王寬明

一、 問題提出

美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)在“學(xué)校數(shù)學(xué)的原則與標(biāo)準(zhǔn)”中提到，使用表征來模式化及詮釋物理、社會(huì)或數(shù)學(xué)現(xiàn)象，可以有效增進(jìn)學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解。表征可以幫助學(xué)生理解問題、呈現(xiàn)解題方法及形成思路，它有助于“與別人溝通想法，或幫助學(xué)生重組相關(guān)概念間的關(guān)系連結(jié)，并應(yīng)用數(shù)學(xué)解決客觀世界的現(xiàn)實(shí)問題”[1]。在教學(xué)實(shí)踐中，教師運(yùn)用表征來幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，學(xué)生通過表征來傳達(dá)其所內(nèi)化的數(shù)學(xué)概念，而且教師也可以“從學(xué)生的表征來檢查其數(shù)學(xué)理解的程度”[2]。

“問題解決”能力是數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力，從“問題解決”的層面來看，形成表征是解題的初始階段，在表征過程中可形成解題的線索。尤其外在表征更是解題的重要輔助；如果解題者對問題所形成的表征不正確或不恰當(dāng)，將會(huì)影響其找到正確解題的思路與方法，故問題表征對解題成敗有關(guān)鍵性的影響。Lesh提出與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)的五種表征，即“實(shí)物、教具模型、圖形、語言與符號(hào)，其中前三個(gè)表征較為具體，后二個(gè)表征較為抽象”[3]。圖形表征不但能幫助學(xué)生記憶知識(shí)，還能強(qiáng)化他們對內(nèi)容的理解。“當(dāng)教師幫助學(xué)生以圖形表征方式呈現(xiàn)新知識(shí)時(shí)，學(xué)生能深入思考并記住相關(guān)知識(shí)，學(xué)習(xí)成就會(huì)提高。”[4]這里所謂的圖像表征其實(shí)是一種可視化表征的方法，當(dāng)個(gè)體面臨解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，會(huì)在腦海中或在紙上呈現(xiàn)與問題有關(guān)的圖像，以幫助個(gè)體進(jìn)行解題思路的可視化表征。

從教學(xué)實(shí)踐來看，傳統(tǒng)的教學(xué)往往要學(xué)生熟記公式，忽視公式的理解是否超過學(xué)生的認(rèn)知，未能善用可視化的方法幫助學(xué)生理解問題。恰當(dāng)?shù)目梢暬碚髂軒椭鷮W(xué)生理解數(shù)學(xué)問題，可避免抽象的符號(hào)運(yùn)算帶來的思維困惑。而對問題采用可視化表征，是減弱采用的邏輯推理的抽象符號(hào)表征的一種有效手段?；诖?，本文以可視化表征在工程問題中的應(yīng)用為例，以期使一線教師充分認(rèn)識(shí)到使用可視化表征在發(fā)展學(xué)生解決問題能力上的優(yōu)勢，進(jìn)而提高教學(xué)質(zhì)量。

二、 “工程問題”的可視化表征

本文根據(jù)小學(xué)工程問題條件的呈現(xiàn)方式，將工程問題分為實(shí)—實(shí)對比、虛—實(shí)對比、虛—虛對比三類，其中“實(shí)”是指具體的量，“虛”是指相對的數(shù)值，通常情況表現(xiàn)為一種比例關(guān)系。Van Hiele 認(rèn)為，利用可視化的表征方法有降低思考層次的效果。[5]研究運(yùn)用可視化表征，通過不斷對比兩個(gè)量之間的關(guān)系來幫助學(xué)生理解問題，提高問題解決能力。

1.實(shí)—實(shí)對比

（1）工作量為整數(shù)

傳統(tǒng)解法：直接教21÷（1-）=33的算則，或者利用比例求解，這對于學(xué)生而言，只是記憶算則而已，因?yàn)榇怂銊t內(nèi)含當(dāng)量除的觀念，對學(xué)生來說似乎過于抽象。

可視化解法（圖3）：圖形代表的意義為的工作量需要21天，即將工作量分為11個(gè)單位，其中的7個(gè)單位是21天，那么1個(gè)單位（）的工作量需要3天（21÷7=3）。這樣的解題策略是先畫出工作總量有幾個(gè)子單位，再從子單位的數(shù)據(jù)回頭推算1個(gè)單位的量值。也就是說，透過圖像表征出題意所給定的條件，繼而求出的工作量需要3天，學(xué)生可能因此較容易看出整體1 （工作總量）需要33天。

