是8時,則(a2×a7)-(a1×a8)= a1×a2×(x-1)2×3x2;當“項數(shù)”是10時,則(a2×a9)-(a1×a10)= a1×a2×(x-1)2×4x3;當“項數(shù)”是12時,則(a2×a11)-(a1×a12)= a1×a2×(x-1)2×5x4;當“項數(shù)”是14時,則(a2×a13)-(a1×a14)= a1×a2×(x-1)2×6x5;如此這般發(fā)展下去,其中x為該等比數(shù)列的公比(公比可以是小數(shù)分數(shù),如2.5之類),其中所有的乘數(shù)“1x0、2x、3x2、4x3、5x4、6x5……”之類的系數(shù)構成無窮的自然數(shù)列,并且指數(shù)構成零和無窮的自然數(shù)列。存在這樣的規(guī)律:該復合數(shù)列的項數(shù)減去2之差除以2等于系數(shù),系數(shù)減去1等于指數(shù)。例如:“項數(shù)”是14時涉及6x5,(14-2)÷2=6,6-1=5。(3)如上所述,等比等差復合數(shù)列的項數(shù)及其所涉及的系數(shù)和指數(shù)存在連鎖反應,項數(shù)的大小決定系數(shù)和指數(shù)的大小,并且無窮無限之大,要多大就有多大,上不封頂,隨心所欲,感受神奇,如此這般,要歸功于組合數(shù)學。等比等差復合數(shù)列就是把等差數(shù)列和等比數(shù)列有機地組合了。

      例1 10項的等比等差復合數(shù)列1、2、4、8、16、32、48、64、80、96,其中前六項為等比數(shù)列(公比為2),后六項為等差數(shù)列(公差為16),則(2×80)-(1×96)=1×2×(公比2-1)2×(4×23)=64。

      例2 8項的等比等差復合數(shù)列3、9、27、81、243、405、567、729,則(9×567)-(3×729)=3×9×(公比3-1)2×(3×32)=2916。

      例3 14項的等比等差復合數(shù)列1、2、4、8、16、32、64、128、192、256、320、384、448、512,則(2×448)-(1×512)=1×2×(公比2-1)2×(6×25)=384。

      例4 8項的等比等差復合數(shù)列4、10、25、62.5、156.25、250、343.75、437.5(前五項的公比是2.5,后五項的公差是93.75),則(10×343.75)-(4×437.5)=4×10×(公比2.5-1)2×(3×2.52)=1687.5。

      例5 8項的等比等差復合數(shù)列200、100、50、25、12.5、0、-12.5、-25(前五項的公比是0.5,后五項的公差是-12.5),則[100×(-12.5)]-[200×(-25)]=200×100×(公比0.5-1)2×(3×0.52)=3750。

      為什么稱作等比等差復合數(shù)列呢?因為等比等差兩個數(shù)列不是前后銜接,而是重復性交接。也就是說,等比數(shù)列的尾項是等差數(shù)列的第二項,等比數(shù)列倒數(shù)第二項是等差數(shù)列的首項,等比等差兩個數(shù)列有兩個相同的數(shù)字。如此這般,兩個數(shù)列及其后續(xù)運算有機地組合起來,這就是組合數(shù)學。隨著科學的發(fā)展和時代的進步,組合數(shù)學日益顯示出了強大的生命力和滿意的期望值。數(shù)學大師陳省身說“數(shù)學好玩”。等比等差數(shù)列這種有機的組合恰似抱團取暖,可以產(chǎn)生一定的規(guī)模效應,從而提高數(shù)學的層次,往往具有“好玩”的性能,特別有助于開發(fā)青少年的智力,培養(yǎng)對數(shù)學的愛好,當涉及的數(shù)字較大時,可充分發(fā)揮計算器和計算機的作用。

      等比等差復合數(shù)列的綜合定律之二:對于該數(shù)列來說:(1)當數(shù)列的項數(shù)是大于5的偶數(shù)時(a1、a2、a3、a4、a5、a6……),則等比等差這兩個數(shù)列的項數(shù)都為該復合數(shù)列的項數(shù)的一半再加1;該復合數(shù)列的項數(shù)必須是偶數(shù),以便能被2整除)。(2)當該復合數(shù)列的“項數(shù)”是6時,則該數(shù)列中間兩項的相乘之積減去與中間兩項相鄰的兩項相乘之積(以下同理):(a3×a4)-(a2×a5)= a1×a2×(x-1)2×x2;當“項數(shù)”是8時,則(a4×a5)-(a3×a6)= a1×a2×(x-1)2×x4;當“項數(shù)”是10時,則(a5×a6)-(a4×a7)= a1×a2×(x-1)2×x6;當“項數(shù)”是12時,則(a6×a7)-(a5×a8)= a1×a2×(x-1)2×x8;如此這般發(fā)展下去,其中x為該等比數(shù)列的公比(公比可以是小數(shù)分數(shù),如2.5之類),其中所有的乘數(shù)“x2、x4、x6、x8”之類的指數(shù)構成無窮的以2為首項的偶數(shù)數(shù)列,并且“項數(shù)”減去4等于該乘數(shù)的指數(shù),項數(shù)的大小決定指數(shù)的大小,項數(shù)越大指數(shù)越大,上不封頂,隨心所欲,感受神奇。

