任勇生， 杜成剛， 劉養(yǎng)航(山東科技大學 機械電子工程學院，山東 青島　266590)

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具有形狀記憶合金彈簧支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力穩(wěn)定性研究

任勇生， 杜成剛， 劉養(yǎng)航(山東科技大學 機械電子工程學院，山東 青島266590)

摘要：提出一個具有形狀記憶合金(SMA)彈簧支承的旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的自由振動分析模型?；贓uler-Bernoulli梁理論建立旋轉(zhuǎn)軸的連續(xù)分布彈性振動方程， 并且考慮旋轉(zhuǎn)軸材料內(nèi)阻的影響。采用Brinson模型分析SMA螺旋彈簧的受限回復剛度特性。在振型假設(shè)的基礎(chǔ)上利用虛功原理得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特征方程。通過數(shù)值計算分析了SMA彈簧的激勵溫度和初始應(yīng)變對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾的影響規(guī)律。研究表明， 利用SMA彈簧的受限回復特性調(diào)節(jié)支承剛度可以提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾，從而增強轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：形狀記憶合金彈簧; 彈性支承; 轉(zhuǎn)子; 穩(wěn)定性

提高轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速、降低轉(zhuǎn)子通過臨界轉(zhuǎn)速的振幅以及超臨界狀態(tài)運行下轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性，一直是轉(zhuǎn)子動力學領(lǐng)域十分關(guān)注的問題。智能材料與結(jié)構(gòu)理論與技術(shù)領(lǐng)域的發(fā)展，為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動主動控制，提供了一個新的有效的途徑[1]。形狀記憶合金(SMA)是一種可以廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)振動控制的智能材料，近年來，利用SMA改善振動系統(tǒng)的動力學性能，實現(xiàn)振動控制的研究，已經(jīng)取得了一些進展[2]。SMA用于轉(zhuǎn)子振動控制，可采用兩種結(jié)構(gòu)形式，一種是將SMA絲直接埋入轉(zhuǎn)子中，另一種是利用SMA彈簧支承轉(zhuǎn)子。文獻[3-7]研究埋入SMA絲的轉(zhuǎn)子系統(tǒng), 在激活SMA情況下的剛度特性以及動力學行為。He等[8]提出一個具有SMA偏置彈簧支承的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的二自由度動力吸振器模型，借助于改變SMA偏置彈簧的剛度控制轉(zhuǎn)子通過臨界轉(zhuǎn)速的共振響應(yīng)。Santos等[9]以及Sitnikova等[10]對具有普通彈性支承和SMA彈簧支承的單自由度轉(zhuǎn)子動力學系統(tǒng)的動力學響應(yīng)進行了比較研究，發(fā)現(xiàn)利用SMA彈簧的耗散特性可以改變系統(tǒng)的動力學特性。Silva等[11]分析了二自由度Jeffcott轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的不平衡受迫振動響應(yīng)行為，模型采用SMA支承以及轉(zhuǎn)子和軸承之間的間隙非光滑特性。結(jié)果表明，SMA支承的遲滯耗散特性以及溫度依賴特性能夠適用于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的被動和自適應(yīng)主動振動控制。然而，目前利用SMA彈簧支承改善轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學特性的研究中的轉(zhuǎn)子僅限于單自由度或者二自由度離散模型；現(xiàn)有的文獻大多只涉及對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)通過臨界轉(zhuǎn)速共振響應(yīng)的研究，沒有考慮SMA彈簧支承對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學穩(wěn)定性的影響。此外，為了更加準確地預測SMA彈簧的作動特性，采用精細的本構(gòu)模型描述SMA的力學行為也是十分必要的。

本文研究具有SMA彈簧支承的彈性旋轉(zhuǎn)軸的自由振動與穩(wěn)定性。旋轉(zhuǎn)軸采用Euler-Bernoulli梁理論進行結(jié)構(gòu)建模，并且計入材料的內(nèi)阻?；贐rinson模型[12]描述SMA彈簧的受限回復剛度特性。在建立旋轉(zhuǎn)軸-SMA彈簧支承系統(tǒng)自由振動方程的基礎(chǔ)上，采用特征值解法得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的固有頻率和阻尼。通過數(shù)值分析揭示了SMA彈簧支承對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾的影響規(guī)律。

1轉(zhuǎn)子系統(tǒng)數(shù)學模型

1.1具有SMA彈簧支承的旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)自由振動方程

圖1　位于SMA彈簧上的彈性軸Fig.1 Elastic shaft mounted on SMA spings

C相對慣性坐標系的位移為

(1)