3.虛—虛對比

例4，甲一天的工作量是乙的1倍，甲、乙兩人合作需4天，如果甲、乙單獨(dú)做分別需要幾天完成？

解此題策略是利用基準(zhǔn)化的觀點(diǎn)，把基準(zhǔn)量視為1，把比較量視為基準(zhǔn)化后的比值，但站在學(xué)生的立場，甲、乙工作量之間，該定位何者為“基準(zhǔn)量”、何者為“比較量”？常有混淆不清的困擾。若能引導(dǎo)學(xué)生使用可視化表征來增進(jìn)題意的了解，進(jìn)而找到解題的線索與理解算式的意義，則更能協(xié)助學(xué)生成功解題，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)。

可視化解法（圖4）：

第一次對比：取乙為基準(zhǔn)量，甲為對比量。甲、乙合作需要四天完成，甲為深色，乙為淺色。

第二次對比：四天以四行來表示，甲乙合作一天的工作量以一行來表示。每行：5+4=9個(gè)單位。

第三次對比：相對應(yīng)甲乙合作一天而言，四天工作總量為9×4=36個(gè)單位

第四次對比：甲每天工作5個(gè)單位，相對于工作總量而言，需要36÷5=7天）

乙每天工作4個(gè)單位，相對于工作總量而言，需要36÷4=9（天）

以上工程問題，筆者皆提供了可視化表征的對照圖。希望能通過可視化表征來幫助學(xué)生理解題意和解題過程、重組相關(guān)概念之間的關(guān)系連結(jié)。尤其在表征過程中可形成解題的線索，輔助學(xué)生成功解題。此外，在解題過程中，可視化圖形既是輔助學(xué)生解題的素材，也是傳達(dá)想法給他人了解，幫助兩者相互溝通的表征工具。

三、 結(jié)論

由以上分析可知，就小學(xué)數(shù)學(xué)工程問題而言，可視化表征在解決問題過程中，需要結(jié)合三次表征，其主要思路如下：

但不管是透過語言或非語言的表征方式，教與學(xué)的互動(dòng)就是師生不斷表征的過程。然而，表征并非人類與生俱來的能力，而是學(xué)習(xí)得來的，且表征方式也隨著年齡而漸次發(fā)展：從動(dòng)作表征到圖像表征，再到符號(hào)表征。雖然符號(hào)表征能力實(shí)屬高階思維，但人類的思考卻是三種表征交替使用。也就是說，人類的思考其實(shí)是很有彈性的，有時(shí)用圖像思考，有時(shí)用符號(hào)思考，但總是以有利于理解問題和解決問題為考慮。所以，解決數(shù)學(xué)問題當(dāng)下所顯現(xiàn)的思考也是如此，有時(shí)用具體表征，有時(shí)用圖像表征，有時(shí)用符號(hào)表征，須視問題的情境來決定。而在教學(xué)的互動(dòng)過程中，教師要用何種表征來幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，除了依據(jù)問題的情境以外，同時(shí)也要取決于學(xué)生的認(rèn)知程度。研究發(fā)現(xiàn)，對于小學(xué)數(shù)學(xué)工程問題的可視化表征，當(dāng)問題類型為實(shí)—實(shí)、虛—虛對比時(shí)，采用單位格表示較為恰當(dāng)，而虛—實(shí)類型比較適宜用線性的單位表示。

因此，教師面對抽象的問題時(shí)，應(yīng)幫助學(xué)生建立心像，以作為思考的憑借與溝通的媒介?？梢暬碚鲗W(xué)生而言是心智技能的運(yùn)用，需要不斷的練習(xí)、反饋與修正，才能更為熟悉與精通。故教師平時(shí)就要指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)視覺化表征，及時(shí)提供反饋，以幫助建立視覺化表征的解題策略，增進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解。

參考文獻(xiàn)

[1] National Council of Teachers of Mathematics..Principles and standards for school mathematics. Reston， VA：Author.2000.

[2] English， L.D.，& Halford，G.S.Mathematics education：Models and processes. Mahwah， New Jersey：Lawrence Erlbaum Associates， Inc.1995.

[3] Grouws D A.Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning[M].New York：Macmillan Publish Company，1992.

[4] Marzano，R.，Pickering， D.，& Pollock，J.，Classroom instruction that works. Association for Supervision and Curriculum Development：Alexandria， VA： Association for Supervision and Curriculum Development.2001.

[5] Van Hiele，P.M. Structure and insight[M].New York：Academic Press.1986.

【責(zé)任編輯：陳國慶】