      例1 8項的等比等差復合數(shù)列4、10、25、62.5、156.25、250、343.75、437.5(前五項的公比是2.5,后五項的公差是93.75),則(62.5×156.25)-(25×250)=4×10×(公比2.5-1)2×2.54=3515.625。

      例2 8項的等比等差復合數(shù)列200、100、50、25、12.5、0、-12.5、-2.5(前五項的公比是0.5,后五項的公差是-12.5),則(25×12.5)-(50×0)=200×100×(0.5-1)2×0.54=312.5。

      等比等差復合數(shù)列的綜合定律之三:任何四項的等比等差復合數(shù)列a1、a2、a3、a4,則(a2×a4)-(a1×a3)=2(x ×a1)2(x-1),x為前三項等比數(shù)列的公比。

      例1 四項的等比等差復合數(shù)列5、25、125、225(后三項等差數(shù)列的公差是100),則(25×225)-(5×125)=2×(公比5×首項5)2×(公比5-1)=5000。

      例2 4、24、144、264,則(24×264)-(4×144)=2×(公比6×首項4)2×(公比6-1)=5760。

      例3 四項的等比等差復合數(shù)列2、4、8、12,則(4×12)-(2×8)=2×(公比2×首項2)2×(公比2-1)=32。

      例4 四項的等比等差復合數(shù)列5、15、45、75,則(15×75)-(5×45)=2×(公比3×首項5)2×(公比3-1)=900。

      如例題所示,前三項為等比數(shù)列,后三項為等差數(shù)列,這樣的復合數(shù)列都符合綜合定律之三,該定律之中的系數(shù)和指數(shù)都是2。

      等比等差復合數(shù)列的綜合定律之四:對于該數(shù)列來說:(1)當數(shù)列的項數(shù)是大于5的偶數(shù)時(a1、a2、a3、a4、a5、a6……),則等比等差這兩個數(shù)列的項數(shù)都為該復合數(shù)列的項數(shù)的一半再加1;該復合數(shù)列的項數(shù)必須是偶數(shù),以便能被2整除。(2)當該復合數(shù)列的“項數(shù)”是6時,則該數(shù)列的第二項與最后一項這兩項的相乘之積減去該數(shù)列的首項與倒數(shù)第二項這樣兩項的相乘之積(以下同理):當a1、a2、a3、a4的公比x=3時,則(a2×a6)-(a1×a5)=(a1)2×4×4x2;當公比x=2時,則(a2×a6)-(a1×a5)=(a1)2×5x2。當“項數(shù)”是8時,a1、a2、a3、a4、a5的公比x=3時,則(a2×a8)-(a1×a7)=(a1)2×4×5x3;當公比x=2時,則(a2×a8)-(a1×a7)=(a1)2×6x3。當“項數(shù)”是10時,a1、a2、a3、a4、a5、a6的公比x=3時,則(a2×a10)-(a1×a9)=(a1)2×4×6x4,當公比x=2時,則(a2×a10)-(a1×a9)=(a1)2×7x4。如此這般,對相同“項數(shù)”的兩個復合數(shù)列來說,公比是3和是2,其系數(shù)為相鄰的自然數(shù)(如6x4、7x4之中的6和7是相鄰的自然數(shù));對于所有復合數(shù)列的“項數(shù)”(如6、8、10、12……)不斷偶數(shù)化,x的指數(shù)構成以2為首項的自然數(shù)列,所有指數(shù)的次數(shù)上不封頂,隨心所欲,感受神奇。項數(shù)、系數(shù)、指數(shù)存在連鎖反應的規(guī)律性:系數(shù)是項數(shù)的一半所產(chǎn)生的連續(xù)兩個自然數(shù),指數(shù)是所連續(xù)的第一個自然數(shù)減去2所得的差數(shù)(例如當項數(shù)是6時,6的一半是3,4x2和5x2之中的4和5是3的連續(xù)兩個自然數(shù),指數(shù)2是4減去2之差)。等比等差復合數(shù)列堪稱數(shù)學的富礦,存在許多神奇奧妙有待開發(fā)?。?/p>

      例1 公比x=3時,8項的等比等差復合數(shù)列5、15、45、135、405、675、945、1215(后5項等差數(shù)列的公差為270),則(15×1215)-(5×945)=52×4×(5×33)=13500。

      例2 公比x=2時,8項的等比等差復合數(shù)列3、6、12、24、48、72、96、120(后5項的公差為24),則(6×120)-(3×96)=32×(6×23)=432。

      例3 公比x=2時,6項的等比等差復合數(shù)列0.5、1、2、4、6、8,則(1×8)-(0.5×6)=0.52×(5×22)=5。

      學問,學問是什么?學問就是把原本簡單的東西搞復雜,或者把原本復雜的東西搞簡單?。‘斎?,所搞成的復雜或簡單都是經(jīng)得起實踐檢驗的真理啊!

      方程的定義是“含有未知數(shù)的等式”,如此等式在本文中比比皆是,且為高次方程。數(shù)學歷史出現(xiàn)過阿貝爾關于五次以上的方程無解之說,然而是否意味由于本文使得阿貝爾之說站不住腳呢?但愿本文能起到拋磚引玉的作用。

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