彈性軸的位移邊界條件為

us(0,t)=0,us(l,t)=0

(2)

式中，( )′和( )″分別表示對x的一階和二階偏導數(shù)。

旋轉(zhuǎn)坐標系下考慮材料內(nèi)阻軸的自由振動方程為[13]

?x∈[0,l]

(3)

根據(jù)邊界條件可以得到兩個補充方程如下

(4)

(5)

假定軸的彈性位移以及剛體位移和轉(zhuǎn)角分別表示為

(6)

式中，Usn，Ubn為復位移，θbn是復轉(zhuǎn)角，λn是復特征值。

利用虛功原理，方程(3)變?yōu)閇13]：

(7)

虛位移取

(8)

將式(8)和式(6)代入方程(7)、(4)和(5)，化簡得

(9)

式中

(10)

由特征方程(9)解出的特征值可以表示為

λn=ωn+idn

(11)

式中，實部ωn表示角頻率，虛部dn表示模態(tài)阻尼。

1.2SMA螺旋彈簧的剛度

線彈性螺旋彈簧的最大切應(yīng)力為[14]

(12)

式中，K表示W(wǎng)ahl修正因子，F(xiàn)是外力，R表示彈簧半徑，r表示彈簧絲半徑。假設(shè)K取單位1。

線彈性螺旋彈簧的轉(zhuǎn)角可通過分析微元變形求出，如圖2所示。

圖2　螺旋彈簧結(jié)構(gòu)簡圖(a)與單位長度橫截面(b)Fig.2 SMA helical spring (a) and its cross-section element (b)

取彈簧絲微元表面的平行于彈簧軸的直線ab，ab在變形后偏轉(zhuǎn)角度γ，轉(zhuǎn)到ac的位置。根據(jù)虎克扭轉(zhuǎn)定律，γ可以表示為

(13)

彈簧截面偏轉(zhuǎn)角

(14)

其中，N是總有效圈數(shù)。

彈簧總變形為

(15)

彈簧的剛度系數(shù)由方程(15)可得如下

(16)

剪切模量的表示式為

(17)

基于描述SMA本構(gòu)關(guān)系的Brinson模型[12]，可以建立SMA在完全受限回復狀態(tài)下的楊氏模量與馬氏體相變百分數(shù)之間的關(guān)系E(ξ)=EA+ξ(EM-EA)，進而可以分析楊氏模量隨溫度變化的規(guī)律。SMA彈簧的初始狀態(tài)為T0=20°C，σ0=122.43 MPa，ε0=0.5%，ξs0=0.6，ξT0=0，材料常數(shù)aM、bM、aA和bA可以用表1中的參數(shù)計算出來。取SMA彈簧絲的半徑為r=0.02 m，彈簧半徑為R=0.05 m，有效圈數(shù)N=2。計算出SMA螺旋彈簧的剛度在升溫階段隨溫度變化的曲線，如圖3所示，對應(yīng)的初始應(yīng)變?nèi)ˇ?=0.005。圖中的Km為處于低溫馬氏體相的彈簧常數(shù)，通過計算得Km=2.62×106Nm-1。

2數(shù)值結(jié)果與討論

本文算例中旋轉(zhuǎn)軸以及軸承的材料和幾何參數(shù)選取如下[13]：E=2.08×1011Pa，ρ=7 830 kg/m3，l=1.27 m，r=0.050 8 m，ke=1.751 2×107Nm-1，μi=0.000 2 s，SMA螺旋彈簧材料和幾何的基本參數(shù)的取值與上節(jié)算例相同。

表1　SMA材料常數(shù)

圖3　SMA彈簧剛度與溫度的關(guān)系Fig.3 The relation of spring stiffness of an SMA spring and temperature

取SMA的激活溫度T=80 ℃，初始應(yīng)變ε0=0.01，得到具有普通彈簧支承的旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)與具有SMA彈簧支承的旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的坎貝爾圖和對數(shù)衰減率曲線，結(jié)果分別如圖4和圖5所示。 圖中的nF-，nB-，nB+，nF+，(n=1，2)分別表示轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前兩階模態(tài)對應(yīng)的4個渦動頻率和對數(shù)衰減率，“F”表示正進動，“B”表示反進動。

由圖4可以看出，與具有普通支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)相比，具有SMA彈簧支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的渦動頻率有明顯的提高，因而有效地增加了系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速。

對比圖5具有兩種支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的計算結(jié)果，可以看出，具有SMA彈簧支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的對數(shù)衰減率-轉(zhuǎn)速曲線與Ω軸的交點位置，向更高轉(zhuǎn)速的一側(cè)移動，這表明具有SMA彈簧支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)閾值也相對更高。

圖6和圖7分別表示溫度的變化對第一階渦動頻率和衰減率的影響。由此可以看出，系統(tǒng)的渦動頻率隨著溫度的增加而增加，對應(yīng)于1F-，1B-分支的衰減率-轉(zhuǎn)速曲線與Ω軸的交點的位置，隨著溫度的增加會向著高轉(zhuǎn)速一側(cè)移動，表明溫度的增加會使得失穩(wěn)閾增加。圖8～9分別表示初始應(yīng)變的變化對第一階渦動頻率和衰減率的影響。由圖可見，相對于溫度而言，初始應(yīng)變的變化對渦動頻率和衰減率的影響似乎并不十分明顯。

圖4 兩種支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的坎貝爾圖Fig.4Campbelldiagramofashaftsupportedoftwotypessupports圖5 兩種支承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的正進動對數(shù)衰減率與轉(zhuǎn)速的關(guān)系Fig.5Thelogarithmicdecrementintheforwardwhirlspeedoftwotypessupports圖6 溫度對第一階渦動頻率的影響Fig.6Effectoftemperatureonthefirstwhirlfrequcency

圖7 溫度對第一階衰減率的影響Fig.7Effectoftemperatureonthefirstlogarithmicdecrement圖8 初始應(yīng)變對第一階渦動頻率的影響Fig.8Effectofinitialstrainonthefirstwhirlfrequcency圖9 初始應(yīng)變對第一階衰減率的影響Fig.9Effectofinitialstrainonthefirstlogarithmicdecrement

圖10　第一階臨界轉(zhuǎn)速隨溫度變化曲線(臨界速度Ωcr)Fig.10 The variation of the first critical speed with temperature

圖11　第一階失穩(wěn)閾隨溫度變化曲線Fig.11 The variation of the first instability threshold with temperature

3結(jié)論

研究了具有SMA彈簧支承的旋轉(zhuǎn)軸-軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動穩(wěn)定性?；贓uler-Bernoulli梁模型建立旋轉(zhuǎn)軸連續(xù)分布振動模型，并且考慮軸的材料內(nèi)阻的影響。SMA彈簧的受限回復剛度特性借助于Brinson模型進行計算。通過數(shù)值求解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特征值問題得到渦動頻率和衰減率。揭示了SMA彈簧支承對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾的影響規(guī)律。研究表明：

(1) 采用SMA彈簧支承能夠明顯改善轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力穩(wěn)定性。

(2) 在SMA馬氏體轉(zhuǎn)變階段，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾值隨著相變激勵溫度的增加而顯著提高。

(3) 增加SMA初始應(yīng)變將會導致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和失穩(wěn)閾的降低。但是，相對于SMA激勵溫度參數(shù)而言，SMA初始應(yīng)變對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)渦動頻率和衰減率的影響不夠明顯。

參 考 文 獻

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Dynamic stability of a rotor-bearing system with shape memory alloy support

RENYong-sheng,DUCheng-gang,LIUYang-hang(College of Mechanical and Electronic Engineering, Shandong University of Science and Technology, Qindao 266590, China)

Abstract:The dynamic model of a rotor-bearing system with shape memory alloy (SMA) support was proposed. Euler-Bernoulli beam theory was used to derive its continuous elastic vibration equations. Internal viscous damping of the shaft was also included in equations. Brinson constitutive model was adopted to describe the stiffness charateristic of SMA helical spring under restrained strain. On the basis of assumed modal shapes, the eigen-equation of the rotor system was obtained by using the virtural work principle. The influcences of excitation temperature and initial strain of SMA helical spring on the critical speed and instability threshold of the rotor system were analyzed with numerical simulation. Results showed that the support siffness adjustment based on the restrained recovery of SMA helical spring can significantly improve the critical speed and instability threshold of the rotor system to enhance its dynamic stability.

Key words:shape memory alloy spring; elastic support; rotor; stability

中圖分類號:TH132

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.05.011

收稿日期：2015-07-06修改稿收到日期：2015-09-23

基金項目：國家自然科學基金(11272190);山東科技大學研究生科技創(chuàng)新基金項目(YC150325)

第一作者 任勇生 男，博士，教授，1956年7月生